В предыдущих параграфах мы описали несколько способов получения канонического преобразования в виде ряда по степеням параметра $\varepsilon$. Такие преобразования можно записать в виде
\[
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, \varepsilon), \quad \boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, \varepsilon)
\]

или
\[
z=z(\zeta, \varepsilon)
\]

где $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, \boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}-n$-мерные векторы, а $\boldsymbol{z}, \boldsymbol{\zeta}-2 n$-мерные векторы. $\mathrm{C}$ помощью генератора, удовлетворяющего уравнению Гамильтона-Якоби, т. е. с помощью генератора, который требуется в методе теории возмущений Пуанкаре, преобразование (1.6.1) можно записать так:
$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\eta}+\left(\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{x}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{y}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, \varepsilon), \quad \boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{x}+\left(\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{\eta}}\right)^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{\xi}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)$,
где $W=W(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)$ – производящая функция. Устовие
\[
W(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, 0)=0
\]

указывает на то, что преобразование (1.6.1) является преобразованием, близким к тождественному при достаточно малых $\varepsilon$.

Преобразование аналогичного типа, как было видно, осуществляется с помощью генератора $S=S(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)$, которому соответствует решение такой гамильтоновой системы дифференциальных уравнений:
\[
\frac{d y}{d \varepsilon}=\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{\mathbf{T}}, \quad \frac{d x}{d \varepsilon}=-\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{\mathbf{T}}
\]
1) Гамильтониан со знаком минус (прим. перев.).

с начальными условиями $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\xi}$ при $\varepsilon=0$. Справедливо следующее основное утверждение об эквивалентности преобразований.

Теорем а (IIнайад [63]). Генераторы $W$ и $S$, удовлетворяющие описанным выше условиям, удовлетворяют также соотношению
\[
S(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)=\frac{\partial W}{\partial \varepsilon}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, \varepsilon),
\]

где
\[
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{\eta}+\left(\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{x}}\right)^{\boldsymbol{T}}=\boldsymbol{y}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon}) .
\]

В самом деле, после применения преобразования (1.6.3) к системе (1.6.5) новый гампльтонисн $S^{\prime}(\boldsymbol{\eta}, \xi, \varepsilon)$ в соответствии с теорией Гамильтона-Якоби определяется формулой
\[
S^{\prime}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, \varepsilon), \varepsilon)=S(\boldsymbol{y}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, \varepsilon), \boldsymbol{x}, \varepsilon)-\frac{\partial W}{\partial \varepsilon}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, \varepsilon) .
\]

С другой стороны, величины $\eta$ и $\xi$ по определению должны быть постоянными, и, следовательно, гамильтониан $S^{\prime}(\eta, \xi, \varepsilon)$ должен быть тождественно равен нулю, что и доказывает теорему.

Теперь, вспомнив, что в общем случае функции $W$ п $S$ представляются степенными рядами по $\varepsilon$, найдем связь между коэффициентами этих двух рядов. Действительно, так как функция $S^{\prime}$ тождественно равна нулю, то соотношение
\[
S\left(\boldsymbol{\eta}+\left(\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{x}}\right)^{\boldsymbol{T}}, \boldsymbol{x}, \varepsilon\right)-\frac{\partial W}{\partial \varepsilon}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)=0
\]

должно удовлетворяться тождественно при любых значениях $2 n+1$ независимых переменных $\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, \varepsilon$.
Запишем $S$ и $W$ в виде рядов
\[
\begin{array}{l}
S(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon})=\sum_{n=0}^{\infty} S_{n+1}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \varepsilon^{n}, \\
W(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)=\sum_{\boldsymbol{n}=1}^{\infty} W_{n}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{x}) \varepsilon^{n},
\end{array}
\]

где переменные $y$ определяются формулами (1.6.7).
Подстановка рядов (1.6.10) п (1.6.7) в (1.6.9) приводит к рекуррентным соотношениям
\[
\begin{aligned}
W_{1} & =S_{1}, \\
2 W_{2} & =S_{2}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \eta}\right)\left(\frac{\partial W_{1}}{\partial x}\right)^{\mathrm{T}}, \\
3 W_{3} & =S_{3}+\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \eta}\right)\left(\frac{\partial W_{2}}{\partial x}\right)^{\mathrm{T}}+\left(\frac{\partial S_{2}}{\partial \eta}\right)\left(\frac{\partial W_{1}}{\partial x}\right)^{\mathrm{T}}+\frac{1}{2} \frac{\partial W_{1}}{\partial x} \frac{\partial^{2} S_{1}}{\partial \eta^{2}}\left(\frac{\partial W_{i}}{\partial x}\right)^{\mathrm{T}},
\end{aligned}
\]

