Глава VII. Теория Пуанкаре — Бендиксона

Большая часть этой главы (§ 2—9) посвящена геометрии решений дифференциальных уравнений на плоскости То обстоятельство, что исследование проводится именно для плоскости, является существенным, поскольку мы постоянно будем пользоваться теоремой Жордана (о том, что замкнутая жорданова кривая делит плоскость на две области). В § 10 полученные результаты применяются к некоторым нелинейным дифференциальным уравнениям второго порядка.

В приложении (§ 12) изложены недавние результаты относительно распространения теории Пуанкаре — Бендиксона с плоскости на -мерные многообразия. Последний параграф (§ 14) посвящен изучению поведения решений дифференциальных уравнений на торе.

§ 1. Автономные системы

Система дифференциальных уравнений

в которую независимая переменная не входит явным образом, называется автономной. Тривиальное, но важное свойство таких систем заключается в том, что если является решением системы (1.1), то также будет решением в интервале а при любом Орбитой называется множество точек у, через которые проходит решение системы (1.1), безотносительно к параметризации.

Любую систему можно рассматривать как автономную, если зависимую переменную у заменить -мерным вектором и рассмотреть вместо системы систему где знак «штрих» означает дифференцирование по новому независимому аргументу. Однако в большинстве случаев это замечание оказывается бесполезным.

Точка называется стационарной или особой точкой системы (1.1), если и регулярной, если Стационарные точки у о характеризуются тем, что постоянная является решением системы (1.1). Когда решения системы (1.1)

однозначно определяются начальными данными, из равенств и для некоторого следует, что Но в общем случае это не так.

Если система (1.1) имеет решение определенное на полупрямой то множеством его -предельных точек называется множество (возможно, пустое) точек для каждой из которых существует последовательность такая, что и -> при Соответственно, если есть решение, определенное для в рассмотрение вводится множество его -предельных точек. Если решение существует на то множество его предельных точек по определению есть

Замечание 1. Множество содержится в замыкании множества точек

Теорема 1.1. Предположим, что непрерывна на открытом у-множестве и что является решением системы (1.1) для значений 0. Тогда множество замкнуто. Если имеет в компактное замыкание, то связно.

Доказательство. Проверка того, что множество замкнуто, тривиальна. Для доказательства последней части теоремы заметим, что, согласно замечанию 1, множество компактно. Предположим, что несвязно. Тогда оно представимо как объединение двух замкнутых (и поэтому компактных) множеств таких, что расстояние Ясно, что существует последовательность значений удовлетворяющих условию Поэтому при больших найдется точка такая, что Последовательность имеет предельную точку так как по условию имеет компактное замыкание. Очевидно, что и Это противоречие и доказывает теорему.

Теорема 1.2. Пусть определены так как в теореме Тогда задача Коши

имеет по крайней мере одно решение с максимальным интервалом существования такое, что в этом интервале В частности, когда имеет в компактное замыкание, решение существует на

Орбита такая, что для некоторого но называется орбитой. Если, кроме того, решение является периодическим, т. е. для всех и некоторого то орбита

называется -предельным циклом. (Из условия следует, что не всякое периодическое решение является предельным циклом; рассмотрите семейство замкнутых орбит.)

Доказательство. Пусть при где Тогда является решением задачи

Поэтому из теоремы 11.3.2, где следует, что задача (1.2) имеет решение с максимальным интервалом существования и существует такая последовательность положительных целых чисел что

причем сходимость равномерна на каждом отрезке из интервала Ясно, что для Тем самым первая часть теоремы доказана.

Вторая часть теоремы, относящаяся к существованию на является непосредственным следствием теоремы II.3.1, из которой вытекает, что или правый максимальный интервал существования равен или стремится к при

Последняя часть, касающаяся множеств следует из (1.4) и замкнутости

Замечание 2. Если решения всех задач Коши для системы (1.1) единственны, то выбор подпоследовательности в доказательстве теоремы излишен; поэтому из соотношения следует, что предельный переход

равномерен на каждом ограниченном отрезке из

Следствие 1.1. Если множество состоит из единственной точки то является стационарной точкой и при