§ 12. Потенциал объемных и поверхностных зарядов

1. В этом параграфе мы приведем доказательство выражений (8.7) и (8.8) для потенциала поверхностных и объемных зарядов, свободное от тех недостатков, которыми обладает приведенный ранее вывод этих выражений из формулы для потенциала точечного заряда (см. с. 44, 46). При этом мы будем исходить из уравнения Пуассона (11.3) для потенциала электростатического поля и воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Грина [см. (53], которая гласит:

Здесь означает поверхность, ограничивающую объем две произвольные, но непрерывные внутри объема V скалярные функции точки, обладающие внутри этого объема конечными производными как первого, так и второго порядка.

Поставим себе задачей определить значение электрического потенциала в некоторой точке поля Обозначим расстояние произвольной точки поля от точки через Положим в теореме Грина (12.1)

и примем во внимание уравнение (11.10):

и уравнение Пуассона (11.3):

Внося эти значения в формулу Грина (12.1), получим после деления на

2. Предположим сначала, что во всем рассматриваемом нами объеме V, включающем в себя точку и ограниченном поверхностью потенциал и его производные являются непрерывными функциями точки. Скаляр же

и его производные непрерывны и конечны во всем пространстве, кроме точки Так как теорема Грина применима только к таким участкам пространства, в которых оба скаляра, и их производные непрерывны, то точку необходимо исключить из области интегрирования Опишем с этой целью вокруг сферу (рис. 16) произвольно малого радиуса и применим формулу (12.2) к объему V, заключенному между внешней поверхностью и поверхностью сферы

где индекс знака поверхностного интеграла означает, что интеграл должен быть распространен по поверхностям Рассмотрим подробнее интеграл по поверхности

Рис. 16

Внешняя по отношению к объему интегрирования V нормаль к поверхности сферы направлена к ее центру и прямо противоположна радиусу-вектору Поэтому на поверхности

и

Внесем эти значения в поверхностный интеграл уравнения (12.3) и применим затем так называемую «теорему о среднем»

интегрального исчисления:

где суть некоторые средние значения величин и на поверхности сферы Так как равен общей поверхности сферы то правая часть уравнения равна

Будем теперь стремить к нулю радиус стягивая сферу в точку При этом последний член приведенного выражения обратится в нуль, а среднее значение потенциала на поверхности бесконечно малой сферы может быть принято равным значению потенциала в ее центре Таким образом,

Следовательно, в пределе при уравнение (12.3) принимает вид

или

где объемный интеграл может быть распространен на весь ограниченный поверхностью объем V, ибо при О V стремится к V, а подынтегральное выражение остается конечным при

Итак, потенциал в точке лежащей внутри объема V, в котором и его первые и вторые производные конечны и непрерывны, определяется потенциалом объемных зарядов, расположенных в уравнение (8.8)], и значениями на ограничивающей объем V поверхности

3. Предположим теперь, что хотя потенциал и остается конечным и непрерывным в объеме V, сплошность (непрерывность) градиента может нарушаться на отдельных «поверхностях разрыва», т. е. значения по различным сторонам

поверхности разрыва могут отличаться на конечную величину (изменение скачком). Мы увидим, что физический смысл этого предположения сводится к допущению наличия в объеме V заряженных поверхностей.

Предположим сначала, что внутри V существует лишь одна и притом незамкнутая поверхность разрыва Выберем произвольным образом направление положительной нормали к ней и обозначим ее не через как обычно, а через (рис. 17). Проведем затем замкнутую поверхность охватывающую тогда формулу (12.5) можно будет, очевидно, применить к объему заключенному между поверхностями При этом входящий в (12.5) поверхностный интеграл распадется на два интеграла: по поверхности и по поверхности

Рис. 17

Рис. 18

Будем теперь стягивать поверхность так, чтобы она все плотнее прилегала к В пределе совпадет с и интегрирование по сведется к двукратному интегрированию по поверхности разрыва один раз по внутренней (относительно нормали а другой раз по внешней стороне этой поверхности:

где индексами 1 и 2 отмечены значения подынтегральных выражений соответственно с внутренней (относительно нормали и внешней сторон поверхности разрыва В этом уравнении под нужно понимать, очевидно, нормаль, внешнюю по отношению к объему интегрирования V, т. е. направленную из V к Иными словами, с внутренней стороны от под нужно понимать направление а с внешней — направление (рис. 18). Так

как параллельно и антипараллельно то

и

где и суть значения производной по нормали с внутренней и внешней сторон поверхности Обозначая соответствующие значения потенциала через и внося полученные выражения в предшествующее уравнение, мы по приведении членов получим

