§ 6. Производная вектора по направлению

Скаляр а и вектор как уже отмечалось, могут быть названы соответственно скалярной и векторной пространственными производными вектора а. Они имеют непосредственный геометрический смысл, что явствует из (18 и (29, и наряду с градиентом скаляра являются основными понятиями векторного анализа.

Однако задания значений скаляра а и вектора а в данной точке недостаточно для определения в этой точке производной вектора а по произвольному направлению (тогда как производная скаляра по произвольному направлению однозначно определяется заданием вектора

Рис. 107

Действительно, производная вектора а по произвольному направлению с может быть определена путем следующего геометрического построения. Пусть значения вектора а в двух близких точках равны соответственно а и а, причем направление отрезка совпадает с направлением с (рис. 107). Если разность между равна , то производная будет равна

Таким образом, направление вектора совпадает с предельным направлением вектора , но, вообще говоря, отлично от направления векторов .

Далее, если координаты точек отличаются друг от друга на то с точностью до величин второго порядка малости

Подставляя это в предшествующее уравнение и приняв во внимание, что

получим

Таким образом, для определения в данной точке производной вектора а по произвольному направлению необходимо задать девять величин: три слагающих величины — и соответственно по три слагающих величин — и Совокупность этих девяти величин представляет собой слагающие некоторого тензора, заданием которого определяются как производные вектора а по произвольному направлению, так и значения величин Впрочем, в настоящем курсе нам этим тензором пользоваться не придется.