§ 105. Тензор натяжений и пондеромоторные силы электромагнитного поля

1. В § 34 и 84 мы нашли выражение тензора натяжений в стационарных электрическом и магнитном полях. Покажем теперь, что если допустить применимость этих выражений и в случае произвольного переменного электромагнитного поля, то вытекающие из этого допущения выводы будут находиться в полном соответствии с результатами настоящей главы.

В § 34 и 84 мы убедились, что тензор напряжений электромагнитного поля может быть разложен на сумму «максвеллова» тензора и тензора стрикционных натяжений . В дальнейшем мы для простоты вовсе не будем рассматривать стрикционных натяжений приводящих лишь к перераспределению пондеромоторных сил по объему находящихся в поле тел, но не изменяющих результирующей этих сил, и будем отождествлять полный тензор натяжений с максвелловым тензором При этих условиях тензор натяжений выразится суммой выражений (34.2) и (84.4), которую можно представить в следующей форме:

Индексы и в этом выражении могут пробегать значения х, у, z, а величина определяется уравнениями

Впрочем, удобнее ввести обозначения и придавать индексам и к значения 1, 2, 3. В этих обозначениях формула (33.7), выражающая плотность пондеромоторных сил принимает вид

Воспользовавшись значениями (105.1) слагающих получаем

Последний член получается на основании (105.2):

Примем во внимание, что, согласно максвелловым уравнениям (III) и

Далее,

и, стало быть,

Аналогичным образом можно преобразовать и члены

В рассматриваемом нами случае неподвижной изотропной среды связь между и между определяется уравнениями Максвелла и поэтому

Поэтому может быть представлена следующим образом: к

Рассмотрим слагающую выражения (105.3) по оси х. Второй член справа при равен

В обычных обозначениях

и

Следовательно,

Аналогично этому может быть преобразован и третий член справа в (105.3), так что сумма второго и третьего членов равна

На основании максвелловых уравнений (I) и (II)

Далее,

Таким образом, окончательно получаем

В рассматриваемом нами случае неподвижной изотропной среды последний член в уравнении (105.4) может быть представлен в следующей форме:

где вектор

означает, согласно уравнению (103.8), плотность количества движения электромагнитного поля. Если ввести еще обозначения

то уравнение (105.4) примет вид

Первый член справа равен слагающей по оси плотности пондеромоторных сил, действующих на свободные заряды и на электрические токи Второй член справа в представляет собой плотность пондеромоторных сил, действующих на среду (т. е. на диэлектрики и магнетики). Действительно, в вакууме и поэтому, согласно (105.6), в вакууме

Кроме того, в постоянном поле последний член в уравнении (105.6) равен нулю и определенный этим уравнением вектор действительно совпадает с суммой вторых членов формул (32.10) и (83.5) для плотности сил, действующих на диэлектрики и магнетики.

2. Если обозначить через полную плотность пондеромоторных сил:

где и определяются уравнениями (105.5) и (105.6), то уравнение (105.4) примет вид

В стационарных полях и это уравнение совпадает с (33.7); в переменных полях оно отличается от (33.7) членом

учитывающим изменение во времени плотности электромагнитного количества движения Этот дополнительный член обеспечивает сохранение суммы количества движения материальных тел и электромагнитного поля.

Действительно, проинтегрируем уравнение (105.9) по всему пространству, предполагая, что слагающие электромагнитного тензора натяжений достаточно быстро убывают по мере удаления в бесконечность. Интеграл правой части уравнения (105.9) при этих условиях обратится в нуль, ибо, например, при

и, стало быть, согласно уравнению, непосредственно предшествующему уравнению (33.7):

где поверхностный интеграл должен быть взят по поверхности объема V и при удалении этой поверхности в бесконечность обратится, по предположению, в нуль. Таким образом, получаем

или, переходя от слагающих к векторам и заменяя частную производную по времени полной (ввиду того, что под знаком стоит интеграл по всему пространству, зависящий только от

С другой стороны, изменение механического количества движения всех находящихся в пространстве тел определяется равнодействующей всех пондеромоторных сил:

Поэтому последнее равенство равносильно равенству

которое и выражает собой закон сохранения полного количества движения (механического плюс электромагнитного).

Важное уравнение (105.9) устанавливает в самой общей форме связь между плотностью пондеромоторных сил количеством движения поля и натяжениями