§ 23. Электрическое поле в однородном диэлектрике

1. Рассмотрим простейший случай диэлектрической среды, когда все поле, т. е. все участки пространства, в которых вектор не равен нулю, заполнено однородным диэлектриком. Это будет иметь место, например, в том случае, если система проводников погружена в бесконечный однородный диэлектрик (ибо в случае электрического равновесия внутри проводников или в диэлектрик, ограниченный замкнутой металлической оболочкой (электростатическая защита). В этом случае во всех дифференциальных уравнениях поля постоянные и а могут быть вынесены за знак производной, и, например, из (22.2) и (22.4) следует:

или

Это значит, что при заданном распределении свободных зарядов потенциал и напряженность поля в однородном диэлектрике в раз меньше потенциала и напряженности поля в вакууме. Часто это положение кладется в основу всей формальной теории диэлектриков.

Из него непосредственно вытекает, что потенциал и напряженность поля точечного заряда в однородном диэлектрике равны

(так называемый обобщенный закон Кулона). Далее, разность потенциалов между обкладками конденсатора при заполнении пространства между ними однородным диэлектриком должна уменьшаться в раз, если заряды обкладок остаются неизменными. Это значит, что емкость конденсатора С возрастает при этом в раз:

Напомним, наконец, что значение вектора электрической индукции в однородной среде не зависит от диэлектрической проницаемости этой среды и вполне определяется распределением свободных зарядов, ибо из (22.4) и (23.2) следует, что

2. Необходимо, однако, твердо помнить, что уравнения (23.1)-(23.4) неприменимы к диэлектрику неоднородному. Так, например, если в поле заряда внести кусок диэлектрика (рис. 28), то благодаря поляризации этого диэлектрика напряженность поля в точках и не уменьшится, как то соответствовало бы формуле (23.1), а увеличится. Действительно, отрицательные заряды диполей сместятся в диэлектрике влево, а положительные вправо, так что направление результирующего поля этих зарядов в точках будет совпадать с направлением поля заряда В точке же поляризация диэлектрика вызовет ослабление первоначального поля заряда

Рис. 28

Вообще в неоднородной среде нельзя установить сколько-нибудь простой зависимости поля от расположения одних только свободных зарядов, зависимости типа закона Кулона (23.2). Лишь обращаясь к дифференциальным уравнениям поля, т. е. к уравнениям, связывающим значения характеризующих поле величин в смежных точках пространства, можно прийти к сравнительно простым соотношениям между этими величинами [система уравнений (А), с. 107], ибо лишь дифференциальные соотношения полностью определяются свойствами данного элемента среды независимо от свойств удаленных ее участков.

3. Рассмотрим еще пример, когда бесконечное полупространство над плоскостью заполнено однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью а полупространство под этой плоскостью — другим однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью (рис. 29). Определим поле заряда находящегося в произвольной точке Выберем оси координат так, чтобы ось z проходила через точку координаты этой точки будут Пусть для определенности заряд находится в верхнем полупространстве, где

Обозначим потенциал в верхнем полупространстве через а в нижнем — через Условие непрерывности потенциала на границе раздела диэлектриков гласит:

Далее, так как в нашем случае то, выражая в (22.8) через получим

Наконец, поскольку в каждом полупространстве постоянно, то, согласно (23.1),

Рис. 29

Так как в нашем случае всюду, кроме точки то

а первое из уравнений (23.7) будет, очевидно, удовлетворено, если мы положим

где расстояние точки наблюдения от точки

Потенциал в каждой точке пространства будет зависеть, во-первых, от ее расстояния до точки т. е. от во-вторых, от ее расстояния до плоскости раздела, т. е. от z. По соображениям симметрии вместо последней переменной удобно ввести расстояние произвольной точки пространства от точки симметричной с относительно поверхности раздела; координаты точки равны Уравнение плоскости раздела в переменных примет вид

а решениями уравнений (23.8) и (23.9), обладающими требуемой симметрией, будут, очевидно, выражения

где некоторые постоянные. Действительно, потенциал в нижнем полупространстве не может содержать члена, пропорционального ибо он не удовлетворял бы уравнению (23.8); аналогично не может содержать члена, пропорционального Внося (23.9) и (23.11) в (23.5) и учитывая (23.10), получаем аналогично из (23.6) после элементарных выкладок получаем Таким образом, все наши уравнения удовлетворятся, если положить , т. е. если положить

На основании теоремы однозначности (см. § 22) полученные выражения являются единственными решениями нашей задачи (вплоть до аддитивной постоянной в потенциале, не сказывающейся на напряженности поля).

Если все пространство заполнено однородным диэлектриком то (23.12) переходит в элементарное выражение обобщенного закона Кулона (23.2). При влияние неоднородности диэлектрика на потенциал в верхнем полупространстве эквивалентно влиянию добавочного фиктивного заряда помещенного в симметричную с точку решение аналогичной задачи в § 13 методом изображений.)