Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 6. Теоремы единственностиОдно из основных применений теоремы 4.1 и ее следствий состоит в получении теорем единственности. Докажем сначала теорему, часто называемую общей теоремой единственности Камке. Теорема 6.1. Пусть решением
удовлетворяющим на любом полуинтервале
является функция
Тогда задача Коши
на любом отрезке В предположениях теоремы 6.1 единственность решения можно утверждать также для любой задачи Упражнение 6.1. Покажите, что теорема 6.1 не верна, если условие (6.2) заменено условием Доказательство. Из того факта, что
следует, конечно, что функция Предположим, что для некоторого
на любом интервале, лежащем в Из доказательства теоремы II.3.1 (о продолжении) и леммы 2.1 видно, что и о (0 можно продолжать как минимальное решение влево от условия (6.5) видно, что
Рис. 1. В силу предположения теоремы относительно уравнения (6.1), Следствие 6.1 (критерий Нагумо). Если
Упражнение 6.2. Функция
и тем не менее такая, что задача Коши Следствие 6.2 (критерий Осгуда). Если Заметим, что условие непрерывности Упражнение 6.3 (обобщение следствий 6.1 и 6.2). Пусть Если функция Пусть функция Упражнение 6.4. Пусть Упражнение 6.5. Пусть 1). (Заметим, что, поскольку Упражнение
Покажите, что (скалярное) уравнение отрезке Упражнение 6.7. (а) Пусть
Далее, пусть на отрезке Следующая теорема включает «одностороннее неравенство» и дает «одностороннюю единственность». Теорема 6.2. Пусть Считая
для Если теорему единственности желательно иметь для отрезков Следствие 6.3. Пусть Доказательство теоремы 6.2. Пусть Упражнение 6.8 («одностороннее» обобщение критерия Нагумо и теоремы 6.2). Теорема 6.2 остается справедливой, если (6.8) заменить более слабым условием:
|
1 |
Оглавление
|