В тех случаях, когда упомянутые условия для $H_{0}(x)$ не выполнены, или в простейшей ситуации, которая встречается в теореме Колмогорова, когда матрица $\left\{C_{i j}\right\}$ является особенной, а условия иррациональности (3.2.4) остаются справедливыми, доказательства Арнольда или Баррара не годятся. В раннем варианте своего доказательства [9] Баррар указал возможный способ исследования случая, когда гамильтониан имеет вид
\[
H=A_{0} \sum_{k=1}^{m} \omega_{k} x_{k}+\sum_{j=m+1}^{n} \mu \omega_{j} x_{j}+A(x)+\mu H_{1}(y, x),
\]

где $A_{0}$ – постоянная величина, а $\mu$ – постоянный параметр ( $0 \leqslant$ $\leqslant \mu \leqslant 1$ ). По сравнению с исходным гамильтонианом, записанным в виде
\[
H=H_{0}(\boldsymbol{x})+\mu\left[H_{1 s}(\boldsymbol{x})+H_{1 p}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})\right],
\]

цричем
\[
\oint H_{1 p} d y=0,
\]

частоты $\omega_{k}$ определяются теперь формулами
\[
\begin{array}{ll}
\omega_{k}=\left.\frac{\partial}{\partial x_{k}}\left(H_{0}+\mu H_{1 s}\right)\right|_{x=x^{0}} & (k=1, \ldots, m), \\
\omega_{j}=\left.\frac{\partial}{\partial x_{j}} H_{1 s}\right|_{x=x^{0}} & (j=m+1, \ldots, n),
\end{array}
\]

и предполагаются выполненными неравенства
\[
\left|\sum_{k=1}^{m} j_{k} \omega_{k}+\mu \sum_{i=m+1}^{n} j_{i} \omega_{i}\right| \geqslant \mu\left[\sum_{p=1}^{n}\left|j_{p}\right|\right]^{-n-1} \delta
\]

для всех не равных одновременно нулю целых чисел $j_{p}$. Известно, что мера всех $\omega_{k}(k=1, \ldots, n)$, не удовлетворяющих этим
1) См. примечание в конце § 4 главы IV (прим. перев.).

условиям, меньше $K \delta \mu$, где $K$ – надлежащим образом подобранная функция от $\omega_{k}$. Введем новое предположение
\[
\operatorname{det}\left\{\frac{\partial^{2}\left(H_{0}+\mu H_{1 s}\right)}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right\}=2 N \mu
eq 0
\]

для $x=x^{0} \in D$. Если функция $H_{1}$ достаточно мала, то существуют условно-периодические решения системы, соответствующие гамильтониану $H$, и они имеют вид
\[
\begin{array}{l}
y_{k}=\omega_{k}\left(t-\tau_{k}\right)+\varphi_{k}\left(e^{i \lambda_{1} t}, \ldots, e^{i \lambda_{m} t}, e^{i \mu \lambda_{m+1} t}, \ldots, e^{i \mu \lambda_{n} t}\right), \\
y_{j}=\mu \omega_{j}\left(t-\tau_{j}\right)+\varphi_{j}\left(e^{i \lambda_{1} t}, \ldots, e^{i \lambda_{m} t}, e^{i \mu \lambda_{m+1} t}, \ldots, e^{i \mu \lambda_{n} t}\right) \\
x_{i}=\alpha_{i}+\psi_{i}\left(e^{i \lambda_{1} t}, \ldots, e^{i \lambda_{m} t}, e^{i \mu \lambda_{m+1} t}, \ldots, e^{i \mu \lambda_{n} t}\right)
\end{array}
\]

где $k=1, \ldots, m ; j=m+1, \ldots, n ; i=1, \ldots, n$. Функции $\varphi_{k}, \varphi_{j}, \psi_{i}$ имеют одинаковый вид. В действительности доказательство осуществляется приведением гамильтониана (3.3.2) к виду (3.3.1) с разложением в ряд Тейлора и применением бесконечного числа канонических преобразований, уменьшающих на каждом шаге величину $H_{1}\left(y_{i} x\right)$. Можно показать, что этот метод будет сходящимся при $n=2, m=1$. Сходимость, однако, не может быть равномерной ни по отношению к $\mu$, ни по отношению к $\boldsymbol{x}^{0}$.

