Здесь мы ограничимся несколькими замечаниями, которые цозволят доказать теорему, әквивалентную теореме Арнольда, в вырожденном случае.

Пусть $\mu$ – малый параметр, входящий в гамильтониан системы $H$ и $0 \leqslant \mu \leqslant 1$. Однако в общем случае $\mu$ много меньше единицы. Допустим также, что некоторые $\Omega_{k}=0(k=1, \ldots, p<n)$. Как и в теореме Арнольда, определим «секулярную» часть $H_{1}$. функции $H_{1}$, т. е.
\[
H=H_{0}+\mu\left(H_{1 s}+H_{1 p}\right)
\]

а из нее определим
\[
\Omega_{k}=\frac{\partial H_{1 s}}{\partial x_{k}} \quad(k=1, \ldots, p)
\]

и
\[
\Omega_{j}=\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{j}} \quad(j=p+1, \ldots, n) .
\]

Следовательно, отображение $T_{\mu}$ будем записывать в виде
\[
\begin{array}{l}
x_{k}^{*}=x_{k}+\mu G_{k}(x, y) \\
(k=1, \ldots, n) \text {, } \\
y_{k}^{*}=y_{k}+\mu\left[\alpha_{k}(x)+F_{k}(x, y)\right]+\beta_{k} \quad(k=1, \ldots, p), \\
y_{j}^{*}=y_{j}+\alpha_{j}(x)+\mu F_{j}(x, y) \quad(j=p+1, \ldots, n), \\
\end{array}
\]

и оно определено в кольде $0<a_{k} \leqslant x_{k} \leqslant b_{k}, \quad b_{k}-a_{k} \geqslant 1$, где $k=1, \ldots, n$. При этих условиях теорема Мозера будет оставаться справедливой, если ввести следующие модификации.
a) Отображение (4.4.14) надо заменить на отображение
\[
\begin{array}{l}
\tilde{y}_{k}=y_{k}^{\prime}+\mu \alpha_{k}\left(x^{0}\right)=y_{k}^{\prime}+\mu \alpha_{k} \quad(k=1, \ldots, p), \\
\tilde{y_{k}}=y_{j}^{\prime}+\alpha_{j}\left(x^{0}\right)=y_{j}^{\prime}+a_{j} \quad(j=p+1, \ldots, n), \\
\end{array}
\]
1) В действительности условия Колмогорова и Арнольда-Мозера (4.4.54) не сводятся одно к другому. Ошибочность приведенного в тексте книги утверждения следует, например, из рассмотрения системы с гампльтонианом ( $\omega_{j}>0$ )
\[
H_{0}=\left(\omega_{1} x_{1}-\omega_{2} x_{2}\right)\left(1+x_{1}+x_{2}\right) .
\]

Здесь определитель Колмогорова равен $-\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right)^{2}
eq 0$, а определитель (4.4.54) равен нулю (прим. ред.).

и $\delta_{0}$ можно опять выбирать независимо от $\mu$. Это очень важно, так как в противном случае при $\mu \rightarrow 0$ мы имели бы $\delta_{0} \rightarrow 0$ и доказательство не годилось бы.
б) Отображение $T_{0}$ (т. е. $T_{\mu}$ при $\mu=0$ ) надо заменить на отображение
\[
\begin{array}{l}
\left.x_{k}^{*}\right]=x_{k} \quad(k=1, \ldots, n), \\
y_{k}^{*}=\mu \alpha_{k}(\boldsymbol{x})+y_{k}+\beta_{k} \quad(k=1, \ldots, p), \\
y_{j}^{*}=\alpha_{j}(x)+y_{j} \quad(j=p+1, \cdots n) \text {. } \\
\end{array}
\]

при
\[
\mu \alpha_{k}(\boldsymbol{a})<\mu \alpha_{k}(\boldsymbol{x})<\mu \alpha_{k}(\boldsymbol{b}) .
\]
в) Интервал, определяемый формулой (4.4.15), надо заменить на интервал
\[
\alpha_{k}(\boldsymbol{a})+\varepsilon<\frac{\alpha_{k}-\beta_{k}}{\mu}<\alpha_{k}(\boldsymbol{b})-\varepsilon,
\]

и, наконец, условие (4.4.16) необходимо записать в виде
\[
\left|\sum_{k=1}^{p} m_{k} \mu \alpha_{k}+\sum_{j=p+1}^{N} m_{j} \alpha_{j}+2 \pi m_{N+1}\right| \geqslant \mu \varepsilon\left\{\sum_{k=1}^{N}\left|m_{k}\right|\right\}^{-N-1 / 2},
\]

где $m_{k}, m_{j}$ – проиввольные, ве обращающиеся одновременно в нуль целые числа.