Согласно теореме Лиувилля, поток гамильтоновой системы в фазовом пространстве сохраняет меру, т. е. сохраняется фазовый объем.

Рассмотрим общую систему обыкновенных дифференциальных уравпений
\[
\dot{x}=f(x, t),
\]

где $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \boldsymbol{f}=\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)$; Пусть фунжции $\boldsymbol{f}$ аналитичны в области $D$ пространства $R^{n}$ іг периодичны по $t$ с периодом $2 \pi$. Предположим также, что при всех $t$ функции $f$ принадлежат по крайней мере классу $C^{2}$ относптельно $t$. Если $x_{0} \in D$, то существует, и прптом единственное, решение этой системы уравнений
\[
x=g\left(x_{0}, t\right),
\]

такое, что
\[
\boldsymbol{g}\left(x_{0}, 0\right)=x_{0}, \quad \frac{\partial g}{\partial l}\left(x_{0}, t\right)=f\left(g\left(x_{0}, t\right), t\right) .
\]

Рассмотрим отображение
\[
T: x \rightarrow g(x, 2 \pi),
\]

которое является однозначным в окрестности точки $x=x_{0}$. Обозначим через $T^{q} q$-кратное последовательное применение отображения $T$, например,
\[
T^{2}: x \rightarrow T: g(x, 2 \pi) \rightarrow g[g(x, 2 \pi), 2 \pi] .
\]

Пусть $\bar{x}=0$ – решение системы уравнений (4.1.1). Тогда, очевидно, точка $\bar{x}=0$ является неподвижной точкой отображения $T^{q}(q-$ целое положительное число), т. е.
\[
T^{q}: \vec{x}=\bar{x} .
\]

Здесь стоит упомянуть следующие определения.

а) Неподвижная точка $\bar{x}$ является особой, если в $D$ существует такая ее окрестность, что в ней нет других недодвижных точек отображения $T$. Отметим, что в общем случае неподвижная точка отображения $T^{q}$ ( $q$ – целое положительное число) соответствует периодическому решению системы уравнений (4.1.1) с периодом $2 \pi q$. Если эта точка особая, то периодическое решение также особое ${ }^{1}$ ). Очевидно, понятие, введенное Уиттекером [39], является частным случаем данного определения.
б) Неподвижная точка $\bar{x}$ является неособой, если в любой ее окрестности, принадлежащей области $D$, существует по крайней мере одна другая неподвижная точка. Соответствующее периодическое решение тогда называется неособым.

Здесь мы будем в основном рассматривать преобразования, сохраняющие площадь, т. е. такие, для которых в соотнопении
\[
|J| d x_{1}^{*} \ldots d x_{n}^{*}=d x_{1} \ldots d x_{n},
\]

где $J$ – матрица Якоби, а $|J|$ – якобиан
\[
|J|=\left|\frac{\partial\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}{\partial\left(x_{1}^{*}, \ldots, x_{n}^{*}\right)}\right|=\left|\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{x}^{*}}\right|,
\]

имеем $|J|=1$.
Рассмотрим теперь гамильтонову систему уравнений
\[
\dot{x}_{k}=-H_{y_{k}} \quad \dot{y}_{k}=H_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где функция Гамильтона
\[
H=H(x, y, t)=H(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, t+2 \pi)
\]

является аналитической в некоторой области $D$ фазового пространства, содержащей в себе начало координат, и для всех конечных $t$ она принадлежит по крайней мере классу $C^{2}$ относительно $t$. Пусть точка $(x, y)=(0,0)$ является положением равновесия системы (4.1.5).
Пусть $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$ и пусть
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, t\right), \quad \boldsymbol{y}=\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, t\right)
\]

будет соответствующим решением системы уравнений, аналитическим в $D$. Рассмотрим отображение
\[
T\left\{\begin{array}{l}
x^{*}=f(x, y, 2 \pi), \\
y^{*}=g(x, y, 2 \pi)
\end{array}\right.
\]
1) То есть предельный цикл (прих. перев.).

в окрестности начала координат. Очевидно, точка $(0,0)$ является неподвижной точкой отображения $T$. Так как функции $\boldsymbol{f}$ и $\boldsymbol{g}$ являются аналитическими в окрестности точки $(0,0)$, то их можно разложить в ряды Тейлора
\[
\begin{array}{l}
x^{*}=f(0,0,2 \pi)+\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{0} x+\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{0} y+\ldots, \\
y^{*}=g(0,0,2 \pi)+\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{0} x+\left.\frac{\partial g}{\partial y}\right|_{0} y+\ldots
\end{array}
\]

Принимая во внимание, что $f_{0}=g_{0}=0$, и определив
\[
\begin{array}{c}
z^{*}=\left(\begin{array}{l}
x^{*} \\
y^{*}
\end{array}\right), \quad z=\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right), \\
J=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{array}\right)=J(x, y), \quad J_{0}=J(0,0), \\
z^{*}=J_{0} z+\ldots
\end{array}
\]

получаем
\[
z^{*}=J_{0} z+\ldots
\]

