§ 6. Истоки электрического поля. Поверхностная дивергенция

1. Поверхностный интеграл, входящий в выражение (3.6) электростатической теоремы Гаусса, может быть преобразован с помощью общей теоремы Гаусса (17 в интеграл по ограниченному

поверхностью объему V:

Однако преобразование это возможно лишь в том случае, если имеет определенное конечное значение во всех точках объема У, заключенного внутри поверхности т. е. если вектор конечен и непрерывен в этом объеме. В частности, внутри поверхности не должно быть ни точечных зарядов конечной величины, ни поверхностных зарядов конечной поверхностной плотности, ибо напряженность поля точечного заряда при стремится к бесконечности [уравнение (2.1)] и, помимо того, направление вектора при становится неопределенным-, на заряженных же поверхностях нарушается непрерывность вектора Е: его нормальная слагающая испытывает скачок [уравнение (4.3)].

Впрочем, понятия точечного и поверхностного зарядов имеют лишь вспомогательное значение и были введены нами лишь для удобства рассмотрения поля зарядов на расстояниях, достаточно больших по сравнению с размерами самих зарядов. Изучая же поле вблизи или внутри зарядов, мы должны вернуться к представлению об объемном распределении зарядов. Предположим, например, что заряд рассматривавшийся нами как точечный, в действительности равномерно распределен по объему шара произвольно малого, но конечного радиуса а. В этом случае поле вне и внутри шара определяется уравнениями (4.7), из коих явствует, что вектор конечен и непрерывен во всех точках поля [в частности, при , т. е. на поверхности шарового заряда, обе формулы (4.7) дают для одно и то же значение

Этот результат имеет общее значение: во всех случаях объемного распределения заряда с конечной плотностью электрический вектор всюду конечен и непрерывен. Действительно, в этом случае из каждой лежащей внутри заряда точки как из центра, можно описать сферу достаточно малого, но все же конечного радиуса а так, чтобы сферу эту можно было считать заряженной равномерно. Во всех точках сферы поле зарядов самой сферы конечно и непрерывно согласно уравнениям (4.7); поле же зарядов, находящихся вне сферы, конечно и непрерывно потому, что эти заряды находятся на конечном расстоянии от внутренних точек сферы. Стало быть, и результирующее поле всех зарядов конечно и непрерывно.

2. Итак, в случае объемного распределения зарядов, расположенных внутри поверхности преобразование поверхностного интеграла в объемный в уравнении (6.1) всегда допустимо. Напомним, что в общем случае неравномерного распределения

зарядов объемной плотностью заряда в данной точке называется предел отношения заряда Де, находящегося в окружающем эту точку объеме к этому объему [ср. уравнение (4.1)]:

где буквой как и всюду в дальнейшем, обозначена объемная плотность заряда. Стало быть, заряд элемента объема равен

а общий заряд, находящийся в конечном объеме V, равен

Внося это выражение в (6.1), получим

Равенство этих интегралов должно иметь место вне зависимости от выбора области интегрирования V, что возможно лишь в том случае, если их подынтегральные выражения равны друг другу в каждой точке пространства. Стало быть,

или, в декартовой системе координат:

Это дифференциальное уравнение является одним из основных уравнений как электростатики, так и вообще всей электродинамики. Оно позволяет определить дивергенцию электрического вектора в каждой точке поля по объемной плотности заряда в той же точке, вне зависимости от распределения зарядов в иных участках поля. Обратно, чтобы определить плотность заряда в данной точке поля, достаточно знать значение дивергенции в этой точке поля.

По аналогии с гидродинамикой те точки поля произвольного вектора а, в которых принято называть истоками этого поля; величина называется силой, или обильностью, истоков поля (см. приложение. Векторный анализ, § 4). Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что истоки электрического поля находятся в тех и только тех точках поля, в которых находятся электрические заряды, причем сила, или обильность, этих истоков (в случае объемного распределения зарядов) равна

3. Хотя, с точки зрения излагаемой нами макроскопической теории, все заряды суть непрерывно распределенные объемные заряды, однако в тех случаях, когда толщина занимаемого зарядом слоя мала по сравнению с доступными измерению расстояниями, удобно сохранить представление о поверхностных зарядах. В первую очередь это относится к поверхностным зарядам проводников. Так как при прохождении через заряженные поверхности вектор меняется скачком [уравнение (4.3)], то поверхности эти носят название поверхностей разрыва электрического вектора. Очевидно, что на поверхностях разрыва дифференциальное уравнение (6.5) неприменимо (что явствует также из оговорок, сделанных в начале этого параграфа) и должно быть заменено уравнением (4.3):

Это уравнение называется пограничным условием для вектора и является, в сущности, не чем иным, как предельной формой уравнения (6.5) для зарядов, расположенных бесконечно тонким слоем.

Так как нам в дальнейшем неоднократно придется встречаться с подобного рода соотношениями, мы докажем здесь следующую общую теорему. Пусть некоторый вектор а всюду непрерывен и конечен и всюду удовлетворяет уравнению

где всюду конечная плотность некоторого «заряда» [например, электрического, определяемая уравнением типа (6.2)]. Рассмотрим некоторый заряженный слой конечной толщины внутри которого а по условию остается непрерывным (рис. 8). Если, оставляя неизменным заряд слоя, уменьшать его толщину до нуля, то непрерывность вектора а нарушится и уравнение в пределе примет на заряженной поверхности вид

где поверхностная плотность заряда, определяемая уравнением типа (4.1), а значения нормальных слагающих вектора а по различным сторонам заряженной поверхности.

Рис. 8

Чтобы доказать справедливость этого утверждения, рассмотрим цилиндрический участок заряженного слоя с основанием Помножая на и интегрируя по объему этого участка, получим на основании (6.3) и теоремы Гаусса (17:

где общий заряд выделенного участка, ограничивающая его поверхность. Повторяя рассуждения, приведшие нас в § 4 к формуле (4.2), убедимся, что

где поток вектора а через боковую поверхность рассматриваемого участка слоя. При переходе к пределу величина обращается в нуль, так что, разделив это уравнение на получим

т. е. уравнение что и требовалось доказать.

Итак, уравнение представляет собой предельную форму уравнения Ввиду этого скачок нормальной слагающей произвольного вектора а на поверхности разрыва часто называют поверхностной дивергенцией этого вектора. В отличие от объемной дивергенции, определяемой уравнением (18:

поверхностная дивергенция обозначается через с заглавной (а не строчной) буквы

Стало быть, доказанную нами теорему можно символически записать следующим образом:

Наконец, пользуясь упомянутой выше терминологией, можно назвать поверхности разрыва нормальной слагающей вектора а поверхностными истоками этого вектора.

4. Уравнения (6.5) и (4.3) вполне достаточны для решения так называемой «обратной» задачи электростатики: дано поле электрического вектора определить распределение (объемных и поверхностных) зарядов. В частности, расположение поверхностных зарядов определяется расположением поверхностей разрыва вектора Однако для решения «прямой» задачи дано распределение зарядов, для определения электрического поля этих уравнений недостаточно, ибо с помощью одного дифференциального уравнения (6.5) нельзя определить три слагающих вектора Для решения «прямой» задачи электростатики

необходимо воспользоваться также и некоторыми иными свойствами электростатического поля, к рассмотрению которых мы теперь и перейдем.