§ 32. Пондеромоторные силы в диэлектриках

1. На каждый элемент объема диэлектрика в электрическом поле должна, очевидно, действовать сила, равная сумме сил, приложенных к отдельным молекулам диэлектрика. Заменим по-прежнему эти молекулы эквивалентными диполями и воспользуемся формулой (17.5), определяющей равнодействующую

сил, приложенных к диполю:

где означает напряженность действующего на диполь поля.

Плотность сил, приложенных к диэлектрику, т. е. сила, отнесенная к единице объема диэлектрика, будет, следовательно, равна

где суммирование должно быть произведено по всем диполям (молекулам), находящимся в единице объема; есть число молекул в единице объема, а черта означает среднее значение. В слабо поляризующихся диэлектриках можно в первом приближении, во-первых, заменить среднее значение произведения произведением средних значений во-вторых, пренебречь разницей между где есть напряженность среднего макроскопического поля (см. § 28). В этом приближении

или, на основании формулы (22.6),

Далее, согласно (47,

В электростатическом поле последний член равен нулю, так как а ротор градиента равен нулю [уравнение (42]. Таким образом, в электростатическом поле

Таким образом, в указанном приближении плотность пондеромоторных сил в диэлектрике пропорциональна градиенту квадрата напряженности поля; это и понятно, ибо, во-первых, в однородном поле сумма приложенных к каждому диполю сил равна нулю, и, во-вторых, по мере возрастания поля возрастают не только силы поля, но и поляризация, т. е. векторная сумма моментов диполей диэлектрика. Сила направлена в сторону возрастания абсолютной величины вектора независимо от направления этого вектора; причина этого лежит в том, что при изменении направления вектора изменяется также и направление поляризации Таким образом, в электрическом поле диэлектрик увлекается в область наибольшей напряженности

поля. Этими пондеромоторными силами обусловливается, например, притяжение заряженными проводниками кусочков бумаги, бузиновых шариков и т. д.

2. Приведенный вывод формулы (32.3) основан на ряде приближений и упрощений. Общее же выражение для пондеромоторных сил может быть получено из выражения для энергии поля [формула (30.1) или (30.4)] путем рассмотрения изменения энергии связанного с бесконечно малым произвольным (виртуальным) перемещением находящихся в поле тел (проводников и диэлектриков); конечно, перемещение различных точек этих тел может быть различным, так что является произвольной, но непрерывной фзлкдией точки. При соблюдении условий, рассмотренных в § 18, это изменение энергии должно быть равно взятой с обратным знаком работе А пондеромоторных сил поля [уравнение (18.1)]:

которая в свою очередь, очевидно, равна

где интеграл должен быть распространен по всему объему полного поля, причем есть сила, приложенная к элементу объема испытываемое им смещение. Следовательно,

где плотность пондеромоторных сил поля. Определив из выражения энергии, можно с помощью (32.4) найти

В этом состоит наиболее общий метод вычисления пондеромоторных сил, которым мы неоднократно будем пользоваться в дальнейшем.

3. Применяя этот общий метод к вычислению пондеромоторных сил электрического поля, мы в этом параграфе предположим, что как диэлектрическая проницаемость так и напряженность поля повсюду непрерывны, т. е. что значение плавно изменяется в пограничных слоях, служащих разделом между различными средами, и что поверхностные свободные заряды а отсутствуют Вопрос же о силах, приложенных к поверхностям разрыва, будет рассмотрен в § 34.

На основании допущения об отсутствии поверхностей разрыва во всех поверхностных интегралах, с которыми нам придется встретиться в этом параграфе, интегрирование будет распространяться лишь на внешнюю граничную поверхность поля. Кроме того, мы условимся рассматривать полное поле, так что все эти поверхностные интегралы обратятся в нуль. Вместе с тем обратятся в нуль и все интегралы типа

так как, согласно теореме Гаусса (17, интегралы эти могут быть преобразованы в интегралы поверхностные:

4. Согласно (30.1) и (30.4) энергия электростатического поля, ввиду предполагаемого нами в этом параграфе отсутствия поверхностных зарядов может быть выражена одним из следующих уравнений:

причем, конечно, Следовательно, изменение энергии при произвольном бесконечно малом перемещении находящихся в поле тел равно

или

где суть изменения величин обусловленные перемещением

Как известно, порядок выполнения операций дифференцирования и варьирования можно менять без изменения их результата, так что

С другой стороны,

Следовательно, на основании подынтегральное выражение последнего интеграла можно преобразовать следующим образом:

Интеграл первого слагаемого правой части, согласно (32.5), равен нулю, так что, воспользовавшись уравнением (22.2), окончательно получим

Ввиду того, что равно приращение энергии можно, очевидно, представить также в следующей форме:

Таким образом, вычисление сведено нами к определению изменения плотности свободного электричества и диэлектрической проницаемости при виртуальном перемещении находящихся в поле тел.

