§ 99. Поле осциллятора. Его излучение

1. Для дальнейшего изучения поля осциллятора удобно ввести в рассмотрение так называемый вектор Герца, определяемый уравнением

Как явствует из этого уравнения, значение вектора Герца в момент в точке, находящейся на расстоянии от осциллятора, определяется значением электрического момента осциллятора в момент Существенно, что вектор Герца удовлетворяет волновому уравнению

иными словами, каждая из слагающих вектора в произвольной системе декартовых координат удовлетворяет волновому уравнению типа (94.9), где в нашем случае нужно положить . Это следует из того факта, что каждая из слагающих этого вектора, согласно уравнению (99.1), совпадает по форме с найденным нами в § 95 сферически симметричным решением (95.3) волнового уравнения.

Внося уравнение (99.1) в выражения (98.4) и (98.7) для и отбрасывая индекс а у знака получим

Переходя от потенциалов к напряженности поля, получим из уравнения (94.1) (положив в нем

Уравнение же (94.2) на основании уравнения (42) примет вид

так как сумма первых двух членов справа, согласно уравнению (99.2), равна нулю, то окончательно

Таким образом, задача определения сведена нами к вычислению ротора вектора и его производных.

2. Предположим, что с течением времени изменяется только числовая (или, точнее, алгебраическая) величина вектора электрического момента осциллятора. В этом случае

где постоянный вектор, направленный по оси осциллятора, произвольная скалярная функция времени. Это предположение не представляет никакого существенного ограничения, ибо момент произвольного осциллятора можно разложить на три взаимно перпендикулярных слагающих постоянного направления и рассматривать поле каждой из этих слагающих порознь. Введя, далее, временно обозначение

можем, согласно уравнению (99.1), написать

Ввиду постоянства вектора получаем на основании уравнений (435), (8) и (9):

Введем сферическую систему координат с центром в осцилляторе и с полярной осью, параллельной (рис. 81), и будем в каждой точке поля разлагать все встречающиеся нам векторы на слагающие, направленные по взаимно перпендикулярным направлениям возрастания сферических координат

Рис. 81

Очевидно, что векторное произведение в каждой точке поля будет направлено по касательной к дуге параллельного круга, проходящего через эту точку и притом в сторону убывания угла долготы а (если, как обычно, выбрать направление возрастания угла а так, чтобы оно образовало с положительным направлением полярной оси правовинтовую систему). Числовая же величина произведения будет равна где есть полярный угол точки Стало быть, слагающие вектора по направлению возрастания координат и а будут равны

Соответственно этому

где есть производная от числовой величины вектора Герца. Внося это в уравнение (99.4), получим

Чтобы определить необходимо еще вычислить вихрь от На основании уравнений (31 получаем

Из уравнений (99.7) и (99.8) следует, что электрический и магнитный векторы поля осциллятора взаимно перпендикулярны, причем магнитные силовые линии совпадают с параллельными кругами нашей сферической системы координат, а электрические лежат в меридиональных плоскостях.

3. До сих пор мы не делали никаких специальных предположений о виде функций или Предположим теперь, что осциллятор совершает незатухающие синусоидальные колебания, т. е. предположим, что

или в комплексной форме (см. § 80):

где есть циклическая частота колебаний. В этом случае, согласно уравнению (99.1),

откуда

и

дифференцирование же сводится, очевидно, к умножению на

Стало быть, в этом случае отличные от нуля слагающие векторов равны

4. Таковы точные выражения слагающих электромагнитных векторов в поле осциллятора, совершающего синусоидальные колебания. Они довольно сложны, поэтому мы ограничимся более подробным рассмотрением только двух крайних случаев — поля в непосредственной близости к осциллятору и поля на значительном расстоянии от него.

Что же, однако, должно служить при этом мерилом расстояния? Отношение абсолютных величин членов полиномов, входящих множителями в правые части уравнений (99.10), определяется отношением где есть период колебаний осциллятора. Мы увидим в дальнейшем, что где А есть длина электромагнитной волны, излучаемой осциллятором, так что Соответственно этому мы будем под близкими к осциллятору точками понимать точки, расстояние которых от осциллятора удовлетворяет требованию

или

т. е. расстояние которых от осциллятора мало по сравнению с длиной его волны.

