§ 64. Полная система уравнений поля постоянных токов. Однородная магнитная среда

1. Система полученных в § 63 уравнений

представляет собой полную систему уравнений постоянного магнитного поля в произвольной (но не ферромагнитной) среде. Это значит, что системой магнитное поле определяется однозначно, если только известно распределение объемных и поверхностных электрических токов и значение магнитной проницаемости [или, что, согласно уравнению (63.2), сводится к тому же, значение восприимчивости в каждой точке среды и если на бесконечности удовлетворено условие (49.10): при остается конечным.

Доказательство полноты системы вполне аналогично доказательствам полноты систем уравнений и изложенным в § 22 и 49, и мы предоставляем провести его читателю.

Из однозначности системы в частности, следует [ср. аналогичный вывод из системы (А) в § 22], что при отсутствии токов проводимости (и при отсутствии ферромагнетиков) постоянное магнитное поле тождественно равно нулю. Стало быть, наличие (неферромагнитных) магнетиков лишь видоизменяет поле токов; в отсутствие же последних намагничение магнетиков не может сохранять постоянное во времени и отличное от нуля значение — оно спадает до нуля, и магнитное поле исчезает.

При система как и следовало ожидать, полностью совпадает с уравнениями магнитного поля в вакууме [система (В), § 49].

2. Рассмотрим случай однородной магнитной среды постоянны), в которой система уравнений принимает вид

так как при постоянном

Эта система уравнений для вектора полностью совпадает с системой уравнений магнитного поля токов в отсутствие

магнетиков (см. §49): постоянный фактор из нее выпадает. Таким образом, при заполнении всего поля однородным магнетиком напряженность магнитного поля токов не изменяется, оставаясь такой же, как и в отсутствие магнетиков (т. е. как при ); магнитная же индукция В возрастает в раз. В этом проявляется отмеченное в § 62 соответствие между напряженностью магнитного поля и индукцией электрического поля индукция электрического поля также не изменяется, если при заданном распределении (свободных) зарядов заполнить все поле однородным диэлектриком; напряженность же электрического поля возрастает при этом в раз (см. § 23).

3. Вектор-потенциал магнитного поля в общем случае определяется уравнениями (62.10), (46.7), (62.11) и (61.7), которые мы сопоставим здесь еще раз:

В двух последних из этих уравнений можно с помощью уравнения (63.1) выразить I через Однако в случае неоднородной среды это приводит к довольно сложным выражениям; кроме того, непрерывность векторов а вместе с тем и непрерывность производных вектора А, вообще говоря, нарушается на границе раздела сред различной проницаемости Поэтому мы не будем входить здесь в рассмотрение общего случая и ограничимся лишь рассмотрением векторного потенциала для поля токов в однородной среде постоянны). В этом случае вектор I непрерывен, и поверхностный интеграл в последнем из уравнений (64.2) отпадает. Далее, приняв во внимание уравнения (63.1), (62.7) и (63.2), получаем

и, следовательно,

Таким образом, вектор-потенциал токов в однородной магнитной среде в раз больше, чем в вакууме. Это обстоятельство вполне соответствует упомянутой выше независимости напряженности поля токов в однородной среде от проницаемости этой среды; действительно, на основании уравнений (63.3) и (62.10) получаем

В поле линейных токов (т. е., в сущности, на расстояниях от токов, больших по сравнению с их сечением) первая из формул (64.3) принимает вид [ср. уравнение (46.3)]

Вообще говоря, формулы (64.3) и (64.4) строго справедливы лишь в том случае, если постоянно не только во всем пространстве, окружающем проводники, по которым течет ток, но если и сами эти проводники обладают той же самой проницаемостью

Задача 32. Показать, что для тока, текущего по бесконечному прямолинейному цилиндрическому проводнику, первое уравнение (64.3) строго справедливо в окружающей проводник среде даже в том случае, если проницаемость проводника отлична от проницаемости окружающей среды при этом проводник может быть заключен в цилиндрическую оболочку произвольной проницаемости (изоляция).