В тех случаях, когда упомянутые условия для $H_0(x)$ не выполнены, или в простейшей ситуации, которая встречается в теореме Колмогорова, когда матрица $\left\{C_{ij}\right\}$ является особенной, а условия иррациональности (3.2.4) остаются справедливыми, доказательства Арнольда или Баррара не годятся. В раннем варианте своего доказательства [9] Баррар указал возможный способ исследования случая, когда гамильтониан имеет вид
$$H=A_0\sum _{k=1}^m{\omega }_k{x}_k+\sum _{j=m+1}^n\mu {\omega }_j{x}_j+A(x)+\mu H_1(y,x),$$

где $A_0$ — постоянная величина, а $\mu$ — постоянный параметр ( $0⩽$ $⩽\mu ⩽1$ ). По сравнению с исходным гамильтонианом, записанным в виде
$$H=H_0(\mathit{x})+\mu [H_{1s}(\mathit{x})+H_{1p}(\mathit{y},\mathit{x})],$$

цричем
$$\oint H_{1p}dy=0,$$

частоты ${\omega }_k$ определяются теперь формулами
$$\begin{array}{ll}{\omega }_k={\frac{\partial }{\partial x_k}(H_0+\mu H_{1s})|}_{x=x^0}& (k=1,\dots ,m),\\ {\omega }_j={\frac{\partial }{\partial x_j}{H}_{1s}|}_{x=x^0}& (j=m+1,\dots ,n),\end{array}$$

и предполагаются выполненными неравенства
$$|\sum _{k=1}^m{j}_k{\omega }_k+\mu \sum _{i=m+1}^n{j}_i{\omega }_i|⩾\mu {\left[\sum _{p=1}^n\left|j_p\right|\right]}^{-n-1}\delta$$

для всех не равных одновременно нулю целых чисел $j_p$. Известно, что мера всех ${\omega }_k(k=1,\dots ,n)$, не удовлетворяющих этим
1) См. примечание в конце § 4 главы IV (прим. перев.).

условиям, меньше $K\delta \mu$, где $K$ — надлежащим образом подобранная функция от ${\omega }_k$. Введем новое предположение
$$\det \left\{\frac{{\partial }^2(H_0+\mu H_{1s})}{\partial x_i\partial x_j}\right\}=2N\mu eq0$$

для $x=x^0\in D$. Если функция $H_1$ достаточно мала, то существуют условно-периодические решения системы, соответствующие гамильтониану $H$, и они имеют вид
$$\begin{array}{l}{y}_k={\omega }_k(t-{\tau }_k)+{\phi }_k(e^{i{\lambda }_{1}t},\dots ,e^{i{\lambda }_{m}t},e^{i\mu {\lambda }_{m+1}t},\dots ,e^{i\mu {\lambda }_{n}t}),\\ y_j=\mu {\omega }_j(t-{\tau }_j)+{\phi }_j(e^{i{\lambda }_{1}t},\dots ,e^{i{\lambda }_{m}t},e^{i\mu {\lambda }_{m+1}t},\dots ,e^{i\mu {\lambda }_{n}t})\\ x_i={\alpha }_i+{\psi }_i(e^{i{\lambda }_{1}t},\dots ,e^{i{\lambda }_{m}t},e^{i\mu {\lambda }_{m+1}t},\dots ,e^{i\mu {\lambda }_{n}t})\end{array}$$

где $k=1,\dots ,m;j=m+1,\dots ,n;i=1,\dots ,n$. Функции ${\phi }_k,{\phi }_j,{\psi }_i$ имеют одинаковый вид. В действительности доказательство осуществляется приведением гамильтониана (3.3.2) к виду (3.3.1) с разложением в ряд Тейлора и применением бесконечного числа канонических преобразований, уменьшающих на каждом шаге величину $H_1\left(y_{i}x\right)$. Можно показать, что этот метод будет сходящимся при $n=2,m=1$. Сходимость, однако, не может быть равномерной ни по отношению к $\mu$, ни по отношению к ${\mathit{x}}^0$.

