§ 9. Стационарная точка общего вида

Целью этого параграфа является доказательство следующей теоремы.

Теорема 9.1. Пусть функция непрерывна в односвязной области содержащей точку и пусть для и решения задач Коши (6.1) единственны. Пусть С — жорданова

кривая, расположенная в достаточно малой окрестности точки и окружающая эту точку, число эллиптических и число гиперболических секторов для С. Тогда индекс точки определяется равенством

Ясно, что для случая точек вращения так что формула (9.1) для них справедлива, и дальше эти точки рассматриваться не будут. Значит, можно считать, что внутренняя область кривой С представляет собой объединение эллиптических, гиперболических и параболических секторов.

Доказательство. Кривая С будет заменена далее кусочно -гладкой жордановой кривой С, окружающей точку и состоящей из дуг решений и их ортогональных траекторий, как это показано на рис. 12, где представляют соответственно эллиптический, гиперболический и параболический секторы.

Рис. 12.

Если касательный вектор дуга кривой С с неугловыми концевыми точками, то в нашем доказательстве число будет обозначать «вклад» дуги т. е. это число будет давать угол поворота касательной вдоль с учетом угловых точек в соответствии со следствием 2.1. Кроме того,

Если -дуга, соединяющая точки то символы будут означать соответственно замкнутую дугу, открытую дугу и т. д. Пусть для каждого сектора с граничными базисными решениями точки для фиксированного где знак «плюс» или «минус» выбирается в соответствии с тем, положительно или отрицательно базисное решение

а) Гиперболические секторы. Пусть гиперболический сектор, определенный кривыми Для определенности предположим, что является положительным базисным решением. Тогда где Ясно, что эллиптической части сектора Так как замкнута, точки близкие к А и также не принадлежат Рассмотрим дифференциальное уравнение

ортогональных траекторий решений уравнения Пусть есть дуга решения уравнения (9.2) с начальной точкой такая, что см. рис. 13.

Рис. 13.

Покажем что если дуга достаточно коротка и то решение задачи существует и на отрезке причем есть единственная точка решения принадлежащая дуге при

Пусть Тогда по теореме найдется такое что из неравенства следует существование удовлетворяющего условию Для В частности, для если достаточно велики. Пусть есть наименьшее значение при котором так что Из того, что сектор гиперболичен и следует существование такого Ясно, что при

Выберем так, чтобы и чтобы существовал предел где есть решение, определяемое начальным условием Значит, решение существует и находится в для при По теореме на каждом ограниченном интервале существует равномерный предел который является решением задачи причем для 0. Так как сектор 5 гиперболический, то при больших находится на границе этого сектора, Для где есть последняя: точка решения принадлежащая при убывании нуля.

Отсюда следует, что в соответствии с тем, будет ли точка или стремится к при В частности, если достаточно близка к то существует наименьшее значение такое, что Кроме того, при

Пусть дуга так мала, что существует для всех Выберем точку равной при см. рис. 13. Обозначим через внутреннюю точку дуги а через дугу состоящую из части ортогональной траектории дуги решения соединяющей точки и части дуги Легко видеть, что в этом случае

Действительно, угол между на равен Далее он изменяется до нуля при прохождении через В и равен нулю на Потом при прохождении через он скачком изменяется до и остается равным этому значению на В итоге мы получаем, что т. е. (9.3). Если отрицательное, а положительное базисные решения, то формула (9.3) все равно остается справедливой.

b) Параболические секторы. Пусть параболический сектор и, для определенности, положительный, так что есть точка где

Заметим, что гиперболической части сектора В противном случае рассуждения показывают, что тогда в существует отрицательное базисное решение. Кроме того, если есть точка из то по определению Значит, множество пусто, так что расстояние Ясно, что пересечение также пусто. Далее, для так как в противном случае для или в частности, а это невозможно. Аналогично для так как в противном случае для или 2 и всех и, в частности, предельная точка

Если не пусто, то найдутся точки для которых решение задачи (6.1) на некотором отрезке таково, что для Дуга решения и соответствующая дуга кривой соединяющая точки образуют жорданову кривую. Существует конечная или бесконечная последовательность из таких максимальных жордановых кривых (максимальных в том смысле, что их внутренние области являются попарно не пересекающимися, а объединение с их внутренними областями содержит множество рис. 14.

