§ 4. Дифференциальные неравенства
В следующей теореме речь идет об интегрировании некоторого дифференциального неравенства. Это один из наиболее часто используемых результатов в теории дифференциальных уравнений
Теорема 4.1. Пусть
непрерывна в открытом
-множестве
максимальное решение задачи Коши (2.1). Пусть функция
непрерывна на
удовлетворяет условиям
и имеет в точках
а правую производную
такую, что
Тогда на общем интервале существования функций
выполняется неравенство
Замечание 1. Если неравенство (4.1) заменено противоположным и
то утверждение (4.2) должно быть заменено неравенством
где
является минимальным решением задачи Коши (2.1). Соответственно, если в теореме 4.1 функция
непрерывна на отрезке
имеет левую производную
на
удовлетворяющую неравенству
неравенство (4.2) снова должно быть заменено неравенством
Замечание 2. Из доказательства теоремы 4.1 будет ясно, что она верна и в том случае, когда «правая производная» заменена «верхней правой производной», определяемой формулой (3.1), в которой обычный предел
нужно заменить верхним пределом
Доказательство теоремы 4.1. Очевидно, достаточно показать, что неравенство (4.2) справедливо на
для некоторого
Действительно, если
определены на
то в случае существования такого
множество тех значений
для которых верно (4.2), не может иметь верхней границы, отличной от
Пусть
достаточно велико, и пусть
выбрано независимо от
таким, что задача (2.3) имеет решение
на отрезке
Как и в доказательстве леммы 2.1, достаточно проверить, что
на
но доказательство этого факта совершенно аналогично доказательству неравенства (2.5) из § 2.
Следствие 4.1. Пусть
непрерывна на
и имеет там правую производную
Тогда
Следствие 4.2. Пусть
и
определены, как в теореме 4.1. Пусть функция
непрерывна на
и удовлетворяет условию
Пусть
является решением задачи Коши
на некотором отрезке
Тогда неравенство (4.2) справедливо справа от точки
на любом общем интервале существования функций
Из замечания 2 ясно, что если
может быть продолжена на интервал, лежащий слева от
то на этом интервале неравенство (4.2) должно быть заменено неравенством
где
минимальное решение задачи (2.1), причем
Следствие 4.3. Пусть функции
и
определены, как в теореме 4.1, а
минимальное решение задачи Коши
Пусть
некоторая вектор-функция класса
определенная на отрезке
и такая, что
и
Тогда на любом общем интервале существования
и
и
справедливо первое [второе] из двух неравенств
Это следствие сразу же вытекает из теоремы 4.1 и замечания 1, так как
имеет правую производную, удовлетворяющую в силу леммы 3.2 неравенствам —
(Согласно упр. 3.1, это следствие справедливо и в том случае, когда
обозначает евклидову норму.)
Упражнение
Пусть
непрерывна в полосе
любое, и пусть
является неубывающей относительно каждой из компонент
вектора у. Предположим, что задача Коши
имеет при некотором фиксированном
единственное решение
определенное на
Пусть, далее, непрерывная на
вектор-функция
такова, что каждая ее компонента
имеет правую производную и
для
Тогда
для
(Условия, наложенные на 2, выполнены, если
непрерывна на
функция
является решением системы
на
на
См. также замечание к упр. 4.3.
(b) Если в (а) любая задача Коши для системы
имеет единственное решение,
возрастает относительно
по крайней мере для одного индекса
то
для
Если в добавление к предположениям п. (а) существует еще индекс
такой, что функция
является неубывающей относительно
то разность
будет неубывающей (или невозрастающей) на
(d) Если выполнены предположения пп. (Ь) и (с), то разность
является возрастающей (или убывающей) на
(e) Пусть
вещественные скалярные функции, а
вещественный
-мерный вектор. Пусть функция
непрерывная в полосе у любое, такова, что решения уравнения
однозначно определяются заданными начальными условиями, и пусть
не убывает относительно каждой из первых
компонент
вектора у. Пусть
два решения уравнения
на
с условием
для
Тогда
для
более того, разность —
является неубывающей для
Упражнение 4.2. Пусть
непрерывны в полосе
любое, и таковы, что
для
и для каждого
одна из функций
не убывает относительно
Пусть на
функция
является решением задачи Коши
— решением задачи
где
для
Тогда Для
Упражнение 4.3. Пусть
непрерывна в области
и такова, что ее компонента
является неубывающей относительно каждого
Покажите, что задача Коши
имеет максимальное [минимальное] решение
такое, что если
любое другое решение этой задачи, то
на
их общем интервале существования.
Замечание. Предположение упр.
о том, что задача Коши
имеет единственное решение, может быть отброшено, если заменить
максимальным (или минимальным) решением
Упражнение 4.4. Пусть
линейны относительно у, скажем
,
где
непрерывны на
Пусть
являются решениями задачи
соответственно. (Эти решения существуют на [a, b]; см. следствие 5.1.) Какие условия на
обеспечивают для неравенства
Теорема 4.1 имеет «интегральный» аналог, в котором, однако, требуется, чтобы
была монотонной относительно
. В этом случае имеется следующее обобщение теоремы 1.1:
Следствие 4.4. Пусть
непрерывна и не убывает относительно и в области
и любое. Пусть
максимальное решение задачи Коши (2.1) на
Пусть на этом же отрезке задана функция
удовлетворяющая неравенству
где Тогда
для
Доказательство. Пусть
обозначает правую часть неравенства (4.8), так что и
. В силу монотонности
имеем
Следовательно, по теореме 4.1 на
Значит,
что и требовалось доказать.
Упражнение 4.5. Установите аналог следствия 4.4 для случая, когда постоянная
в неравенстве (4.8) заменена непрерывной функцией
Упражнение 4.6. Пусть
суть
-мерные векторы;
непрерывна в области
любое, и такова, что
не убывает относительно каждого
Пусть максимальное решение
задачи Коши
существует на
Пусть
является непрерывной вектор-функцией, такой, что
для Тогда на всем этом отрезке