5. Величины входящие в последнее уравнение, носят название локальных изменений величин в отличие от так называемых изменений материальных, которые мы обозначим через и Разница между этими понятиями состоит в следующем. Локальное изменение, испытываемое какой-либо величиной при перемещениях среды, есть изменение значения этой величины в некоторой определенной точке пространства, не принимающей участия в этом перемещении. Материальное же изменение есть изменение значения данной величины в некотором определенном материальном элементе перемещающейся среды. Иными словами, если элемент материальной среды, находившийся до перемещения в точке перемещается в точку то равно разности между значением, которым обладало в точке до перемещения, и тем значением, которым обладает в точке после перемещения

С другой стороны, равно разности между значениями, которыми обладало в одной и той же точке до и после перемещения Соответственно этому локальное изменение какой-либо величины в точке может быть представлено в виде суммы двух слагаемых. Во-первых, после смещения в точке будет находиться элемент объема среды, ранее находившийся в точке на расстоянии от в которой величина имела, очевидно, значение

Кроме того, значение величины в этом объеме испытает материальное изменение Следовательно 1),

Таким образом, определение локального изменения сведено к определению изменения материального.

Если перемещение среды не сопровождается ее деформацией, то материальное изменение равно, очевидно, нулю. Если же элемент V среды, обладающий зарядом испытывает при смещении сжатие или расширение, так что объем его становится равным то, очевидно,

Произведя приведение членов и пренебрегая произведением получаем

Чтобы определить относительное изменение объема элемента среды, заметим, что при смещении элемента поверхности ограничивающей объем V, этот объем в астает т. е. на объем цилиндра, описанного элементом при этом перемещении Конечно, может иметь как положительное, так и отрицательное значение в зависимости от значения угла между и внешней нормалью к элементу Полное же изменение объема V при смещении будет, очевидно, равно

и, следовательно [см. определение дивергенции вектора, уравнение (18), в пределе при

Внося это значение в выражение для получаем

Очевидно, что формулой этого вида будет определяться не только локальное изменение плотности электричества но, например, и изменение плотности самой среды (т. е. изменение массы единицы объема):

6. Внося (32.8) в (32.6), получаем с помощью (435)

С другой стороны, по аналогии с (32.6), имеем

Так как значение зависит от плотности диэлектрика, то материальное изменение будет определяться материальным изменением плотности

и, стало быть,

Внося значения и [уравнение (32.9)] в выражение для получим

Подынтегральные выражения двух последних интегралов можно преобразовать с помощью (:

Согласно (32.5) интегралы первых слагаемых этих выражений обращаются в нуль; приняв еще во внимание, что получаем

7. Это выражение для должно совпадать с выражением (32.4) при произвольной зависимости смещения от координат точки. Отсюда следует равенство выражений, на которые множится в обоих интегралах:

Эта формула и является искомым выражением для плотности пондеромоторных сил Она слагается из двух частей, а именно из

действующей на свободные электрические заряды, и из

зависящей от и и отличной от нуля только в диэлектриках.

Из (32.11) следует, что плотность пондеромоторных сил, действующих на свободные заряды, в диэлектрике, как и в вакууме, определяется напряженностью электрического поля. Из

этого положения мы исходили в § 30 при подсчете работы, совершаемой полем при перемещении свободных зарядов. Что же касается плотности пондеромоторных сил, действующих на диэлектрик, то в слабо поляризующихся диэлектриках выражение (32.12) совпадает с тем выражением (32.3), которое было получено нами непосредственным подсчетом пондеромоторных сил в этих диэлектриках. Действительно, согласно (29.12),

где коэффициент С от плотности диэлектрика не зависит. При , т. е. при можно с достаточной точностью положить

Тогда

и (32.12) принимает вид

Но, согласно (43),

Следовательно,

что, действительно, совпадает с (32.3).

Таким образом, условием применимости формулы (32.3) является линейная зависимость диэлектрической проницаемости от плотности диэлектрика, имеющая место, строго говоря, только в газах.

Заметим в заключение, что Максвелл и ряд других авторов, например Абрагам, не принимали во внимание зависимости диэлектрической проницаемости от плотности среды, благодаря чему выражение пондеромоторных сил в диэлектриках, которым они пользовались:

отличалось от (32.12) отсутствием первого члена

Этот член в твердых и жидких диэлектриках сравним по величине с (32.13), так что пренебрегать им, вообще говоря, не представляется возможным.

Однако надо иметь в виду, что отличие формулы (32.12) от максвелловой формулы (32.13) сказывается лишь на распределении сил по объему диэлектрика; равнодействующая же не учтенных Максвеллом сил приложенных к какому-либо телу, либо равна нулю (если тело это помещено в вакуум), либо уравновешивается гидростатическим давлением, возникающим в окружающей среде под влиянием электрического поля. Это утверждение будет доказано в § 34.