§ 34. Тензор натяжений электрического поля

1. Обращаемся к поставленной в начале предыдущего параграфа задаче сведения пондеромоторных сил электрического поля к натяжениям. С этой целью удобно разложить общее выражение (32.10) для объемной плотности этих сил на два слагаемых:

Наша задача будет, очевидно, разрешена, если мы найдем такой тензор чтобы по подстановке его компонент в правую часть уравнений (33.7) левые части этих уравнений совпали с определяемыми формулой (34.1) слагающими плотности объемных сил

2. Выразим в через с помощью (22.2) и рассмотрим слагающую плотности сил по какому-нибудь направлению, например по оси Легко убедиться [ср. уравнение (43)], где соответствует в нашем случае величине что

Далее, воспользовавшись (32.2) и имея в виду (7.6), получаем

и, следовательно,

Таким образом,

Уравнение это совпадает по форме с (33.7), если положить

Аналогичным образом могут быть определены и остальные компоненты тензора совокупность которых может быть представлена в форме (33.6):

Что же касается второй слагающей объемных сил, то, как непосредственно видно, она совпадает по форме с (33.7), причем отличны от нуля только те компоненты эквивалентного ей тензора натяжений которые расположены на главной диагонали матрицы (33.6):

Таким образом, как как и (а стало быть, и их сумма являются симметричными тензорами, т. е. удовлетворяют условию (33.10).

Итак, эквивалентность объемных сил (34.1) системе натяжений (34.2) и (34.3) нами доказана, и мы можем утверждать, что общая сила действующая на произвольный участок среды V, определяется состоянием поля на границах этого участка, т. е. может быть сведена к системе сил или натяжений, приложенных к его поверхности

3. Впервые пондеромоторные силы поля были сведены к натяжениям Максвеллом, который, однако, не учитывал зависимости

диэлектрической проницаемости от плотности диэлектрика (см. конец § 32). Поэтому максвеллов тензор натяжений соответствует лишь части нашего тензора натяжений а именно тензору

Для отличия от «максвелловых» сил и «максвелловых» натяжений мы будем называть силы и соответствующий им тензор стрикционными. Заметим, что стрикционные натяжения эквивалентны всестороннему давлению

ибо давление есть отрицательное натяжение, направленное по нормали к произвольной площадке внутри тела и не зависящее от ориентации этой площадки.

В жидких и твердых телах стрикционные силы и натяжения одного порядка величины с максвелловыми силами и натяжениями (ибо одного порядка ). Это отмечалось Гельмгольцем, Джинсом и др., однако оставалось неясным, почему пренебрегавшие стрикционными силами и натяжениями авторы не получали существенно ошибочных результатов. Покажем, в чем здесь дело.

Допустим, что мы интересуемся только равнодействующей всех сил электрического поля, приложенных к произвольному телу А, и результирующим моментом этих сил. Согласно (33.3) и (33.9) равнодействующая и момент этих сил однозначно определяются значениями тензора с внешней стороны поверхности тела Стрикционные натяжения в вакууме, очевидно, равны нулю (ибо в вакууме нужно считать равным нулю). Поэтому, если тело окружено вакуумом, то стрикционные силы и натяжения влияют только на распределение сил по объему тела, но не влияют ни на величину равнодействующей всех сил ни на их момент

Если же тело А окружено не вакуумом, а диэлектриком В, то определяемая тензором равнодействующая приложенных к А стрикционных сил вообще говоря, не равна нулю. Однако если система тел находится в механическом равновесии, то эта не учитывавшаяся Максвеллом сила точно компенсируется также не учитывавшимися Максвеллом дополнительными механическими силами, испытываемыми телом А

со стороны тела В благодаря тому, что само тело В подвергается электрострикции.

