§ 67. Дополнение к выводу макроскопических уравнений магнитного поля в магнетиках

1. В § 62 мы вывели дифференциальные уравнения макроскопического поля путем усреднения соответствующих микроскопических уравнений. При этом мы воспользовались уравнением (61.9):

которое было получено нами в § 61 довольно окольным путем. Ввиду фундаментальной важности уравнения (67.1) мы посвятим настоящий параграф непосредственному выводу этого уравнения из основных положений электронной теории магнетиков.

2. Рассмотрим некоторый физически бесконечно малый объем магнетика V, ограниченный поверхностью По определению [см. уравнение (25.1)]

где означает среднее макроскопическое значение плотности молекулярных токов.

В магнитном отношении молекулярный ток, как и всякий элементарный ток, вполне характеризуется заданием его магнитного момента Поэтому с целью упрощения вычислений мы можем предположить, что молекулярные токи являются токами линейными и что контур каждого молекулярного тока представляет собой окружность. Если радиус кругового тока равен а, а сила его то, согласно уравнению (56 2),

В окончательный результат наших вычислений ни а, ни явно входить не будут, так что наше специальное допущение, по существу, общности рассуждений не ограничивает. Кроме того, законность замены молекулярных токов токами линейными может быть строго обоснована разложением каждого молекулярного тока на совокупность бесконечно тонких нитей тока, каждая из которых является током линейным.

Считая все молекулярные токи линейными, можем, согласно уравнению (44 1), написать

Стало быть, уравнение (67.2) примет вид

где суммирование должно быть распространено на все расположенные в объеме V элементы молекулярных токов (для простоты предполагаем, что все эти токи обладают одинаковой силой)

3. Если какой-либо элементарный ток целиком расположен внутри объема V, то векторная сумма всех его элементов будет равна нулю (ибо ток замкнут). Стало быть, сумма сведется к сумме элементов тех молекулярных токов, которые рассекаются поверхностью ограничивающей объем V, и, таким образом, лишь частью находятся внутри Далее,

если поверхность рассекает какой-нибудь из круговых токов по хорде (рис. 64), то векторная сумма элементов этого тока, лежащих внутри поверхностей , будет, очевидно, равна замыкающей хорде Следовательно, если эта хорда по величине и направлению равна то Величина и направление вектора будут зависеть от направления плоскости тока, которая характеризуется направлением перпендикулярного к ней вектора и от расстояния центра тока от поверхности

Рис. 64

Рис. 65

Пусть составляет с внешней нормалью к поверхности угол а и пусть центр тока О находится на расстоянии от поверхности (рис. 65), причем х мы будем считать отрицательным или положительным в зависимости от того, находится ли О внутри или вне Проведем через плоскость, перпендикулярную к точку пересечения ее с обозначим через Двугранный угол между поверхностью и плоскостью тока обозначим через Этот угол не больше, чем и либо равен углу а между нормалями и к поверхности и плоскости тока, либо равен (если Так как перпендикулярно поверхности, то

Далее, так как и равны радиусу тока а, то

4. Рассмотрим теперь совокупность молекулярных токов, направление магнитного момента которых лежит внутри бесконечно малого телесного угла Число этих токов в единице объема магнетика обозначим через число таких токов в слое толщиной и с основанием находящемся на расстоянии х от элемента пограничной поверхности будет равно

Если

то все эти токи будут пересекаться пограничной поверхностью, причем пересекаться они будут по равным и параллельным хордам Поэтому абсолютная величина суммы относящихся к этим токам членов суммы будет равна

Интегрируя это выражение по х от до получим значение соответствующей суммы для всех токов, пересекаемых элементом граничной поверхности направление магнитного момента которых лежит внутри угла

Чтобы определить направление вектора относящегося к токам указанного направления, заметим, что хорда каждого тока лежит как в плоскости элемента так и в плоскости самого тока, и следовательно, перпендикулярна как к так и к Стало быть, а вместе с тем и должно быть параллельным из рассмотрения рисунков 64 и 65 следует, что знак здесь нужно выбрать положительный. Так как, с другой стороны,

(поскольку угол и равен либо а, либо , то последнее уравнение можно записать в векторной форме так:

где, как обычно, вектор считается направленным по внешней нормали

Чтобы получить полную сумму всех элементов длины токов, отсекаемых элементом граничной поверхности достаточно, очевидно, проинтегрировать последнее выражение по при этом получаем

Входящий в это выражение интеграл представляет собой векторную сумму моментов всех молекул, находящихся в единице объема магнетика, и, стало быть, согласно уравнению (60.3), равен намагничению магнетика Таким образом,

Наконец, полная сумма всех элементов длины молекулярных токов, отсекаемых всеми элементами замкнутой поверхности будет равна

Последний интеграл может быть на основании уравнения (56 преобразован в интеграл по объему V, так что окончательно получаем

Правая часть этого уравнения представляет собой, согласно уравнению (25.1), среднее значение ротора I в физически бесконечно малом объеме Так как сам вектор I является величиной микроскопической и равен, согласно (60.4), средней (по физически бесконечно малому объему) плотности

магнитного момента магнетика, то среднее значение можно заменить просто на Таким образом, получаем

что совпадает с уравнением (67.1), которое и требовалось доказать

5 Заметим, что из этого уравнения, в частности, вытекает, что средняя плотность молекулярных токов в равномерно намагниченной среде равна нулю В этом легко убедиться и непосредственно, рассматривая, например, объем V кубической формы Благодаря постоянству вектора I противолежащие грани куба будут рассекать одинаковое число молекулярных токов данного направления и притом так, что участки этих токов, отсеченные одной гранью, будут в среднем как раз дополняться до полного замкнутого контура участками, отсеченными гранью противолежащей Поэтому векторная сумма отсеченных участков будет равна нулю.