Теорема Арнольда [7] является гораздо бо́льшим достижением, особенно это касается свойств сходимости. Арнольд рассматривает функцию Гамильтона $H(\mathit{y},\mathit{x},\epsilon )$, где $\mathit{y}=({\mathit{y}}_0,{\mathit{y}}_1),\mathit{x}=$ $=(x_0,x_1)$, а $y_0,x_0$ — векторы размерности $n_0$ и $y_1,x_1$ — векторы размерности $n_1$, так что $n=n_{\mathrm{c}}+n_1$ равно числу степеней свободы системы. Функция $H$ предполагается $2\pi$-периодической по каждой компоненте вектора $y_0$ и аналитической в области $D=\{x_0\in G_0,\left|\mathrm{Im}{y}_0\right|⩽\rho ,\left|x_1\right|⩽R,\left|y_1\right|⩽R\}$, а $\epsilon -$ вещественный параметр и $0⩽\epsilon <{\epsilon }_0$. Также предполагается, что существует разложение
$$H=H_0\left(x_0\right)+\epsilon H_1(y,x)+{\epsilon }^2{H}_2(y,x,\epsilon ),$$

где $H_1$ может быть разбита на короткопериодическую ${\tilde{H}}_1$ и долгопериодическую ${\overline{H}}_1$ части; при этом

и
$$H_1={\overline{H}}_1(x_0,x_1,y_1)+{\tilde{H}}_1(x_0,x_1,y_0,y_1)$$
$$\oint {\tilde{H}}_{1}d{y}_0=0,$$
т. е. многомерный ряд Фурье для ${\mathcal{H}}_1$ не имеет постоянного члена или, точнее говоря, он может быть включен в ${\overline{H}}_1$. Долгопериодическая часть также может быть разбита на секулярную часть ${\overline{H}}_{1s}$ и чисто периодическую (по каждой компоненте вектора $y_1$ ) часть ${\overline{H}}_{1p}$, т. е.
$${\overline{H}}_1={\overline{H}}_{1s}(x_0,\tau )+{\overline{H}}_{1p}(x_0,x_1,y_1),$$

где
$${\overline{H}}_{1s}={\lambda }_0+\sum _{i=1}^{n_1}{\lambda }_i{\tau }_i+\sum _{i,j=1}^{n_1}{\lambda }_{ij}{\tau }_i{\tau }_j+\sum _{i,j,k=1}^{n_1}{\lambda }_{ijk}{\tau }_i{\tau }_j{\tau }_k+\dots$$

Велпчины $\lambda$ с индексами являются функциями $x_0,{\lambda }_{ij}={\lambda }_{ji}$, а
$$2{\tau }_k=x_{1k}^2+y_{1k}^2(k=1,\dots ,n_1).$$

Предполагается также, что в области $G_0$ выполнены условия
$$\det \left\{\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_{0i}\partial x_{0j}}\right\}eq0,\det \left\{{\lambda }_{ij}\right\}eq0.$$

Тогда при соответствующих ограничениях на $H_2,{\mathit{H}}_1,{\overline{H}}_1,{\overrightarrow{H}}_{1s}$, ${\overline{I}}_{1p}$ для произвольной постоянной $K>0$ можно найти такое число $E_0(K,H_0,H_1,G_0,\rho ,R,C,\epsilon )$, что при $0<E<E_0,0<\epsilon <E_0^4$ и
$$\begin{array}{c}\left|H_2\right|<C,\left|H_1\right|⩽C,\left|{\overrightarrow{H}}_{1s}\right|⩽C,\\ \left|{\overline{H}}_{1p}\right|<Cmax(\left|x_1\right|,\left|y_1\right|),\left|H_1\right|<C\end{array}$$

существуют условно-периодические решения данной гамильтоновой системы, покрывающие инвариантные торы $T_{\omega }$, погруженные в область $D_1$, являющуюся частью области $D$, и дополнение этой области $D_2$, мало, в том смысле, что
$$\text{ mes }{D}_2<K\text{ mes }{D}_1\text{. }$$

Инвариантные множества $T_{\omega }$ аналитичны и мало отличаются (в некотором специальном смысле) от торов, определяемых условиями $x_{0k}=x_{0k\omega }=$ const, ${\tau }_k={\tau }_{k\omega }=$ const. Векторные частоты условно-периодического движения на таком торе имеют вид
$${\omega }_0=\frac{\partial H_0}{\partial x_{0\omega }},{\omega }_1=\frac{\partial {\overline{H}}_{1s}}{\partial {\tau }_{\omega }}.$$

Эта теорема, так же как и теорема Колмогорова, имеет большой геометрический смысл. Она показывает сохранение определенных инвариантных многообразий при возмущениях. Онатакже подразумевает, что эти инвариантные многообразия могут быть параметризованы в торы ${}^1$ ), хотя условия невырожденности для $H_0$ и смягчены.
1) То есть эти инвариантные многообразия топологически эквивалентны соответствующим торам (прим. перев.).