§ 3. Поток вектора через поверхность

Если задано поле произвольного, но дифференцируемого скаляра то тем самым задано и поле производных этого скаляра по произвольному направлению. Инвариантной, т. е. не зависящей от выбора системы координат характеристикой этого поля производных является, как мы видели, поле вектора Нам предстоит теперь определить инвариантные характеристики поля пространственных производных произвольного вектора . К этим характеристикам, естественно, приводит рассмотрение поверхностных и криволинейных интегралов вектора а. Мы начнем с исследования поверхностных интегралов.

В поле произвольного вектора выделим мысленно бесконечно малую плоскую площадку т. е. площадку столь малую, что во всех ее точках вектор а с заданной степенью точности остается постоянным по величине и направлению. Проведем нормаль к этой площадке и условимся одно из направлений этой нормали считать положительным, или внешним, а другое — отрицательным, или внутренним. Если задано направление обхода контура площадки, то направление положительной нормали мы будем выбирать так, чтобы нормаль эта образовала вместе с контуром правовинтовую систему Это значит, что при повороте ручки буравчика правой нарезки по направлению заданного обхода контура острие буравчика пойдет по положительной нормали (рис. 98). Обратно, если задано направление внешней нормали, то мы будем соответственным образом выбирать направление положительного обхода контура площадки.

Рис. 98

Наконец, если направление обхода контура и направление нормали к его плоскости заданы независимо друг от друга, то мы будем для краткости говорить, что направление обхода и направление нормали составляют правовинтовую систему, если они удовлетворяют упомянутому условию, и левовинтовую систему, если они ему не удовлетворяют.

Направление нормали мы будем характеризовать совпадающим с ней единичным вектором

Потоком вектора а через бесконечно малую площадку называется величина

где а — значение вектора на площадке слагающая его по направлению Площадка выбрана нами бесконечно малой именно для того, чтобы вектор а имел на этой площадке одно определенное значение.

Чтобы определить поток вектора через поверхность конечных размеров, нужно разбить ее на бесконечно малые площадки так, чтобы не только вектор а оставался постоянным на каждой площадке, но чтобы и самые площадки могли считаться плоскими (рис. 99). Одну из сторон поверхности назовем внутренней, а другую — внешней и выберем соответственным образом направление внешних нормалей к каждому из элементов Потоком вектора а через поверхность называется алгебраическая сумма потоков через отдельные элементы этой поверхности. Это суммирование тождественно с операцией нахождения определенного интеграла:

и называется интегрированием по поверхности Оно обозначается двойным интегралом потому, что поверхность имеет два измерения. Однако для упрощения записи мы в этой книге обозначали двукратные интегралы, как и интегралы однократные, одним-единственным знаком интеграла:

Рис. 99

Напомним, что во всех поверхностных (и только в поверхностных) интегралах мы обозначали элемент интегрирования через

Данное величине название потока вектора взято из гидродинамики. В гидродинамике изучается векторное поле скорости жидкости: в каждый данный момент с каждой точкой заполненного жидкостью пространства связано определенное значение вектора скорости а именно, то значение этой скорости, которым обладает находящийся в этой точке элемент жидкости. Поток вектора скорости жидкости через элемент поверхности

есть не что иное, как объем жидкости, протекающий через этот элемент за единицу времени в направлении внешней нормали к Действительно, за единицу времени каждый элемент жидкости переместится на расстояние стало быть, через площадку пройдут все те и только те частицы жидкости, которые в начале рассматриваемого промежутка времени занимали цилиндрический объем с основанием и образующими (рис. 100). Объем этого цилиндра равен если

Рис. 100

Если векторы образуют тупой угол, то и поток жидкости отрицателен. Это значит, что жидкость протекает через в направлении, обратном внешней нормали

Поток жидкости через конечную поверхность равен, очевидно, потоку вектора скорости через эту поверхность:

Часто приходится вычислять поток вектора через замкнутые поверхности (поверхность шара, куба и т. д.). При интегрировании по замкнутой поверхности мы будем отмечать это обстоятельство кружком у знака интеграла, так что, например, поток жидкости через замкнутую поверхность запишется следующим образом:

Очевидно, что поток этот равен количеству жидкости, вытекающей в единицу времени из объема, ограниченного замкнутой поверхностью Если то это значит, что внутрь поверхности втекает больше жидкости, чем вытекает из нее.