§ 2. Векторные и скалярные поля. Градиент

1 Векторным или скалярным полем называется область пространства, каждой точке которой отнесено значение некоторого вектора или скаляра. Поскольку каждая точка поля определяется ее радиусом-вектором задание векторного или скалярного поля эквивалентно заданию некоторой векторной функции или соответственно скалярной функции Функции могут, конечно, зависеть, помимо также и от каких-либо скалярных аргументов, например времени. Функции мы будем считать непрерывными и дифференцируемыми относительно всех их аргументов.

Рассмотрим скалярное поле функции <р(х, Таким полем является, например, поле температуры неравномерно нагретого тела поле плотности неоднородного тела поле электростатического потенциала и т. п.

2. Пусть скаляр имеет в точке значение и пусть при перемещении по направлению вектора мы приходим из точки в точку где скаляр имеет значение Приращение при этом перемещении равно Предел отношения этого приращения к числовому значению перемещения обозначается через и называется производной скаляра в точке по направлению

Очевидно, что значение этой производной существенно зависит от выбора направления и что ее ни в коем случае нельзя смешивать с обыкновенной частной производной по скалярному параметру

3. Для изучения зависимости производной от направления дифференцирования рассмотрим те точки поля, в которых имеет одинаковое значение, равное, например, Совокупность этих точек, вообще говоря, образует собой поверхность, которая называется поверхностью уровня, или эквипотенциальной поверхностью. Аналитически поверхность эта характеризуется уравнением

Рисунок 94 изображает сечение плоскостью чертежа ряда поверхностей уровня, соответствующих значениям скаляра равным В поле точечного заряда

или заряженного шара поверхности уровня электростатического потенциала представляют собой концентрические сферы, в поле заряженного бесконечного цилиндра — коаксиальные цилиндры и т. д. Вообще же в более сложных случаях последовательные эквипотенциальные поверхности различны не только по своему положению и размерам, но и по своей форме. Однако, во всяком случае, поверхность каждого проводника является эквипотенциальной поверхностью, ибо потенциал проводника в электростатическом поле постоянен на всем его протяжении (§ 9).

Обозначим через нормаль к поверхности уровня направленную в сторону возрастания и покажем, что, зная производную по направлению этой нормали, можно определить значение производной скаляра по любому направлению

Пусть поверхность уровня, проходящая через лежащую в направлении точку пересекает нормаль (или ее продолжение в обратном направлении) в точке (рис. 95).

Рис. 94

Рис. 95

Значение в точке равно значению в точке и

Поэтому

Таким образом,

Вектор, численно равный и направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания носит название градиента скаляра

Поэтому уравнение (2 может быть записано так:

Стало быть, производная по направлению равна проекции вектора градиента на направление Если, в частности, ввести систему декартовых координат х, у, z, оси которой направлены параллельно единичным векторам то, согласно уравнению (4, получим

т. е.

Из уравнения (4 следует, как это, впрочем, и непосредственно явствует из рис. 95, что направление градиента есть направление наиболее быстрого возрастания скаляра а направление есть направление наиболее быстрого убывания В направлениях же, перпендикулярных к т. е. касательных к поверхности уровня, значение вовсе не изменяется

Чтобы наглядно изобразить зависимость значения производных от направления, проведем из данной точки два равных и противоположных вектора и опишем вокруг каждого из них, как вокруг диаметра, шаровые поверхности (рис. 96). Тогда абсолютная величина производной в точке по произвольному направлению изобразится отрезком луча, проведенного из в направлении ибо угол равен 90°, и

Рис. 96

Аналогичное соотношение справедливо и для того случая, когда направлено в сторону шаровой поверхности Поверхность, касательная к сферам в точке есть, очевидно, поверхность уровня.

4. Итак, если известно поле скаляра то в каждой точке этого поля можно определить вектор перпендикулярный поверхностям уровня этого скаляра. Если провести систему ортогональных траекторий поверхностей уровня, т. е. систему линий, перпендикулярных этим поверхностям (на рис. 94 эти линии обозначены штриховыми), то в каждой точке поля направление

градиента будет совпадать с направлением этих линий. Поэтому ортогональные траектории поверхностей уровня носят название линий градиента.

Если проводить поверхности уровня так, чтобы значение на последовательных поверхностях возрастало в арифметической прогрессии, т. е. равнялось бы (см. рис. 94), то расстояния смежных поверхностей уровня при достаточно малом будут обратно пропорциональны значениям градиента. Действительно, если измеренное по нормали расстояние между смежными поверхностями уровня обозначить через то из приближенного соотношения

при постоянном следует

Поэтому при указанном способе черчения поверхностей уровня густота их расположения дает приближенное представление о числовом значении градиента.

Заметим также, что если скаляр выражен в функции от другого скаляра являющегося функцией точки то при любом выборе направления дифференцирования

так как

что следует из формулы обычного дифференцирования функции от функции.

Пример 1. Градиент числового значения радиуса-вектора Прежде всего заметим, что числовое значение радиуса-вектора есть скалярная функция положения двух точек: начальной точки радиуса-вектора О и его конечной точки (рис. 97). Мы будем называть первую из этих точек точкой истока, а вторую — точкой наблюдения, ибо часто приходится рассматривать радиусы-векторы, проведенные из истоков поля (например, электрических зарядов) в ту «точку наблюдения», в которой определяется значение потенциала или напряженности поля.

Рис. 97

При определении значения в зависимости от условий задачи необходимо различать два случая: 1) точка истока О фиксирована, и рассматривается как функция положения точки

наблюдения и 2) точка фиксирована, и рассматривается как функция положения точки истока О. Значение соответствующее первому случаю, мы будем обозначать через а соответствующее второму — через

Определим сначала предположим, что точка истока О фиксирована. Направление т. е. направление наиболее быстрого возрастания расстояния при возможных перемещениях точки совпадает, очевидно, с направлением радиуса-вектора из Числовое же значение производной по этому направлению, очевидно, равно единице, ибо при перемещении точки по направлению на отрезок расстояние возрастает на ту же величину Стало быть, есть единичный вектор, направленный по т. е.

Что же касается то он должен быть направлен обратно ибо расстояние возрастает наиболее быстро при перемещении точки О в противоположную от сторону (см. рис. 97). Абсолютная же величина очевидно, тоже равна единице, так что

Определив, таким образом, мы можем с помощью (7 определить градиент любой скалярной функции от числового значения

абсолютная величина этого вектора равна

В частности,

Предоставляем читателю в виде упражнения доказать формулу (8 путем непосредственного вычисления слагающих в декартовых координатах, выразив предварительно в функции координат х, точек

Пример 2. Показать, что если есть постоянный по величине и направлению вектор, то

Вектор имеет слагающие поэтому Слагающая по оси вектора равна две другие соответственно равны откуда и следует формула (11).