§ 33. Сведение объемных сил к натяжениям

1. Как уже упоминалось в § 16, механистическая теория электромагнитного поля прошлого века искала причины электрических явлений в упругих деформациях гипотетической среды — эфира. Характерной особенностью сил упругости, как, впрочем, и вообще сил близкодействия, является возможность сведения их к натяжениям, возникающим в деформированных средах, т. е. возможность сведения сил, действующих на произвольный участок среды, к силам натяжения, испытываемым поверхностью этого участка (в частности, давление есть отрицательное натяжение).

Соответственно этому перед механистической теорией поля стояла задача сведения пондеромоторных сил поля к упругим натяжениям среды. Свести эти силы к натяжениям, как мы покажем, действительно, оказывается возможным. Правда, это обстоятельство ни в коей мере не спасает механистической теории поля, оказавшейся в целом несостоятельной; однако при рассмотрении многих вопросов замена пондеромоторных сил эквивалентными им натяжениями оказывается весьма целесообразной.

В этом параграфе мы рассмотрим вопрос о сведении объемных сил к натяжениям в общей форме с тем, чтобы в следующем параграфе применить полученные результаты к интересующему нас случаю электрического поля.

2. Рассмотрим некоторый объем среды V, ограниченный поверхностью Если есть объемная плотность сил, то равнодействующая всех сил, приложенных к телам, находящимся внутри объема V, будет равна

С другой стороны, если объемные силы вообще могут быть сведены к натяжениям, то той же величине должна равняться и совокупность натяжений, действующих извне на замкнутую поверхность

Сила натяжения, испытываемая каким-либо элементом поверхности произвольного участка среды, пропорциональна этому элементу и зависит не только от его положения, но и от его направления, — иными словами, является не только функцией точки, но и функцией направления нормали к элементу В частности, при повороте площадки на 180°, т. е. при изменении направления нормали на обратное, сила натяжения меняет свой знак. В этом выражается тот факт, что на противоположные стороны произвольного элемента поверхности всегда действуют взаимно уравновешивающиеся равные и противоположные натяжения.

Обозначим через силу, действующую извне на единицу поверхности, внешняя нормаль к которой направлена по компоненты этой силы по осям координат обозначим через Тогда равнодействующая всех натяжений, приложенных извне к поверхности, очевидно, равна

где есть внешняя нормаль к элементу Приравнивая выражения (33.1) и (33.2):

мы можем найти соотношение между плотностью объемных сил и натяжением

3. Выберем какую-либо произвольную систему декартовых координат и обозначим соответственно через Ту и силу натяжения, действующую извне на единичную площадку, внешняя нормаль к которой направлена соответственно по оси х, по оси у и по оси Слагающие этой силы по осям координат обозначим через так что

Таким образом, например, есть слагающая по оси х силы действующей на единичную площадку, внешняя нормаль к которой направлена по оси

Легко показать (см. любой учебник теории упругости), что сила натяжения действующая извне на произвольно ориентированную единичную площадку, внешняя нормаль к которой

имеет направление связана с силами следующим соотношением:

так что слагающая этой силы, например, по оси х равна

Таким образом, девять величин, вполне характеризуют собою систему натяжений в данной точке пространства: значениями этих величин вполне определяются натяжения, испытываемые произвольно ориентированной площадкой. Величины Гц, называются компонентами тензора натяжений, а их совокупность носит название тензора натяжений, который будет обозначаться нами буквой (без индексов). Компоненты тензора могут быть записаны в следующей симметричной форме:

4. Чтобы от интегрального соотношения (33.3) между натяжениями и объемными силами перейти к соотношениям дифференциальным, мы должны, очевидно, прежде всего преобразовать поверхностный интеграл справа в объемный (или наоборот). Воспользовавшись формулами (33.2) и (33.5), мы можем следующим образом выразить слагающую равнодействующей по оси х через компоненты тензора натяжений:

Воспользуемся теперь теоремой Гаусса (17, которая в развернутой форме гласит:

Так как эта теорема справедлива для любых непрерывных функций точки то, полагая в ней получаем (при условии непрерывности компонент тензора натяжений внутри объема V):

Внося это в (33.3) и приравнивая ввиду произвольности объема V подынтегральные выражения, получаем окончательно

и аналогично:

Эти формулы и устанавливают искомые дифференциальные соотношения между плотностью объемных сил и компонентами тензора натяжения

5. Из (33.7) следует, что плотность объемных сил определяется не абсолютной величиной натяжений, а характером изменения натяжений в пространстве (при перемещениях точки наблюдения). В частности, равно нулю, если компоненты тензора натяжения имеют в данном участке среды постоянные значения. Это и понятно, ибо если мы мысленно выделим в среде произвольный параллелепипед, то в случае постоянства тензора на противоположные его грани будут действовать натяжения, равные по величине и противоположные по направлению; следовательно, равнодействующая приложенных к параллелепипеду сил будет равна нулю.

6. Для эквивалентности объемных сил и натяжений необходимо, чтобы при замене объемных сил эквивалентными натяжениями оставались неизменными не только равнодействующая сил, приложенных к произвольному объему, но и момент этих сил. Это обстоятельство накладывает дополнительное ограничение на компоненты тензора натяжений.

Момент объемных сил, приложенных к произвольному объему V, равен

где есть расстояние от точки О, относительно которой определяется момент сил, до элемента Если объемные силы эквивалентны натяжениям то должно выполняться соотношение (33.7). Следовательно, слагающая например, по оси х, должна равняться

Подынтегральное выражение справа может быть представлено следующим образом:

Так как первые три члена этого выражения по своему виду совпадают с выражением дивергенции вектора с компонентами

то объемный интеграл можно преобразовать с помощью теоремы Гаусса (17*):

причем на основании (33.5)

Окончательно получаем

Поверхностный интеграл справа равен моменту сил натяжения приложенных к поверхности объема Момент этих сил натяжения будет равняться моменту сил объемных в том и только в том случае, если последний интеграл справа равен нулю. Ввиду произвольности объема V это будет иметь место только при равенстве нулю подынтегрального выражения во всех точках пространства:

Повторив те же рассуждения для слагающих по осям получим следующие соотношения:

Тензоры, компоненты которых удовлетворяют соотношениям (33.10), называются симметричными.

Таким образом, необходимые и достаточные условия того, чтобы система объемных сил и система натяжений были эквивалентны друг другу как в отношении равнодействующей сил, приложенных к произвольному объему, так и в отношении момента этих сил, сводятся, во-первых, к соотношениям (33.7) и, во-вторых, к симметрии тензора натяжений. Если же тензор натяжений не симметричен, то система натяжений не может быть заменена эквивалентным распределением объемных сил.

Это, впрочем, явствует уже из того, что если компоненты тензора постоянны, то объемные силы, согласно (33.7), обращаются в нуль, тогда как момент сил натяжения, приложенных

к произвольному объему, будет при Ты отличаться от нуля даже при постоянстве .

7. Ранее мы пользовались некоторой произвольно выбранной системой координат и не касались вопроса о законе преобразования компонент тензора при преобразовании координат. Этот закон может быть найден из требования (вытекающего из самого определения понятия натяжения), чтобы слагающие силы действующей на произвольно расположенную и произвольно ориентированную площадку преобразовывались по правилам преобразования векторов.

Мы не будем останавливаться здесь на выводе этого закона преобразования; отметим только, что с помощью его можно убедиться в том, что как уравнение (33.7), так и условие (37.10) симметрии тензора сохраняют свой вид при любом преобразовании декартовых координат.