На этих расстояниях от осциллятора

так что

Таким образом, как и следовало ожидать, вблизи осциллятора поле его в каждый данный момент времени определяется одновременным с значением момента осциллятора и его производной

Далее, при можно с достаточной точностью ограничиться лишь первыми членами полиномов, входящих в выражение (99.10), т. е. можно положить:

Сравнивая эти выражения с уравнением (10.5), убедимся, что в каждый данный момент времени электрическое поле вблизи осциллятора, как и следовало ожидать, совпадает с полем статического диполя, электрический момент которого равен мгновенному значению момента осциллятора Что же касается поля магнитного, то ввиду можно записать выражение для в следующей векторной форме:

Если осциллятор можно уподобить отрезку прямолинейного тока, то на основании уравнения (98.9) получаем

Таким образом, вблизи осциллятора его магнитное поле совпадает с полем эквивалентного элемента тока длины I, определяемым формулой Био и Савара (42.2). Заметим, что вблизи осциллятора его электрическое поле убывает обратно пропорционально кубу, а магнитное — обратно пропорционально квадрату расстояния от осциллятора.

5. Перейдем теперь к рассмотрению поля вдали от осциллятора, т. е. положим, что

или

Области поля, расстояние которых от осциллятора удовлетворяет этому условию, т. е. расстояние которых велико по сравнению с длиной волны осциллятора, называются волновой зоной осциллятора; смысл этого термина выяснится ниже.

В волновой зоне все члены входящих в уравнение (99.10) полиномов, содержащие в знаменателе исчезающе малы по

сравнению с членами, не содержащими, так что с достаточной точностью можно положить

Внося сюда выражение из уравнения (99.9) и ограничиваясь вещественной частью решения, получим окончательно:

что можно записать также и в следующей форме:

Заметим, что это последнее выражение [так же, как и формулы (99.11) и (99.12)] остается справедливым при любой форме зависимости электрического момента осциллятора от времени (в том числе, например, и при затухающих его колебаниях). Действительно, любая функция времени может быть разложена в ряд или интеграл Фурье, т. е. может быть представлена в виде суммы синусоидальных функций, к каждой из которых применима формула (99.14). Так как в эту формулу частота не входит, то она остается применимой и ко всей сумме, т. е. к произвольному

Итак, как следует из уравнений (99.13) и (99.14), в волновой зоне осциллятора напряженности электрического и магнитного полей численно равны друг другу и убывают обратно пропорционально первой степени расстояния от осциллятора 2). Напряженность поля зависит, помимо также и от полярного угла рассматриваемой точки поля: на продолжении оси осциллятора поле равно нулю, максимального же значения оно достигает в экваториальной плоскости осциллятора В каждой точке волновой зоны векторы взаимно перпендикулярны и образуют правовинтовую систему (рис. 82), причем направлено по дуге меридиана, по дуге

параллельного круга. Наконец, и это самое существенное, фаза векторов поля распространяется по направлению радиуса-вектора со скоростью с. Иными словами, фаза этих векторов на расстоянии от осциллятора отстает на секунд от той фазы, которой обладают эти векторы на расстоянии от осциллятора

Рис. 82

Всякий периодический процесс, не сосредоточенный в одной точке, а охватывающий определенную область пространства, фаза которого распространяется с определенной скоростью, называется волной. Стало быть, в волновой зоне осциллятора распространяется электромагнитная волна скорости с. Длиной волны А, как известно, называется измеренное вдоль направления распространения волны расстояние между двумя последовательными точками, в которых векторы поля изменяются синхронно (т. е. в такт). Расстояние это равно

ибо

Излучаемая осциллятором волна называется шаровой, ибо фаза волны в каждой точке поля зависит, помимо времени, лишь от расстояния этой точки от центра излучения (т. е. от осциллятора) а направление распространения волны совпадает с направлением радиусов-векторов, проведенных от центра излучения.