Рис. 14.

Множество точек из не принадлежащих никакой жордановой кривой вместе с точками замыкания дуг образует жорданову дугу соединяющую точки Обозначим через внутреннюю область жордановой кривой, состоящей из точки и кривых для

Если пусто, то положим Тогда независимо от того, пусто или нет, так что пусто. Значит, существует ломаная соединяющая точки для

Если то решение задачи Коши таково, что для для некоторого Проведем через каждую точку открытую ортогональную траекторию т. е. дугу решения уравнения (9.2), проходящую через точку такую, что замыкание дуги содержится в Пусть в случаях

соответствующие дуги будут полузамкнутыми и имеют в качестве своих концевых, а не внутренних точек.

Ортогональные траектории могут быть взяты такими короткими, чтобыони полностью лежали в Отсюда будет следовать, что решение задачи существует и остается в 5 для и пересекает С при некотором

Множество ортогональных траекторий можно рассматривать как «открытое покрытие» -множества в том смысле, что «содержится» в если одна из дуг или находится в и содержит некоторую точку из L.

Рис. 15.

Если «содержится в то близкое к также «содержится в Значит, по теореме Гейне — Бореля существует конечное множество этих дуг, такое, что каждое решение пересекает по меньшей мере одну из дуг в некоторой точке ; в этом случае для

Пусть суть концевые точки дуг Решение задачи Коши существует и находится в 5 при Кроме того, так как найдется наименьшее такое, что Значит, является положительным базисным решением. После надлежащего изменения нумерации можно считать, что упорядочены на С и что при см. рис. 15.

Каждая пара решений определяет сектор являющийся подсектором Пусть — наибольшее -значение, такое, что встречает дугу

- наименьшее s-значение, , такое, что находится на дуге Тогда фиксировано, находится в и имеет общую точку по крайней мере с одним из множеств Так как концевые точки дуг не принадлежат то найдется по крайней мере одна дуга из последовательности которая пересекает каждое решение для Значит, существуют замкнутые дуги ортогональных траекторий каждая из которых является частью одной из замкнутых дуг причем V соединяет точки Можно считать, что начинается в заканчивается в

Пусть внутренние точки дуг дуга, соединяющая точки и составленная последовательно из дуг Проверим, что

Заметим, что касательный вектор в точке имеет направление где определяется по (9.2), а знак «плюс» или «минус» не зависит от (Это можно показать следующим образом. Предположим, что направлено в точке внутрь тогда ясно, что в направлено в По непрерывности оно остается направленным вдоль решения а значит, будет таким и в начальной точке дуги лежащей на Аналогично, в концевой точке дуги на оно направлено в Продолжая это рассуждение, получаем, что выбор знака не зависит от

Следовательно, значение синуса угла от равно и потому угол имеет вид где целое число, а знак не зависит от На угол от равен (так что на он имеет вид На части кривой состоящей из дуги решения от равен О или Значит, на он равен Продолжая это рассуждение дальше, видим, что на каждой дуге V угол от равен Следовательно, т. е. равенство (9.4) доказано.

Легко убедиться, что в случае отрицательного параболического сектора подобная конструкция также приводит к соотношению (9.4).

с) Эллиптические секторы. Пусть сектор с граничными решениями которые являются дугами некоторого решения лежащего в Предположим, что описанные выше построения

проделаны для всех гиперболических и параболических секторов. Так как эллиптический сектор является смежным с гиперболическим или параболическим секторами, то найдутся дуга решения (содержащая внутри себя точки и две дуги ортогональных траекторий, лежащие соответственно во внутренностях двух смежных с секторов; см. рис. 16 и 17. Если есть дуга состоящая из дуги ортогональной траектории дуги решения и дуги ортогональной траектории то

Действительно, на дуге представленной на рис. 16 (или рис. 17), угол от равен на дуге он равен (или и, наконец, на он становится равным

Рис. 16.

