§ 8. Потенциал электростатического поля

1. То обстоятельство, что работа сил электростатического поля на данном пути зависит лишь от положения начальной и конечной точек пути, дает возможность ввести в рассмотрение чрезвычайно важное понятие потенциала электростатического поля. Определение: разность потенциалов между двумя точками электростатического поля равна взятой с обратным знаком работе, совершаемой силами поля при перемещении единичного положительного заряда из первой точки во вторую. При этом предполагается, что при перемещении пробного единичного заряда все заряды, возбуждающие поле, остаются неподвижными.

Стало быть, разность потенциалов между двумя бесконечно близкими точками, разделенными расстоянием равна

разность же потенциалов между двумя точками находящимися на конечном расстоянии друг от друга, определяется интегралом

причем этот интеграл может быть взят по любому пути, соединяющему точки и Очевидно, что понятие разности потенциалов имеет определенный однозначный смысл лишь в силу

доказанной нами независимости работы электрических сил от формы пути, или, что сводится к тому же, ввиду того, что напряженность электростатического поля удовлетворяет условию (7.3)

Определение понятия потенциала поля вектора содержащееся в уравнениях (8.1) и (8.2), применимо, очевидно, к полю произвольного вектора, удовлетворяющего условию (7.3), вне зависимости от физического смысла этого вектора (сила, скорость и т. д.) и от физического смысла соответствующего потенциала (потенциал сил, потенциал скоростей и т. д.).

2. Очевидно, что потенциалу произвольной точки поля всегда можно приписать любое наперед выбранное значение. Это соответствует тому обстоятельству, что путем измерения работы может быть определена лишь разность потенциалов двух точек поля, но не абсолютная величина потенциала. Однако, как только фиксировано значение потенциала в какой-либо одной точке поля, значение его во всех остальных точках поля однозначно определяется уравнением (8.2).

Обычно аддитивную постоянную в выражении потенциала выбирают так, чтобы потенциал бесконечно удаленных точек равнялся нулю 1). При этом условии потенциал произвольной точки поля определится следующим выражением:

Таким образом, потенциал точки будет равен работе, совершаемой силами поля при удалении единичного положительного заряда из точки в бесконечность.

В поле элементарного (точечного) заряда разность потенциалов между точками согласно (7.5) и (8.2), равна

В этом случае, для того чтобы удовлетворить условию достаточно, очевидно, положить тогда потенциал поля точечного заряда на расстоянии от него окажется равным

3. Потенциал поля произвольной системы точечных зарядов равен, очевидно, сумме потенциалов полей каждого

из этих зарядов в отдельности:

где расстояние точки поля, обладающей потенциалом от заряда Конечно, как эта, так и предшествующие формулы имеют смысл лишь в тех точках поля, расстояния которых от «точечных» зарядов велики по сравнению с размерами этих зарядов.

В случае поверхностных зарядов заряд каждой поверхности может быть разложен на совокупность элементарных зарядов бесконечно малых элементов поверхности

Заменяя в уравнении через и переходя от суммирования к интегрированию по всем элементам всех заряженных поверхностей, получим потенциал поля поверхностных зарядов:

В поле объемных зарядов роль элементарных зарядов будут играть заряды бесконечно малых элементов объема и выражение потенциала (8.6) примет вид

где расстояние точки поля, обладающей потенциалом от элемента объема

Отметим, что, хотя и входит в знаменатель подынтегральных выражений в формулах (8.7) и (8.8), все же выражения эти остаются конечными во всех точках поля объемных и поверхностных зарядов. Рассмотрим, например, формулу (8.8) и введем систему сферических координат а с центром в исследуемой точке поля полярный угол, а — азимут) 1). Элемент объема выразится в этих координатах, как известно, следующим образом:

и формула (8.8) примет вид

причем подынтегральное выражение остается конечным и при значении

Ввиду того, однако, что формулы (8.7) и (8.8) выведены нами из формул (8.5) и (8.6), имеющих смысл лишь для конечных значений при стремится к бесконечности), а также ввиду особой важности формул (8.7) и (8.8) мы выведем их в дальнейшем (§ 12) еще и другим способом, независимо от только что изложенного, и покажем, что они применимы ко всем точкам поля поверхностных и объемных зарядов.

4. Потенциальный характер электростатического поля может быть доказан и без применения закона Кулона путем рассуждений, основывающихся на законе сохранения энергии и невозможности вечного двигателя. Действительно, предположим, что при перемещении пробного заряда по какому-либо замкнутому пути в поле неподвижных зарядов (см. примечание на с. 43) силы этого поля совершают положительную работу А. Так как по возвращении пробного заряда в исходное положение вся система возвращается в исходное положение, то, повторяя обход пути произвольное число раз, мы всякий раз получали бы работу А, т. е. осуществили бы вечный двигатель. Если же при обходе пути силы поля совершают отрицательную работу, то стоит лишь изменить направление обхода на обратное, чтобы получить работу положительную. Таким образом, работа сил поля на всяком замкнутом пути должна равняться нулю, из чего, как мы видели, следует существование однозначного потенциала поля.

5. В абсолютной системе единиц единица потенциала определяется следующим образом: разность потенциалов двух точек поля равна единице, если при перемещении абсолютной единицы заряда из одной точки в другую силы поля совершают единицу работы, т. е. работу в один Размерность же потенциала равна, очевидно:

Абсолютная единица потенциала слишком велика по сравнению с теми разностями потенциалов, с которыми обычно приходится иметь дело на практике. Поэтому практической единицей потенциала служит вольт: единицы потенциала.

Пример. Определить потенциал поля диполя.

Предположим, что два равных точечных заряда противоположных знаков находятся на расстоянии I друг от друга, причем вектор 1 направлен от отрицательного заряда к положительному (рис. 13). Вектор

носит название электрического момента этих зарядов. Потенциал обоих зарядов в произвольной точке поля равен

Рис. 13

Если расстояние I между зарядами мало по сравнению с расстояниями этих зарядов от исследуемых точек поля, то совокупность зарядов носит название диполя, или биполя, что значит «двойной полюс».

В этом случае можно приближенно положить:

где угол между направлением момента диполя и радиусом-вектором проведенным от диполя к «точке наблюдения» (рис. 13). Ввиду малости расстояния I безразлично, из какой именно точки диполя проведен этот радиус-вектор Таким образом, потенциал диполя принимает вид

Это выражение можно также представить в несколько ином виде с помощью известной формулы векторного анализа (10:

где индекс а означает пространственную производную от по координатам «точки наблюдения», т. е. конечной точки вектора а индекс дифференцирование по координатам «точки истока», т. е. начальной точки вектора (см. приложение, § 2). На основании этих соотношений уравнение (8.10) может быть записано следующим образом:

Эту формулу легко получить и непосредственно. Действительно,

равно приращению скаляра при перемещении на отрезок 1 точки истока радиуса-вектора проведенного из диполя (исток поля) в точку наблюдения Ограничиваясь при достаточно малом 1 первыми производными от получим

откуда непосредственно следует (8.11).

Задача 6. Исходя из уравнения (8.2), показать, что потенциал поля заряженных бесконечных плоскости и полого цилиндра определяется соответственно следующими формулами:

где значение потенциала на соответствующей заряженной поверхности; координата, перпендикулярная плоскости; расстояние от оси цилиндра; радиус цилиндра. Отметим, что в обоих этих случаях удовлетворить условию невозможно.

Задача 7. Показать, что потенциал поля шара радиуса , равномерно заряженного по всему своему объему с объемной плотностью при условии равен

и

где общий заряд шара, расстояние от его центра.

Показать, что при