6. То же направление имеет и поток энергии в волновой зоне осциллятора, ибо, как легко убедиться, направление вектора Пойнтинга [уравнение (92.5)] в каждой точке этой зоны совпадает с направлением радиуса-вектора Числовая же величина вектора Пойнтинга равна

Следовательно, общий поток энергии через поверхность сферы радиуса с центром в осцилляторе, элемент поверхности которой равен

определяется выражением

В частности, если осциллятор совершает гармонические колебания циклической частоты так что

то общий поток энергии через поверхность сферы за время одного полного периода будет равен

Выражая через длину волны А, получим

Наконец, среднее излучение осциллятора за единицу времени равно

7. Таким образом, осциллятор непрерывно излучает энергию в окружающее его пространство, причем, согласно уравнению (99.17), средняя скорость излучения энергии пропорциональна квадрату амплитуды его электрического момента и обратно пропорциональна четвертой степени длины волны Этим последним обстоятельством объясняется, например, тот факт, что для радиотелеграфирования необходимо пользоваться сравнительно короткими электромагнитными волнами длиной от

десятков метров до десятков километров; напротив, излучение медленнопеременных токов, применяемых в технике сильных токов (сотни и тысячи периодов в секунду, чему соответствуют волны длиной в тысячи и десятки тысяч километров), остается практически незаметным.

Тем же характером зависимости излучения осциллятора от длины волны объясняется, например, голубой цвет неба. Пронизывающий атмосферу солнечный свет рассеивается молекулами воздуха, которые могут быть уподоблены элементарным осцилляторам. Рассеяние света обусловливается тем, что под воздействием световых волн осцилляторы эти совершают «вынужденные» колебания. Так как период собственных колебаний осцилляторов, соответствующих молекулам воздуха, существенно отличается от периода видимого света (отсутствие резонанса), то амплитуда вынужденных колебаний осцилляторов слабо зависит от периода (или длины) световой волны Поэтому интенсивность рассеянного света, т. е. интенсивность вынужденного излучения этих осцилляторов, обратно пропорциональна Таким образом, коротковолновый свет (синий) рассеивается сильнее, чем, например, красный, что и создает голубой цвет неба.

8. За время одного периода через любую охватывающую осциллятор замкнутую поверхность (в том числе и через поверхности, лежащие вне волновой зоны, т. е. вблизи осциллятора) протекает одинаковое количество энергии. В этом можно убедиться непосредственным вычислением, в частности, для концентрических с осциллятором шаровых поверхностей волновой зоны это явствует из независимости формулы (99.17) от радиуса сферы Впрочем, справедливость этого положения непосредственно вытекает из сделанного нами предположения, что в окружающем осциллятор пространстве нет ни проводников, ни электрических зарядов, ввиду чего излучаемая осциллятором электромагнитная энергия не может переходить в иные формы энергии и должна без потери переноситься в отдаленные участки пространства Вместе с тем становится понятным и характер зависимости от расстояния в волновой зоне осциллятора Чтобы общее излучение через концентрическую осциллятору сферическую поверхность не зависело от ее радиуса, необходимо, чтобы плотность потока энергии была обратно пропорциональна (ибо поверхность сферы пропорциональна С другой стороны, в волновой зоне ввиду взаимной перпендикулярности и численного равенства векторов

Следовательно, в волновой зоне должны убывать обратно первой степени Вблизи осциллятора, вне волновой зоны, характер поля гораздо сложнее, однако среднее за время

одного периода количество энергии, вытекающее через поверхность сферы, также не зависит от ее радиуса.

В заключение заметим, что осциллятор может совершать незатухающие колебания лишь в том случае, если эти колебания поддерживаются действующими извне периодическими электродвижущими силами; в противном случае колебания осциллятора будут затухать не только благодаря переходу его электромагнитной энергии в джоулево тепло, но также и благодаря излучению, т. е. благодаря уносу энергии излучаемыми им электромагнитными волнами. Впрочем, если затухание колебаний достаточно мало, то в течение ограниченного числа периодов амплитуду колебаний можно считать практически постоянной и применять к полю затухающих колебаний результаты, полученные для колебаний незатухающих.

Задача 37. В радиотехнике принято характеризовать потерю энергии какой-либо системы (например, антенны) на излучение так называемым «сопротивлением излучения» этой системы определяемым из отношения

[ср. уравнение (90.15)], где сила тока в системе. Показать с помощью уравнений (98.9), что сопротивление излучения вибратора Герца равно

или в практических единицах

где I — длина вибратора, длина волны излучения.

Задача 38. Показать, исходя из уравнения (98.13), что в волновой зоне поле переменного магнитного диполя отличается от поля электрического диполя (осциллятора) равного момента заменой на и на т. е. что в волновой зоне магнитного диполя