§ 97. Скорость распространения электромагнитных возмущений. Условия квазистационарности

1. Физическое содержание формул (96.1) и (96.2), определяющих значения запаздывающих потенциалов, и уравнений (94.1) и (94.2), устанавливающих зависимость между этими потенциалами и напряженностью поля, сводится к следующему положению: электромагнитное поле возбуждается зарядами и токами проводимости и распространяется от места возбуждения с конечной скоростью Таким образом, из упомянутых формул, в частности, следует, что токи смещения, играющие столь важную роль в механизме распространения поля, независимо от движения зарядов существовать не могут. Далее, в вакууме скорость распространения поля должна равняться с, т. е. должна численно равняться значению электродинамической постоянной, определяющей силу пондеромоторного взаимодействия токов и действительно имеющей размерность скорости [см. уравнение (43.4)].

Именно в этом признании конечности скорости распространения поля и заключается существеннейшее и основное отличие фактического содержания так называемых теорий близкодействия, и прежде всего теории Максвелла, от теорий мгновенного дальнодействия начала прошлого столетия. Поэтому вопрос о правильности той или иной из этих теорий в принципе может быть решен, например, путем постановки следующего простейшего experimentum cruris.

Пусть заряды находятся в покое на расстоянии друг от друга вплоть до момента по наступлении которого мы начинаем удалять от По теории мгновенного дальнодействия сила притяжения испытываемая зарядом со стороны заряда должна начать убывать в тот же момент времени Согласно же уравнениям Максвелла, эта сила должна оставаться неизменной вплоть до момента (предполагаем, что заряды находятся в вакууме), ибо сила испытываемая зарядом находящимся в точке определяется напряженностью поля в той же точке Перемещая заряд находящийся в точке мы непосредственно изменяем поле лишь в этой точке Это изменение электрического поля в (ток смещения), согласно уравнению возбуждает магнитное поле в смежных точках пространства 1), что в свою очередь, согласно уравнению влечет за собой возникновение вихря вектора изменение этого вектора (ибо в статическом поле при опять-таки лишь в смежных точках пространства и т. д. В результате изменение, или, как говорят, возмущение, поля, вызванное в перемещением заряда через секунд распространится до точки и лишь в этот момент обусловит изменение силы испытываемой зарядом

Нас сейчас вовсе не интересует то обстоятельство, что по практическим и техническим соображениям этот простейший опыт обречен на неудачу. Существенно лишь, что вопрос о скорости распространения поля может быть решен экспериментальным путем и что он был фактически решен в пользу конечности этой скорости.

Больше того, изложенные нами следствия, вытекающие из максвелловой теории поля, и, в частности, формула (94.7) могут быть подвергнуты также и количественной проверке, ибо значение постоянной с может быть определено путем независимых электродинамических измерений (см. § 43 и 59). Наиболее вероятное значение этой постоянной равно (см. § 59):

что в пределах ошибок опыта действительно совпадает с непосредственно измеренной скоростью распространения поля в вакууме. Как показывает анализ наиболее точных измерений,

произведенных до скорость света в вакууме равна

Численное совпадение приведенных величин является убедительным доказательством как электромагнитной природы света, так и правильности уравнений Максвелла, по крайней мере в применении их к вакууму.

2. Ко всем этим важным вопросам мы еще вернемся в дальнейшем, пока же мы воспользуемся полученными результатами для того, чтобы обосновать перечисленные в § 78 условия квазистационарности переменного поля Мы можем теперь уточнить определение квазистационарности следующим образом, квазистационарным полем называется поле, потенциалы и А и магнитная напряженность которого в каждый данный момент с достаточной точностью совпадают с соответствующими величинами в поле неподвижных зарядов и постоянных токов, плотность которых равна мгновенной (в момент плотности рассматриваемых переменных зарядов и токов.

Из рассмотрения выражений запаздывающих потенциалов (96.1) и (96.2) следует, что для квазистационарности прежде всего необходимо выполнение следующего условия: за время необходимое для распространения электромагнитного поля на расстояние значения величин должны испытывать лишь исчезающе малые изменения. При этом под нужно понимать расстояние рассматриваемой точки поля от наиболее удаленного элемента заряда или тока.

Очевидно, что всегда можно выбрать настолько большим, чтобы при каких угодно медленных изменениях поля это условие не удовлетворялось Однако в теории квазистационарных токов обычно ограничиваются рассмотрением поля в непосредственной близости к заряженным или обтекаемым токами проводникам. В этом случае верхний предел расстояния можно положить равным расстоянию между двумя наиболее удаленными друг от друга элементами зарядов или токов, поле которых мы еще желаем учесть. Если, кроме того, мы имеем дело с периодическими токами периода то условие квазистационарности сведется, очевидно, к неравенству

или, так как вообще говоря, сравнимо с с, — к неравенству

Если это условие квазистационарности выполнено, то значение потенциалов поля вблизи зарядов и токов, т. е. на расстояниях от них, удовлетворяющих требованию

можно с достаточной точностью определить по формулам (8.8) и (64.3), выведенным нами для поля стационарного (и не учитывающим токов смещения).

Что же касается напряженности электрического поля то даже при одинаковом мгновенном значении потенциалов и А вектор переменного квазистационарного поля (в отличие от вектора может существенно отличаться от вектора соответствующего постоянного поля (явления индукции!). Формально это отличие связано с тем, что в выражение для [формула (94.2)] входит производная по времени от вектора-потенциала А.

3 Может возникнуть сомнение, гарантирует ли, например в отношении вектора одинаковость связи с А одинаковое значение в поле квазистационарном и в поле постоянном, характеризуемом одним и тем же мгновенным значением потенциала А. Ведь даже при образовании пространственных производных от и А зависимость их от времени может играть существенную роль. Так, например, если в выражении производной

мы в аргументе функции заменим на то все же полученное выражение будет отличаться от вторым членом

Однако в тех случаях, когда выполняются условия (97 1) и (97 2), отлита это не существенно. В периодическом поле по порядку величины - сравнимо с следовательно, ввиду (97.1) С другой стороны, потенциал (или по крайней мере переменная во времени слагающая этого потенциала) изменяется на протяжении системы на величину, сравнимую с самим этим потенциалом (в частности, переменная слагающая вообще говоря, меняет знак на протяжении системы) Стало быть, по порядку величины так что вблизи системы второй член выражения (97 3) действительно мал по сравнению с первым, что и требовалось доказать

Далее, на больших по сравнению с размерами системы расстояниях от нее тогда как Поэтому, пока выполняется условие (97.2), второй член выражения (97 3) остается малым по сравнению с первым, тогда как на расстояниях в так называемой волновой зоне (см § 99), наоборот, первый член исчезающе мал по сравнению со вторым.

В § 99 при рассмотрении поля осциллятора намеченный здесь ход доказательства будет проведен вполне строго.

4. Однако одного лишь условия (97.1) еще недостаточно, чтобы применять к магнитному полю квазистационарных токов все законы стационарного магнитного поля, ибо при выводе последних существенное значение играла замкнутость постоянных токов. Таким образом, «полная» квазистационарность поля имеет место лишь при одновременном выполнении как указанного «основного», так и «дополнительного» условия квазистационарности, сводящегося к требованию, чтобы плотность токов смещения была настолько мала по сравнению с плотностью токов проводимости, чтобы токи проводимости можно было считать замкнутыми (см. § 88).