Теорема Арнольда [7] является гораздо бо́льшим достижением, особенно это касается свойств сходимости. Арнольд рассматривает функцию Гамильтона $H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)$, где $\boldsymbol{y}=\left(\boldsymbol{y}_{0}, \boldsymbol{y}_{1}\right), \boldsymbol{x}=$ $=\left(x_{0}, x_{1}\right)$, а $y_{0}, x_{0}$ – векторы размерности $n_{0}$ и $y_{1}, x_{1}$ – векторы размерности $n_{1}$, так что $n=n_{\mathrm{c}}+n_{1}$ равно числу степеней свободы системы. Функция $H$ предполагается $2 \pi$-периодической по каждой компоненте вектора $y_{0}$ и аналитической в области $D=\left\{x_{0} \in G_{0},\left|\operatorname{Im} y_{0}\right| \leqslant \rho,\left|x_{1}\right| \leqslant R,\left|y_{1}\right| \leqslant R\right\}$, а $\varepsilon-$ вещественный параметр и $0 \leqslant \varepsilon<\varepsilon_{0}$. Также предполагается, что существует разложение
\[
H=H_{0}\left(x_{0}\right)+\varepsilon H_{1}(y, x)+\varepsilon^{2} H_{2}(y, x, \varepsilon),
\]

где $H_{1}$ может быть разбита на короткопериодическую $\widetilde{H}_{1}$ и долгопериодическую $\bar{H}_{1}$ части; при этом

и
\[
H_{1}=\bar{H}_{1}\left(x_{0}, x_{1}, y_{1}\right)+\widetilde{H}_{1}\left(x_{0}, x_{1}, y_{0}, y_{1}\right)
\]
\[
\oint \widetilde{H}_{1} d y_{0}=0,
\]
т. е. многомерный ряд Фурье для $\mathscr{H}_{1}$ не имеет постоянного члена или, точнее говоря, он может быть включен в $\bar{H}_{1}$. Долгопериодическая часть также может быть разбита на секулярную часть $\bar{H}_{1 s}$ и чисто периодическую (по каждой компоненте вектора $y_{1}$ ) часть $\bar{H}_{1 p}$, т. е.
\[
\bar{H}_{1}=\bar{H}_{1 s}\left(x_{0}, \tau\right)+\bar{H}_{1 p}\left(x_{0}, x_{1}, y_{1}\right),
\]

где
\[
\bar{H}_{1 s}=\lambda_{0}+\sum_{i=1}^{n_{1}} \lambda_{i} \tau_{i}+\sum_{i, j=1}^{n_{1}} \lambda_{i j} \tau_{i} \tau_{j}+\sum_{i, j, k=1}^{n_{1}} \lambda_{i j k} \tau_{i} \tau_{j} \tau_{k}+\ldots
\]

Велпчины $\lambda$ с индексами являются функциями $x_{0}, \lambda_{i j}=\lambda_{j i}$, а
\[
2 \tau_{k}=x_{1 k}^{2}+y_{1 k}^{2} \quad\left(k=1, \ldots, n_{1}\right) .
\]

Предполагается также, что в области $G_{0}$ выполнены условия
\[
\operatorname{det}\left\{\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{0 i} \partial x_{0 j}}\right\}
eq 0, \quad \operatorname{det}\left\{\lambda_{i j}\right\}
eq 0 .
\]

Тогда при соответствующих ограничениях на $H_{2}, \boldsymbol{H}_{1}, \bar{H}_{1}, \vec{H}_{1 s}$, $\bar{I}_{1 p}$ для произвольной постоянной $K>0$ можно найти такое число $E_{0}\left(K, H_{0}, H_{1}, G_{0}, \rho, R, C, \varepsilon\right)$, что при $0<E<E_{0}, 0<\varepsilon<E_{0}^{4}$ и
\[
\begin{array}{c}
\left|H_{2}\right|<C,\left|H_{1}\right| \leqslant C,\left|\vec{H}_{1 s}\right| \leqslant C, \\
\left|\bar{H}_{1 p}\right|<C \max \left(\left|x_{1}\right|,\left|y_{1}\right|\right),\left|H_{1}\right|<C
\end{array}
\]

существуют условно-периодические решения данной гамильтоновой системы, покрывающие инвариантные торы $T_{\omega}$, погруженные в область $D_{1}$, являющуюся частью области $D$, и дополнение этой области $D_{2}$, мало, в том смысле, что
\[
\text { mes } D_{2}<K \text { mes } D_{1} \text {. }
\]

Инвариантные множества $T_{\omega}$ аналитичны и мало отличаются (в некотором специальном смысле) от торов, определяемых условиями $x_{0 k}=x_{0 k \omega}=$ const, $\tau_{k}=\tau_{k \omega}=$ const. Векторные частоты условно-периодического движения на таком торе имеют вид
\[
\omega_{0}=\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{0 \omega}}, \quad \omega_{1}=\frac{\partial \bar{H}_{1 s}}{\partial \tau_{\omega}} .
\]

Эта теорема, так же как и теорема Колмогорова, имеет большой геометрический смысл. Она показывает сохранение определенных инвариантных многообразий при возмущениях. Онатакже подразумевает, что эти инвариантные многообразия могут быть параметризованы в торы ${ }^{1}$ ), хотя условия невырожденности для $H_{0}$ и смягчены.
1) То есть эти инвариантные многообразия топологически эквивалентны соответствующим торам (прим. перев.).