Так как, согласно нашему предположению, потенциал всюду непрерывен, то значения его по обеим сторонам поверхности одинаковы, и первый член правой части уравнения (12.6) обращается в нуль. Стало быть, если ввести обозначение

то правая часть уравнения (12.6) примет вид

Вместе с тем при совпадении объем V совпадает, очевидно, с объемом V, ограниченным поверхностью так что уравнение (12.5) принимает вид

Таково, стало быть, выражение потенциала, если внутри ограниченного поверхностью объема V имеется незамкнутая поверхность разрыва сплошности градиента Если таких поверхностей несколько, то к каждой из них можно применить

приведенные рассуждения, так что в этом случае под вторым членом правой части формулы (12.8) нужно понимать сумму интегралов по всем поверхностям разрыва, лежащим внутри Формула эта применима, наконец, и к случаю замкнутых поверхностей разрыва, ибо всякую замкнутую поверхность можно разложить на две незамкнутые.

4. Первый член выражения (12.8) представляет собой потенциал объемных зарядов, расположенных в объеме V, второй же его член должен быть, очевидно, истолкован как потенциал поверхностных зарядов, распределенных с плотностью а по поверхности разрыва [ср. уравнение (8.7)]. Это толкование вполне совпадает с ранее полученными результатами. Действительно, если по-прежнему обозначить произвольно выбранную положительную нормаль к не через а через то (12.7) примет вид

Но, согласно (10.1),

где нормальная слагающая напряженности поля. Стало быть, уравнение (12.9) может быть записано следующим образом:

Сравнивая его с уравнением (4.3), мы убеждаемся, что величина а, определяемая уравнением (12.9), действительно равна плотности электрического заряда на поверхности Таким образом, мы вновь приходим к выводу, что поверхности разрыва нормальной слагающей градиента потенциала (т. е. поверхности разрыва физически равнозначны заряженным поверхностям, причем скачок этой слагающей пропорционален плотности заряда поверхности.

5. Обратимся, наконец, к последнему члену выражения (12.8), представляющему собой интеграл по пограничной поверхности объема V и выражающему зависимость потенциала в объеме V от этого потенциала и его первых производных на граничной поверхности этого объема.

Член этот вовсе выпадет из выражения потенциала, если мы под объемом интегрирования V будем понимать все бесконечное пространство (т. е. удалим ограничивающую V поверхность в бесконечность) и при этом наложим на и его производные следующие граничные условия: в бесконечности стремится к нулю не медленнее, чем а его первые производные по координатам не медленнее, чем т. е.

Первым из этих условий мы уже пользовались в § 8, приравнивая нулю значение потенциала в бесконечности [уравнение (8.3)]; второе же условие непосредственно связано с первым. Физически оно означает, что в бесконечности напряженность электрического поля равна нулю, т. е. что все заряды находятся в конечной области пространства. Во всем дальнейшем мы будем называть потенциалом электростатического поля то и только то решение уравнения Пуассона, которое удовлетворяет условиям

6. Покажем теперь, что при наложении условий (12.10) и удалении граничной поверхности в бесконечность последний член выражения (12.8) действительно обращается в нуль. Выберем в качестве поверхности сферу радиуса с центром в точке Внешняя нормаль к этой сфере совпадает с радиусом-вектором так что

Из условия (12.10) следует, стало быть, что подынтегральное выражение интересующего нас интеграла при стремится к нулю не медленнее, чем тогда как поверхность интегрирования растет пропорционально лишь Стало быть, интеграл этот при стремится к нулю и (12.8) принимает вид (если опустить индекс :

где расстояние элемента объемного заряда или заряда поверхностного от точки поля, обладающей потенциалом и где интегрирование должно быть распространено по всему пространству, занятому зарядами с прежними формулами (8.7) и (8.8)].

Из изложенного явствует, что поверхностный интеграл в формуле (12.8) учитывает поле зарядов, лежащих вне объема интегрирования V (а также возможность добавить к произвольную аддитивную постоянную).

7. Напомним, что во всем предыдущем изложении нами предполагалось, что как сам потенциал, так и его первые производные (градиент) всюду конечны. Бесконечность градиента (т. е. скачок потенциала) означала бы бесконечную напряженность электрического поля, что физически бессмысленно. Конечность же градиента означает непрерывность что и предполагалось нами во всем предшествующем. Впрочем, в § 14 вернемся к

вопросу о поверхностях разрыва потенциала с несколько иной точки зрения.

8. Если размеры заряда занимающего объем настолько малы по сравнению с расстоянием его до рассматриваемой точки поля что расстояние всех элементов заряда от можно считать одинаковым, то потенциал этого заряда в будет равен

что совпадает с выражением (8.5) потенциала точечного заряда.