Поясним это простейшим примером. Пусть тело А представляет собой заряженный шарик, погруженный в бесконечный однородный жидкий диэлектрик гидростатическое давление в жидкости В вдали от шарика А задано и равно Весом жидкости В пренебрегаем. Тогда «по Максвеллу» на поверхность шарика А будут действовать, во-первых, электрические натяжения во-вторых, гидростатическое давление жидкости В действительности же надо еще учесть, во-первых, электрострикционные натяжения действующие на поверхность тела А и эквивалентные, согласно (34.4), давлению во-вторых, так как жидкость подвергается в электрическом поле давлению то гидростатическое давление жидкости вблизи шарика А не будет равно гидростатическому давлению в бесконечности: условием равновесия жидкости будет постоянство полного давления в ней

Таким образом, сумма действующих на поверхность тела электрострикционных натяжений эквивалентных давлению и фактического гидростатического давления жидкости равна гидростатическому давлению жидкости вычисленному без учета электрострикции. Конечно, если жидкость не находится в равновесии, то неучет электрострикции поведет, вообще говоря, к ошибке.

Итак, если нас интересует не распределение пондеромоторных сил по объему произвольного тела А, а лишь равнодействующая этих сил и их момент то можно ограничиться рассмотрением одних только максвелловых сил и максвелловых натяжений отбрасывая стрикционные силы и натяжения и при условии, что тело А окружено либо вакуумом, либо диэлектрической средой, находящейся в механическом равновесии.

4. Внося в (33.5) значения компонент тензора можно определить слагающие по оси х силы натяжения действующей в электрическом поле на единичную площадку, внешняя нормаль к которой направлена по

Совокупность этого выражения для и аналогичных выражений для Туп и в векторной форме может быть записана так:

В частном случае, если рассматриваемый элемент поверхности перпендикулярен полю и его внешняя нормаль параллельна натяжение, приложенное к нему извне, определится выражением

если же нормаль перпендикулярна полю, то

и

Наконец, если площадка имеет некоторое промежуточное направление, то ее можно разложить на две взаимно перпендикулярные площадки, параллельную и перпендикулярную причем действующие на эти площадки силы определятся из (34.6) и (34.7). Стало быть, система натяжений в электрическом поле сводится к тяге по направлению поля [уравнение (34.6)] и к давлению (отрицательная тяга) по направлению, перпендикулярному [уравнение (34.7)].

С точки зрения механической теории поля, эта тяга и это давление суть не что иное, как силы упругости, возникающие в эфире при деформации его в электрическом поле. Согласно (34.6) и (34.7), силы эти испытываются всеми теми участками эфира (как в вакууме, так и в материальных телах), в которых поле (т. е. деформация эфира) не равно нулю.

Конечно, с точки зрения современной теории, отрицающей существование материального эфира (в механическом смысле этого слова), пондеромоторные силы электрического поля могут быть приложены лишь к электрическим зарядам и к материальным телам, несущим эти заряды, или, точнее, состоящим из

электрических зарядов (электронов и атомных ядер). Однако, по доказанному, результирующая сила, действующая на тела, находящиеся в произвольном объеме V, может быть формально представлена в виде суммы натяжений, «испытываемых» поверхностью этого объема S (могущей, конечно, проходить как в вакууме, так и в материальных телах). Следовательно, мы можем оперировать с этими натяжениями, будучи уверенными в правильности окончательных результатов. Принципиальное же значение понятия натяжений электромагнитного поля выяснится в § 105, в котором мы убедимся, что в переменных электромагнитных полях нарушается эквивалентность между пондеромоторными силами и электромагнитными натяжениями и что избыток суммы натяжений, испытываемых поверхностью объема V, над пондеромоторными силами, испытываемыми находящимися в этом объеме телами, определяет собою изменение количества движения электромагнитного поля в этом объеме.

5. Замена пондеромоторных сил эквивалентной системой натяжений весьма облегчает, в частности, определение сил, приложенных к поверхности разрыва электрического поля, т. е. к поверхностям, заряженным свободным электричеством, и к поверхностям раздела сред различной поляризуемости. Правда, при выводе системы натяжений (34.2) и (34.3) мы базировались на результатах § 32, в котором подобные поверхности разрыва предполагались отсутствующими. Однако, определив на основании (34.2) и (34.3) результирующую силу, приложенную, например, к заряженному слою конечной толщины, и переходя затем в пределе к бесконечно тонкому слою, мы найдем, очевидно, силу, действующую на заряженную поверхность.

