§ 21. Свободные и связанные заряды. Потенциал электрического поля при наличии диэлектриков. Зависимость поляризации от поля

1. При рассмотрении электростатического поля, в случае наличия в нем диэлектриков, нужно различать два рода электрических зарядов: свободные и связанные. Под свободными зарядами мы будем понимать, во-первых, все электрические заряды, которые под влиянием электрического поля могут перемещаться на макроскопические расстояния (электроны в металлах и вакууме, ионы в газах и электролитах и т. п.), и, во-вторых, заряды, нанесенные извне на поверхность диэлектриков и нарушающие их нейтральность. Заряды же, входящие в состав нейтральных

молекул диэлектриков, равно как и ионы, закрепленные в твердых диэлектриках вблизи определенных положений равновесия, мы будем называть зарядами связанными.

Потенциал электростатического поля при наличии в нем диэлектриков равен, очевидно, сумме потенциала возбуждаемого свободными зарядами, и потенциала возбуждаемого связанными электрическими зарядами в диэлектриках:

Потенциал свободных зарядов определяется формулой (12.11):

где под и а надо понимать объемную и поверхностную плотность свободных зарядов.

Потенциал же поля связанных зарядов однозначно определяется поляризацией диэлектриков.

Действительно, рассмотрим в целом нейтральный элемент объема диэлектрика. Электрический момент этого элемента, согласно (20.8), равен и поэтому потенциал зарядов диэлектрика, заключенных в элементе объема согласно (20.4), равен где есть расстояние рассматриваемой точки поля от Наконец, потенциал всех элементов поляризованного диэлектрика, т. е. всех связанных зарядов, определится, очевидно, интегралом

который можно распространить на все бесконечное пространство, ибо в тех точках, где диэлектрик отсутствует, и подынтегральное выражение обращается в нуль. Таким образом, результирующий потенциал электростатического поля при наличии диэлектриков выразится уравнением

2. Целесообразно несколько преобразовать это уравнение. Согласно формулам векторного анализа (10 и (432)

где индекс означает, что при дифференцировании радиус-вектор рассматривается как функция положения его начальной точки, совпадающей в данном случае с Так как вектор является функцией положения только этой «точки истока», то индекс при нами опущен как излишний. Итак,

или, согласно теореме Гаусса

где последний интеграл должен быть распространен по внешней поверхности рассматриваемого объема V и по поверхностям выделяющим из объема интегрирования поверхности разрыва вектора Если мы будем рассматривать полное поле, то интеграл по обратится в нуль, интеграл же по поверхностям при стягивании их к сведется, как обычно например, вывод уравнения (12.6)], к

Вводя, наконец (пока чисто формальным образом), обозначения

и внося в (21.1) выражение для получим окончательно:

Таким образом, электрическое поле при наличии диэлектриков совпадает с полем, которое возбуждалось бы в отсутствие диэлектриков теми же свободными зарядами при добавлении к ним зарядов и сгсвзн, определяемых уравнениями (21.2). Ясно, что величины рсвзн и представляют собой не что иное, как среднюю плотность «связанных» зарядов диэлектрика. В § 26 мы установим справедливость этого утверждения путем непосредственного вычисления

Заметим, что в равномерно поляризованном диэлектрике плотность (средняя) связанных зарядов, согласно (21.2), равна нулю. Это и понятно, ибо ввиду одинаковости физического состояния смежных участков диэлектрика в этом случае нигде не может произойти накопления зарядов одного знака. На границе же поляризованного диэлектрика и вакуума или металла,

согласно (21.2), сосредоточивается поверхностный связанный заряд плотности

(ибо как в вакууме, так и в металле

3. Сравнивая (21.3) с (12.11) и (11.3), очевидно, получим

Приняв во внимание соотношения

а также уравнение (21.2), мы можем переписать это равенство следующим образом:

или

4. Дифференциальные уравнения (21.4) и (21.5) являются основными уравнениями электростатического поля в произвольной среде. Для получения полной системы уравнений электростатики их нужно только дополнить уравнением, связывающим

В отсутствие внешних полей поляризация диэлектрика равна нулю: электрические моменты отдельных молекул в отсутствие внешнего поля, если и отличны от нуля, то ориентированы совершенно беспорядочно и в сумме дают нуль. При наличии же электрического поля поляризация диэлектрика, как показывает опыт, пропорциональна напряженности поля Е:

Отклонения от пропорциональности между в доступных нам полях настолько незначительны, что ими, за редкими исключениями (см., например, § 29), можно вовсе пренебречь.

Коэффициент а в (21.6) характеризует собой свойства данного диэлектрика и носит название поляризуемости диэлектрика.

Остается еще вопрос о направлении вектора В изотропных диэлектриках уже из соображений симметрии явствует, что вектор может быть направлен только по единственно выделенному направлению электрического поля (или же противоположно Так как положительные заряды смещаются при поляризации диэлектрика по направлению поля и так как вектор электрического момента направлен от отрицательных зарядов к положительным (ср. случай простого диполя, рис. 26), то вектор параллелен полю и в векторной форме мы получаем окончательно:

Однако в анизотропных средах направление вектора поляризации может не совпадать и, вообще говоря, не совпадает с направлением поля. Абсолютная величина вектора в этом случае также зависит не только от абсолютной величины вектора но и от направления вектора по отношению к кристаллографическим осям диэлектрика. Однако связь слагающих вектора со слагающими вектора остается линейной, а именно в анизотропных диэлектриках уравнения (21.6) и (21.7) должны быть заменены следующими:

причем значения коэффициентов поляризуемости зависят от ориентации осей х, у, z координатной системы по отношению к кристаллографическим осям диэлектрика.

В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только изотропных диэлектриков, к которым применима формула (21.7).