ГЛАВА VIII. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В МЕДЛЕННО ДВИЖУЩИХСЯ СРЕДАХ

§ 110. Дифференциальные уравнения поля в движущихся средах

1. В предыдущей главе (как, впрочем, и в большей части всей вообще книги) мы ограничились рассмотрением электромагнитного поля в тех случаях, когда все находящиеся в поле тела неподвижны. Таким образом, результаты гл. VII, строго говоря, неприменимы ни к явлениям в динамомашинах и электромоторах, в которых имеются вращающиеся части, ни к отражению света от движущегося зеркала, ни к целому ряду других важных явлений и процессов. Правда, сущность процессов, происходящих, например, в электромоторе, может быть понята на основе фактов, изложенных в гл. VI, однако развитие последовательной теории электромагнитных явлений в движущихся средах является, конечно, совершенно необходимым.

Последовательная теория этих явлений может основываться только на эйнштейновской теории относительности. Мы, однако, не будем предполагать, что читатель обладает достаточным знакомством с этой теорией, а потому ограничимся рассмотрением только медленно движущихся сред. При этом под медленными движениями мы будем подразумевать движения, скорость которых и весьма мала по сравнению со скоростью света с:

Другими словами, мы будем пренебрегать всеми эффектами, пропорциональными квадрату и старшим степеням отношения Дело в том, что теория медленно движущихся сред может быть в основном построена на базе классических, дорелятивистских физических представлений, так что нам придется заимствовать из теории относительности только два соотношения (111.8) и (111.9). Точная же теория эффектов, пропорциональных целиком основывается на теории относительности. Вместе с тем условие (110.1) медленности движения материальных сред выполняется в громадном большинстве практически интересных явлений и процессов (ведь

2. Будем исходить из микроскопических уравнений электромагнитного поля:

где индекс означает микроскопическое значение соответствующей величины. Уравнения эти справедливы при любом движении элементарных электрических зарядов и, стало быть, при любом движении материальных тел, в состав которых входят эти заряды. Нашей задачей является получение из (110.2) уравнений макроскопического поля в движущихся средах.

Усредняя уравнения (110.2) по физически бесконечно малым объемам, как мы это делали, например, в § 26 и 62, используя соотношения типа (25.2) и вводя обозначения [ср. уравнение (62.6)]

получаем

Разложим, как мы это делали в § 26 и 60, микроскопические плотности зарядов и токов на плотности, соответствующие свободным и связанным зарядам:

[см. уравнения (26.2) и (60.1); в последнем из этих уравнений мы изменили обозначения и соответственно на Далее, приравняем средние плотности, соответствующие свободным зарядам, макроскопическим плотностям зарядов и токов [ср. § 26 и 61, в частности уравнение (61.3)]:

Таким образом, получаем

В случае покоящихся сред нами было показано, что

где означает поляризацию, намагничение среды. Действительно, первое из этих уравнений совпадает с (21.2) и (26.3).

Что же касается второго из уравнений (110.10), то в случае постоянного во времени поля оно совпадает с выражениями (61.9) для в случае переменного поля к нужно еще прибавить

учитывающий смещение зарядов, связанных с молекулами диэлектрика [ср. уравнение (88.7)].

В случае покоящихся сред наряду с уравнениями (110.10) справедливы также следующие соотношения [ср. уравнения (20.6) и (60.2)]:

где суммирование распространено на все связанные заряды, находящиеся в единице объема среды. Любую пару уравнений (110.10) или (110.11) можно рассматривать как определение векторов и физический смысл имеет только утверждение, что векторы определяемые одной из пар этих уравнений, удовлетворяют также и другой паре этих уравнений.

Однако в случае движущихся сред обе пары уравнений (110.10) и (110.11), как оказывается, не могут быть одновременно справедливыми. Поэтому в теории движущихся сред можно либо сохранить уравнения (110.10), видоизменив при этом соответствующим образом уравнения (110.11), либо, наоборот, сохранить уравнения (110.11) и видоизменить уравнения (110.10).

Первый вывод уравнений поля в движущихся средах из уравнений (110.2) электронной теории был дан Лоренцем, избравшим второй из указанных путей, в 90-х годах. Точнее говоря, Лоренц сохранил для движущихся сред определения (110.11) векторов с тем уточнением, что под в этих уравнениях надо понимать скорость связанных зарядов относительно среды, в состав которой они входят, а не относительно наблюдателя. Что же касается уравнения (110.10), то, по Лоренцу, единственное изменение, которое нужно внести в них в случае движущихся сред, заключается в замене I на где скорость среды относительно наблюдателя. Однако теория Лоренца, естественно, не учитывала основных положений теории относительности, еще не существовавшей в прошлом веке, и поэтому оказалась противоречащей как теории относительности, так и опыту (даже в трактовке некоторых эффектов первого порядка относительно и

Делленбах в 1919 г. показал, как нужно видоизменить рассуждения Лоренца, чтобы, следуя избранному им пути

построения электродинамики движущихся сред, учесть вместе с тем требования теории относительности. Мы, однако, изберем другой путь построения электродинамики движущихся сред, непосредственно примыкающий к обычной трактовке этой проблемы в теории относительности и вместе с тем носящий более феноменологический характер. А именно, мы, во-первых, сохраним для движущихся сред уравнения (110.10), рассматривая эти уравнения как определения векторов во-вторых, отказавшись для движущихся сред от уравнений (110.11), вовсе не будем рассматривать явной зависимости поляризации и намагничения I от координат и скоростей элементарных зарядов типа уравнений (110.11), а непосредственно установим зависимость от векторов поля

3. Итак, мы будем рассматривать уравнения (110.10) как определение векторов Чтобы доказать непротиворечивость этого определения, достаточно воспользоваться уравнением непрерывности которое в применении к средней плотности связанных зарядов и токов может быть записано так:

Очевидно, что при любой зависимости рсвяз от координат и времени всегда можно найти бесконечное множество векторов удовлетворяющих первому из уравнений (110.10). Внося это уравнение в (110.12), получаем

Отсюда следует, что вектор может быть приравнен ротору вспомогательного вектора Именно это следствие и выражается вторым из уравнений (110.10).

На основании (110.8) и (110.10) уравнения (110.4) и (110.5) принимают вид

С помощью обычных обозначений

эти уравнения можно записать в форме

совпадающей с уравнениями (I) и (IV) гл. VII. Из (I) и (IV) следует уравнение непрерывности

Вместе с тем уравнения (110.6) и (110.7) совпадают с уравнениями (II) и (III) гл. VII:

Ткким образом, дифференциальные уравнения Максвелла оказываются без всяких модификаций применимыми не только к покоящимся, но и к движущимся средам [и притом вне всякой зависимости от того, выполняется или не выполняется условие медленности движения (110.1)].

Впрочем, этот результат пока имеет чисто формальный характер и обусловливается просто напросто тем, что мы сохранили для векторов прежние определения (110.10) и (110.13). Дифференциальные уравнения Максвелла теряют характер формальных определений и приобретают конкретное физическое содержание только при условии присоединения к ним дополнительных соотношений типа (V) (см. § 91), связывающих между собой значения основных векторов электромагнитного поля. Установлению этих соотношений посвящен следующий параграф.

4. Отметим в заключение, что в то время как дифференциальные уравнения Максвелла остаются справедливыми для движущихся сред, вытекающие из них граничные условия для векторов поля несколько изменяются (ср. § 91):

где проекция скорости элемента поверхности раздела на нормаль.