§ 87. Уравнение непрерывности

1. До сих пор мы предполагали, что переменные токи, подобно токам постоянным, являются замкнутыми. Как мы убедились в § 37, необходимым условием замкнутости линий тока является требование, чтобы в каждой точке проводника удовлетворялось соотношение (37.4)

Из соотношения (37.4), в частности, следует, что в неразветвленном проводнике сила тока в каждый данный момент одинакова во всех его сечениях и что в точках разветвления проводников удовлетворяется первый закон Кирхгофа (37.1).

Однако формула (37.4) и следующие из нее выводы, в сущности, неприменимы к переменным токам, или, точнее говоря,

применимы с известным приближением лишь к определенному классу переменных токов (замкнутые квазистационарные токи, см. дальше). Вообще же говоря, переменные токи могут протекать по не замкнутым контурам (цепь с конденсатором, между обкладками которого находится диэлектрик; токи в антенне и т. п.), сила их может быть различна в различных сечениях проводника и т. д. Напомним, что само уравнение (37.4) было получено нами в § 37 из более общего «уравнения непрерывности» (37.2)

заряд, находящийся в ограниченном поверхностью объеме V) на том основании, что в поле постоянных токов распределение электрических зарядов должно оставаться постоянным. В случае же токов переменных это условие, вообще говоря, не выполняется, и уравнение непрерывности (37.2) не сводится к уравнению (37.4)

2. Для дальнейшего нам удобно будет преобразовать уравнение непрерывности (37.2) следующим образом. Если в ограничиваемом поверхностью объеме V нет ни поверхностных зарядов, ни разрывов сплошности плотности тока (разрывы эти могут иметь место лишь на поверхностях раздела различных сред), то

где объемная плотность электрических зарядов, и

[согласно теореме Гаусса, уравнение (17]. Следовательно, уравнение (37.2) принимает вид

где изменение порядка интегрирования по V и дифференцирования по возможно при условии неподвижности рассматриваемого нами объема V (поэтому здесь дан знак частной производной по времени, см. с. 393). Ввиду произвольности объема V из последнего равенства следует:

3. Уравнение (87.1) и представляет собой дифференциальную форму уравнения непрерывности. На поверхностях разрыва вектора оно должно быть, конечно, заменено уравнением

в чем можно убедиться либо непосредственно из уравнения (37.2), либо на основании уравнения (6.8). В частности, на границе проводника и непроводящей среды (если нормаль направлена от проводника наружу) и, следовательно, имеет место соотношение

гласящее, что количество электричества притекающее за единицу времени к единице поверхности проводника, равно приращению заряда а этого участка поверхности (в единицу времени).

Уравнения (87.1) и (87.2) дают возможность, зная плотность токов, определить вызываемое этими токами изменение распределения зарядов.