в т. д. Здесь $\partial S_{n} / \partial \eta$ и производные высших порядков вычисляются по формуле $\partial S_{n} /\left.\partial \eta\right|_{y=\eta}$. В общем случае в работе Мерсмана [51] пайдено, что
\[
\begin{array}{c}
W_{1}=S_{1} \\
(n+1) W_{n+1}=S_{n+1}+\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k !} \sum_{z} \frac{\partial^{k} S_{p_{0}}}{\partial \eta_{i_{1}} \ldots \partial \eta_{i_{k}}} \cdot \frac{\partial W_{p_{1}}}{\partial x_{i_{1}}} \ldots \frac{\partial W_{p_{k}}}{\partial x_{i_{k}}},
\end{array}
\]

где второе суммирование осуществляется по всем наборам из $k+1$ целых положительных чисел $p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{k}$, таких, что $p_{0}+$ $+p_{1}+\ldots+p_{n}=n+1$. Соотношения (1.6.11) полностью эквивалентны соотношениям, первоначально полученным в работе [28] при нахождении явных формул для метода Цейпеля (Пуанкаре). Рекуррентные формулы (1.6.11) теперь можно использовать для установления явной связи между генераторами, определяемыми методом Пуанкаре и методом Хори и Депри с помощью рядов Ли. Эти соотношения детально исследованы в работе [51]. Эквивалентность формул Хори и Депри устанавливается косвенным образом при внимательном изучении того факта, что при оригинальном подходе Хори генератор $S$ может на самом деле считаться функцией $\varepsilon$, хотя в этом случае приведенное доказательство теоремы Ли не годится. Впервые дискуссия по этому вопросу была открыта в работе [10] в связи с обсуждением некоторых отрицательных замечаний Депри [17] о теории Хори. Аргументация авторов этой работы го существу сводится к тому, что они считают геператор $S$ принадлежащим некоторому однопараметрическому семейству (параметр семейства $\varepsilon_{0}$ ), затем строится преобразование при фиксированном значении параметра и показывается справедливость построений для любого значения $\varepsilon$ параметра $\varepsilon_{0}$. Аналогичный прием весьма успешно примения Пуанкаре [58] в задаче, в которой одному иा тому же параметру фиктивно присваивалось два разных наименования; Пуанкаре проводил разложение по двум параметрам, а на последнем этапе опять употреблял одно наименование параметра.
Для примера вслед за Пуанкаре рассмотрим функцию
\[
f(\varepsilon)=\sin \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}
\]

и ее разложение в ряд Тейлора вблизи $\varepsilon=0$. Можно провести это разложение следующим образом. Пусть
\[
\sin \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}=\sin \frac{\varepsilon}{1-\mu} \text {. }
\]

Тогда разложение в ряд Тейлора имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\sin \frac{\varepsilon}{1-\mu}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{2 n !} \frac{1}{(1-\mu)^{n}} {\left[1-(-1)^{n}\right]=} \\
=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{2 n !}\left[1-(-1)^{n}\right] \sum_{m=0}^{\infty} C_{-n}^{m}(-1)^{m} \mu^{m} .
\end{array}
\]
Вспоминая, что $\mu$ равно $\varepsilon$, получим выражение
\[
\sin \frac{\varepsilon}{1-\varepsilon}=\sum_{p=0}^{\infty}\left\{\sum_{n=0}^{p} \frac{1}{2 n !} C_{-n_{n}}^{p-n}(-1)^{p-n}\left[1-(-1)^{n}\right]\right\} \varepsilon^{p},
\]

которое, как нетрудно проверить, по существу является точным разложением функции $f(\varepsilon)$ в ряд Тейлора.
В рассматриваемом случае, возвращаясь к оператору
\[
\exp \left(\varepsilon L_{S}\right)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} L_{S}^{n},
\]

находим, что свойство
\[
\exp \left(\varepsilon L_{\mathrm{S}}\right)(f, g)=\left(\exp \left(\varepsilon L_{\mathrm{S}}\right) f, \exp \left(\varepsilon L_{\mathrm{S}}\right) g\right)
\]

не зависит от того, будет ли функция $S$ зависеть от $\varepsilon$ или нет. Следовательно, в силу того, что вышеприведенное свойство является основой доказательства каноничности преобразования
\[
\boldsymbol{z}=\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) \zeta,
\]

находим, что его можно применить и при доказательстве в случае Хори.