§ 36. Плотность тока. Дифференциальная форма уравнений Ома и Джоуля

1. Наряду с силой тока весьма важное значение имеет также плотность тока по определению она равна количеству электричества, протекающему в 1 с через единицу перпендикулярного току сечения проводника. В однородном цилиндрическом проводнике ток равномерно распределяется по его сечению, так что

где сечение проводника.

Однако в общем случае плотность тока вообще говоря, не будет одинаковой по всему сечению проводника, так что под плотностью тока в каждой данной точке проводника нужно будет понимать предел отношения силы тока протекающей через перпендикулярный к направлению тока элемент сечения проводника к этому элементу

откуда

Если, наконец, рассматривать плотность тока как вектор, направление которого совпадает с направлением тока в данной точке проводника, то при любом направлении площадки будет справедливо соотношение

или

где проекция вектора на внешнюю нормаль сила тока, протекающего через Справедливость этого соотношения явствует из того, что тангенциальная к слагающая плотности тока характеризует течение электричества вдоль (а не через) площадки (рис. 36). Из (36.3) следует, в частности, что силе протекающего через площадку тока нужно приписывать

Рис. 36

как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от того, протекает ли ток через в направлении произвольно выбранной положительной нормали к этой площадке или же в обратном ей направлении.

2. Воспользовавшись понятием плотности тока, мы можем выразить основные уравнения электрического тока в дифференциальной форме, устанавливающей связь между величинами, относящимися к одной определенной точке проводника, тогда как законы Ома и Джоуля в интегральной форме [(35.1) и (35.7)] связывают величины, относящиеся к различным точкам или к конечным отрезкам проводника.

Обращаясь прежде всего к закону Ома, рассмотрим какой-либо однородный по составу и цилиндрический по форме участок проводника. В этом случае, как известно,

где I — длина участка проводника, обладающего сопротивлением его сечение, удельное сопротивление, характеризующее вещество проводника. Если вместо удельного сопротивления ввести обратную ему величину — удельную проводимость, или электропроводность А:

то

Внося это выражение в (35.4), получим

или ввиду (36.1)

В случае постоянного тока в однородном цилиндрическом проводнике, ввиду тождества физических условий по всей его длине, слагающая поля по оси проводника очевидно, имеет постоянное значение, так что

и, следовательно,

В каждой точке проводника направление тока совпадает с направлением электрического поля, обусловливающего движение зарядов. Стало быть, вектор плотности тока должен совпадать по направлению с вектором и последнее уравнение может быть записано окончательно в виде

Это уравнение, устанавливающее пропорциональность плотности тока в проводнике напряженности поля в нем, представляет собой наиболее общую и простую формулировку закона Ома. Его можно назвать дифференциальной формой закона Ома (хотя в него и не входят производные), потому что оно устанавливает связь между величинами, относящимися к одной определенной точке проводника.

Хотя при выводе формулы (36.5) мы исходили из рассмотрения однородного цилиндрического проводника, однако в этой дифференциальной форме закон Ома оказывается применим к проводникам любой формы, как однородным, так и неоднородным [см., впрочем, уравнение (38.1)].

Более того, уравнение (36.5) остается справедливым и в переменных электрических полях и, таким образом, является одним из основных уравнений электродинамики.

3. Закон Джоуля (35.7), носящий характер закона интегрального, может быть, подобно закону Ома, преобразован в форму дифференциальную. С этой целью введем вместо удельную мощность тока т. е. количество теплоты, выделяющееся за секунду в единице объема проводника: где V — объем участка проводника, в котором выделяется общее количество теплоты

Рассмотрим опять однородный цилиндрический проводник сечения длины I и объема Согласно (35 7) и (36.4)

откуда на основании (36.1)

или на основании (36.5)

Уравнение (36.6) представляет собой наиболее общую формулировку закона Джоуля, применимую к любым проводникам, вне зависимости от их формы, однородности и т. д., наконец, вне зависимости от того, имеем ли мы дело с постоянным или переменным током. Что же касается уравнения (36.7), то, как мы увидим в § 39, область приложимости его несколько уже.