§ 65. Механические силы, испытываемые токами в магнитном поле. Взаимодействие токов

1. Плотность сил, испытываемых токами в магнитном поле, в отсутствие магнетиков определяется формулой (44.5)

Ввиду атомистического строения проводников истинное микроскопическое поле Нмикро весьма значительно меняется в них даже на протяжении атомарных расстояний. Применяя же формулу (44.5) в микроскопической теории, мы должны, очевидно, понимать в ней под среднее значение микроскопического поля. В магнитных средах это среднее значение Нмикро, как мы видели, принято обозначать буквой В и называть индукцией магнитного поля. Стало быть, если учесть, что обтекаемые током проводники, вообще говоря, способны намагничиваться, то формулу (44.5) нужно записать следующим образом:

При индукция В равна так что формула (65.1) совпадает с прежней формулой (44.5).

Итак, силы, испытываемые током в магнитном поле, пропорциональны индукции, а не напряженности этого поля.

Обращаясь от токов конечного сечения к токам линейным, легко убедиться, что элемент длины линейного тока испытывает силу [ср. уравнение (42.1)]

2. Обратимся теперь к силам, действующим на произвольный замкнутый ток в целом. При определении этих сил мы можем повторить все рассуждения § 50-52, проведенные без учета намагничения, с тем только изменением, что соответственно переходу от формулы (44.5) к формуле (65.1) нам придется во всех формулах этих параграфов заменить на В. Это относится, в частности, и к определению магнитного потока через контур тока при выводе выражения (50.2) для мы воспользовались уравнением (46.2)

которое в магнитных средах должно быть заменено уравнением (62.10)

Соответственно этому вместо уравнения (50.2) получаем аналогичное выражение для потока магнитной индукции через охватываемую контуром поверхность величину этого потока в отличие от обозначим через Ф:

Эта формула показывает, что поток магнитной индукции через произвольную поверхность зависит лишь от положения и формы контура этой поверхности и имеет одинаковое значение для всех поверхностей, опирающихся на один и тот же контур. При получаем и уравнение (65.3) совпадает с прежним уравнением (50.2).

Потенциальная функция токов в магнитном поле при учете магнитных свойств среды выражается формулой

которая получается из прежней формулы (50.4) заменой на . С помощью этой функции можно определить как обобщенные пондеромоторные силы магнитного поля так и работу этих сил [см. уравнения (50.5) и (50.6)]:

3. Все приведенные в этом параграфе формулы применимы, очевидно, в любой неоднородной магнитной среде. Рассмотрим

теперь пондеромоторное взаимодействие двух линейных токов, предположив для простоты, что все поле заполнено однородной в магнитном отношении средой В этом случае вектор-потенциал поля А выразится формулой (64.4). Повторяя выкладки § 51 и 52 и принимая во внимание, что А пропорционально мы придем к следующей совокупности формул:

Потенциальная функция токов по-прежнему будет определяться уравнением (52.9):

Таким образом, в однородной магнитной среде коэффициенты взаимной индукции и самоиндукции токов а стало быть, и потенциальная функция и пондеромоторные силы взаимодействия токов прямо пропорциональны проницаемости среды

4. В том случае, если среда неоднородна в магнитном отношении вектор-потенциал токов А не может быть выражен простой формулой типа (64.4), и, таким образом, формулы (65.7) перестают быть применимыми. Однако если только в поле нет ферромагнетиков, то вектор-потенциал произвольного тока будет, очевидно, по-прежнему пропорционален силе этого тока Поэтому поток магнитной индукции посылаемый током через контур тока уравнение (51.2)], может быть по-прежнему выражен в виде произведения

причем коэффициент взаимной индукции будет зависеть лишь от геометрической конфигурации токов, распределения их по сечениям проводников и т. д., но не от силы тока в них.

Таким образом, в отличие от (65.7) формула (65.6), а также, как легко убедиться, и формула (65.8) остаются справедливыми и в произвольной магнитной среде в отсутствие ферромагнетиков, так как при их выводе делалось предположение о

пропорциональности вектор-потенциала силе тока. Заметим, что при выводе формулы (52.11)

этого предположения не делалось.

5. В заключение заметим следующее. Значения характеризующих магнитное поле векторов Ни В могут быть измерены на опыте путем измерения пондеромоторных сил, испытываемых в этом поле несущими ток проводниками и постоянными магнитами (например, магнитной стрелкой, которую при известных условиях можно рассматривать как магнитный диполь).

С этой целью удобнее всего воспользоваться либо формулой (65.1), связывающей испытываемую элементом тока силу с индукцией В, либо формулой (56.7), связывающей момент пары сил, испытываемых магнитным диполем момента с напряженностью поля Конечно, при измерениях необходимо следить за тем, чтобы внесение измерительного прибора (тока или стрелки) не влекло за собой сколько-нибудь существенного изменения измеряемого поля.

Однако внесение измерительных приборов в поле возможно лишь в том случае, если исследуемый участок его заполнен газообразной или жидкой средой. Если же среда твердая, то для возможности измерений необходимо проделать в ней соответствующие отверстия, причем, конечно, поле внутри этих отверстий будет, вообще говоря, отлично от поля в смежных точках твердой среды.

Нетрудно, однако, установить связь между с одной стороны, и с другой (см. задачу 33).

Задача 33. Показать, исходя из уравнений (62.12) и (62.14), что напряженность поля в средней части длинной и узкой щели, проделанной в твердом магнетике, равна напряженности поля в смежных со щелью точках магнетика, если эта щель параллельна вектору и что равна индукции В в смежных точках магнетика, если эта щель перпендикулярна к вектору Сравни задачу 17 (§ 22).