Нормаль к поверхности слоя, отграничивающего среду 1 от среды 2, обозначим через для определенности предположим, что направлено из среды 1 в среду 2. Элемент той поверхности слоя, которая граничит со средой 1, будет, согласно (34.5), испытывать со стороны этой среды силу

(для простоты тензор заменяем максвелловым тензором а элемент поверхности, граничащей со средой 2, будет испытывать со стороны этой среды силу

Отличие знаков этих выражений обусловливается тем, что, по условию, направление внешней нормали к слою совпадает в среде 2 с направлением а в среде 1 — прямо ему противоположно. Общая сила, действующая на элемент слоя поверхности равна, таким образом:

Очевидно, что это соотношение должно остаться справедливым и при переходе к предельному случаю бесконечно тонкого слоя, т. е. к поверхности.

Таким образом, результирующая сила, действующая на единицу площади произвольной поверхности, равна

где суть, соответственно, значения векторов с внутренней и с. внешней (по отношению к ) сторон этой поверхности.

Разумеется, для всякой поверхности, не являющейся поверхностью разрыва, так что сила обращается в нуль.

Приложенные к поверхности разрыва силы (34.8) проявляются в том, что под их воздействием в помещенных в электрическое поле телах возникают уравновешивающие их упругие натяжения, сумма всех натяжений (электрических и упругих) не может испытывать разрывов и должна быть одинаковой по обеим сторонам любой поверхности, в том числе и поверхности заряженной или поверхности раздела двух сред. Впрочем, в большинстве случаев представляют интерес не натяжения, возникающие в телах под воздействием электрического поля, а результирующая сила, действующая в этом поле на данное тело и определяющаяся не скачком тензора электрических натяжений на поверхности этого тела а значением слагающих тензора с внешней стороны поверхности тела

6. Воспользуемся теперь тензором натяжений чтобы уточнить смысл обычного утверждения, гласящего - пробный заряд помещенный в жидкий или газообразный диэлектрик, напряженность электрического поля в котором равна испытывает силу

Пусть пробный заряд представляет собою небольшое заряженное произвольной формы тело А из металла или диэлектрика. Обозначим через поле этого тела, помещенного в данную точку среды, так что истинное поле при наличии пробного тела равно Поле возбуждается, во-первых, свободным зарядом пробного тела и, во-вторых, распределением связанных или индуцированных зарядов, которые возникают в нем под воздействием внешнего поля Результирующую силу, действующую на пробное тело А, можно вычислить с помощью формулы (34.2); тензор по доказанному, к этой силе ничего не привносит

Слагающие тензора являются квадратичными функциями слагающих поля При вычислении слагающих сделаем два предположения:

1) тело А настолько мало, что на всем протяжении некоторой охватывающей его поверхности невозмущенное наличием пробного тела поле и диэлектрическую проницаемость среды можно считать постоянными;

2) заряд и размеры тела А настолько малы, что возбуждаемое им в точках этой поверхности поле гораздо меньше так что при вычислении членами, квадратичными в можно пренебречь.

Пусть ось х совпадает с направлением поля вблизи пробного тела А. Тогда при перечисленных условиях путем простых выкладок получим из (34.2):

и после подстановки в (33.2) и (33.5)

Первый интеграл, как легко убедиться, обращается в нуль, второй же на основании (22.3) равен так что

Далее, при указанных условиях Таким образом, перечисленные условия действительно обеспечивают справедливость формулы (34.9).

Задача 20. Заряд расположен в вакууме на расстоянии от поверхности однородного диэлектрика, заполняющего полупространство Пользуясь результатами решения примера в конце § 23, показать, что сила притяжения между зарядом и диэлектриком равна

Примечание. Конечно, это выражение для силы взаимодействия остается справедливым и в случае диэлектрика конечных размеров, если только его поперечные размеры (точнее, расстояние от заряда тех участков, где поверхность диэлектрика перестает быть плоской или где начинает меняться диэлектрическая проницаемость) и толщина достаточно велики по сравнению с