§ 3. Теорема Гаусса

1. Если известно расположение зарядов, то поле этих зарядов может быть определено путем суммирования кулоновых полей типа (2.1), возбуждаемых каждым из элементов этих зарядов в отдельности. Такого рода непосредственное суммирование, вообще говоря, требует в каждом отдельном случае довольно сложных вычислений. Во многих случаях задача эта может быть, однако, чрезвычайно облегчена применением некоторых теорем, трактующих об общих свойствах электрического поля, к рассмотрению которых мы теперь и перейдем.

Для этой цели вычислим поток вектора через бесконечно малую площадку Предположим сначала, что поле возбуждается точечным зарядом находящимся в точке О.

Рис. 1

Если есть радиус-вектор, проведенный из заряда к площадке (рис. 1), то на основании (2.1) и (12 поток вектора через эту площадку будет равен

Произведение численно равно проекции площадки на поверхность, перпендикулярную к причем это произведение положительно, если из О видна внутренняя сторона площадки [угол острый], и отрицательно, если видна ее внешняя сторона:

где есть абсолютная величина перпендикулярной к проекции площадки

Перпендикулярная к радиусу-вектору площадка совпадает с элементом шаровой поверхности радиуса с центром в точке О. Если обозначить через телесный угол, под которым площадка видна из О, то, как известно,

и, стало быть,

Площадка будет, очевидно, видна из точки О под тем же самым телесным углом Если условиться приписывать этому углу положительный знак, если из О видна внутренняя сторона и знак отрицательный, если видна ее внешняя сторона, то можно написать:

Итак, в поле точечного заряда поток электрического вектора через произвольно ориентированную площадку зависит, помимо величины этого заряда, только от того телесного угла, положительного или отрицательного, под которым эта площадка видна из занимаемой зарядом точки О.

2. Обращаясь к потоку вектора через конечную поверхность получим

где положительный или отрицательный телесный угол, под которым видна из заряда вся поверхность т. е. телесный угол, образованный радиусами-векторами, проведенными из к краевой линии этой поверхности (рис. 2). Крайне существенно, что в том случае, если поверхность замкнута, угол этот может иметь только одно из двух значений: и 0.

Действительно, точечный заряд может быть расположен либо внутри замкнутой поверхности, либо вне ее. Рассмотрение же

точечного заряда, расположенного на самой поверхности, лишено физического смысла, ибо пользоваться представлением о точечном заряде можно лишь при условии, что действительные размеры заряда малы по сравнению с расстоянием его до рассматриваемых точек поля. Представление же о точечном заряде, расположенном на поверхности, поток электрического вектора через которую мы определяем, этому условию, очевидно, не удовлетворяет.

Если заряд расположен внутри замкнутой поверхности то эта поверхность окружает его со всех сторон и, стало быть, видна из него под углом Следовательно, в этом случае

Если же заряд находится в точке О, лежащей вне замкнутой поверхности то из О можно провести к поверхности пучок касательных (рис. 3). Совокупность этих касательных образует конус, соприкасающийся с вдоль некоторой замкнутой линии которая разделит поверхность на две части:

Рис. 2

Рис. 3

Обе части поверхности будут видны из точки О под одним и тем же телесным углом, соответствующим раствору касательного конуса, причем одна из этих частей будет видна с ее внутренней стороны, а другая — с внешней. Таким образом, частям поверхности будут соответствовать углы и равные по величине и противоположные по знаку. Стало быть, и потоки электрического вектора через будут равны по величине, но противоположны по знаку и в сумме дадут нуль. Таким образом, поток вектора через всякую замкнутую поверхность, не

охватывающую заряда равен нулю:

Оба эти возможные случаи (заряд внутри и вне поверхности) могут быть выражены одной-единственной формулой

если только условиться понимать в этой формуле под величину заряда, расположенного внутри поверхности стало быть, полагать равным нулю, если заряд расположен вне этой поверхности.

3. Отличающаяся чрезвычайной простотой формула (3.5), выведенная нами для поля, возбуждаемого одним-единственным точечным зарядом, остается справедливой и для поля произвольной системы электрических зарядов. Действительно, любая система зарядов может быть разложена на совокупность элементарных (точечных) зарядов. Пусть напряженность результирующего поля всей системы зарядов, напряженность поля элементарного заряда Тогда

и

Стало быть,

причем последняя сумма распространяется только на те заряды, которые расположены внутри поверхности Эта формула выражает собой фундаментальную теорему Гаусса:

В произвольном электростатическом поле (в вакууме) поток электрического вектора через произвольную замкнутую поверхность равен умноженной на величине заряда, расположенного внутри этой поверхности. Эта величина заряда есть, конечно, алгебраическая сумма всех зарядов, находящихся внутри