Рис. 17.

Значит, так что соотношение (9.5) доказано.

d) Завершение доказательства. В построениях частей (а) и (b) для всех гиперболических и параболических секторов было использовано одно и то же число Значит, если базисное решение находится на границе двух таких смежных секторов, найдется ортогональная траектория пересекающая решение в некоторой точке А. Тогда ясно, что для дуги

Значит, если сложить соотношения (9.3), (9.4), (9.5) и (9.6) по всем дугам то мы получим, что где слагаемое в правой части равно по теореме (об индексе) 2.1 и ее следствию 2.1. Формула (9.2) доказана.

Замечание (которое относится в сущности к следующему ниже упражнению 9.1). Предположение теоремы 9.1 о

«единственности решения задачи может быть ослаблено до требования «единственности решения задачи требование подразумевает очевидные изменения определений «базисного решения», «эллиптического, гиперболического и параболического секторов».) Действительно, заменим уравнение уравнением где Очевидно, индексы равны. Ясно также, что дуга является решением уравнения в том и только том случае, когда она становится решением уравнения после замены параметра где и Значит, числа одни и те же для обоих уравнений Наконец, так как влечет за собой неравенство для малых мы получаем, что есть единственное решение задачи

Упражнение 9.1. Пусть вещественная функция класса определенная для такая, что обращается в нуль только в точке Значит, если то будет постоянной на" решениях уравнения Покажите, что или (i) существует такое что или (ii) множество дуг в области которые соединяют точку и на которых состоит из конечного (четного) числа дуг, кроме того, [Замечание: задачи Коши имеют единственные решения. (Почему?) Случай i) имеет место, когда точка является точкой вращения, и тогда она будет центром. Это бывает, когда имеет в точке строгий локальный минимум или максимум. Случай (ii) имеет место, когда точка не является точкой вращения, и тогда ни для какой жордановой кривой С, окружающей точку , секторы не могут быть эллиптическими и параболическими.]

Теорема 9.2. Пусть функция непрерывна в односвязной области и такова, что решения задач Коши (6.1) единственны. Пусть С — положительно ориентированная Сгладкая жорданова кривая в обладающая тем свойством, что на С и вектор касается С только в конечном числе точек из С. Пусть обозначают число тех точек где дуга решения задачи при малых касается С в точке соответственно изнутри и извне (так что Тогда

Говорят, что дуга решения задачи касается С в точке изнутри (или извне), если существует такое, что при расположено во внутренней (или внешней) области кривой С.

Доказательство. Пусть обозначает положительно ориентированный касательный вектор к С. Если то ясно, что угол между при движении вдоль С не переходит через значения Тогда целые числа равны. Так как по теореме 2.1, то отсюда следует, что если

Рис. 18.

Следовательно, можно считать, что одно из чисел отлично от нуля. Точку мы будем называть эллиптической (или гиперболической), если дуга решения касается С в точке изнутри (или извне). Поэтому равно числу эллиптических (или гиперболических) точек.

Пусть дуга кривой С, концевые точки которой являются эллиптическими или гиперболическими, причем на С нет других эллиптических и гиперболических точек. Тогда в ее внутренней точке дуга решения пересекает С в точке в направлении, не зависящем от (из внутренности во внешность или из внешности во внутренность). Рассматривая угол между мы видим, что равен или , или 0, или

Если одна из точек эллиптическая, а другая гиперболическая, то ориентации и касательного вектора в обеих точках или совпадают, или противоположны; см. рис. 18, а. В этом случае

Если обе точки эллиптические или обе гиперболические, то имеют одинаковую ориентацию в одной из точек и противоположную в другой. В этом случае Предоставляем читателю проверить, что разность равна или в соответствии с тем, эллиптичны или гиперболичны обе точки см. рис. 18, б.

Значит, если обозначают число (0, 1 или 2) эллиптических и гиперболических концевых точек дуги , то во всех случаях

Суммируя это соотношение по всем дугам получаем требуемый результат, так как