Заданное таким образом отображение $T$ является каноническим, т. е. должно быть $|J|=1$ и, более того, матрида $J$ должна быть симшлектической (с единичной валентностью)
\[
J^{T} E J=E,
\]

где
\[
E=\left(\begin{array}{cc}
O_{n} & -I_{n} \\
I_{n} & O_{n}
\end{array}\right),
\]

а $I_{n}, O_{n}$ – единичная и нулевая матрицы размерности $n \times n$. Этими же свойствами, очевидно, обладает и матрица $J_{0}$, а отображение (4.1.7) сохраняет площадь. Рассмотрим линейное отображение
\[
\xi^{*}=J_{0} \xi
\]

с собственными числами задачи, соответствующими алгебраическому уравнению степени $2 n$ относительно $\lambda$
\[
\left|J_{0}-\lambda I\right|=0 .
\]

Так как свободный член әтого уравнения равен $\left|J_{0}\right|$, то ни один пз его корней не равен нулю. Пусть $u_{k}$ – собственные векторы, соответствующие собственным числам $\lambda_{k}$, т. е.
\[
J_{0} u_{k}=\lambda_{k} u_{k} .
\]

Отсюда последовательно получаем равенства
\[
\begin{aligned}
E J_{0} \boldsymbol{u}_{k} & =\lambda_{k} E \boldsymbol{u}_{k}, \\
J_{0}^{\mathrm{T}} E J_{0} \boldsymbol{u}_{k} & =\lambda_{k} J_{0}^{\mathrm{T}} E \boldsymbol{u}_{k}, \\
E \boldsymbol{u}_{k} & =\lambda_{k} J_{0}^{\mathrm{T}} E \boldsymbol{u}_{k}, \\
J_{0}^{\mathrm{T}} E \boldsymbol{u}_{k} & =\frac{1}{\lambda_{k}} E \boldsymbol{u}_{k},
\end{aligned}
\]

так что $\lambda_{k}$ является решением такого характеристического уравнения
\[
\left|J_{0}^{\mathrm{T}}-\frac{1}{\lambda_{k}} I\right|=0,
\]

а так как $\left|J_{0}^{\mathrm{T}}-\lambda I\right|=\left|J_{0}-\lambda I\right|=0$, то если $\lambda_{k}$ является собственным числом, тогда и $1 / \lambda_{k}$ – также собственное число. Таким образом ${ }^{1}$ ),
\[
\lambda_{1} \lambda_{2} \ldots \lambda_{2 n}=1 \text {. }
\]

Пусть все $\lambda_{k}$ различны между собой (они могут быть вещественны пли комплексны). Если существует линейное преобразование

такое, что
\[
\xi=L \omega,
\]
\[
\omega^{*}=L^{-1} J_{1} L \omega=\Lambda \omega,
\]

где
\[
L^{-1} J_{0} L=\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 n}\right),
\]

To
\[
\omega_{k}^{*}=\lambda_{k} \omega_{k},
\]

и отображение (4.1.7) можно записать в виде
\[
\boldsymbol{Z}^{*}=\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Z}+\psi(\boldsymbol{Z})
\]

Так как отображение (4.1.9) является аналитическим в окрестности начала координат $\boldsymbol{Z}=0$, то можно написать
\[
\begin{array}{l}
X_{k}^{*}=\lambda_{k} X_{k}+\sum_{m=2}^{\infty} p_{m}^{(k)}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}), \\
Y_{k}^{*}=\frac{1}{\lambda_{k}} Y_{k}+\sum_{m=2}^{\infty} q_{m}^{(k)}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}),
\end{array}
\]
1) Это сразу видно из того, что $\left|J_{0}\right|=1$ (прим. перев.).

где $k=1, \ldots, n$, а $p_{m}^{(k)}$ и $q_{m}^{(k)}$ – однородные полиномы степени $m$ относительно $X_{1}, \ldots, X_{n}, Y_{1}, \ldots, Y_{n}$. В векторной форме можно написать
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{X}^{*}=\lambda \boldsymbol{X}+\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}), \\
\boldsymbol{Y}^{*}=\left(\frac{1}{\lambda}\right) \boldsymbol{Y}+\boldsymbol{\Psi}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}),
\end{array}
\]

где необходимо, чтобы
\[
|J|=\left|\frac{\partial\left(\boldsymbol{X}^{*}, \boldsymbol{Y}^{*}\right)}{\partial(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})}\right|=1
\]

и, следовательно, отображение (4.1.10) сохраняет площадь.
Запишем теперь отображение (4.1.10) в виде
\[
X_{k}^{*}=X_{k} U_{k}, \quad Y_{k}^{*}=Y_{k} V_{k} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где
\[
U_{k}=\sum_{m=0}^{\infty} P_{m}^{(k)}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}), \quad V_{k}=\sum_{m=0}^{\infty} Q_{m}^{(k)}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})
\]

а $P_{m}^{(k)}$ и $Q_{m}^{(k)}$ – однородные полиномы степени $m$. Разумеется, при этом мы имеем
\[
P_{0}^{(k)}=\lambda_{k}, \quad Q_{0}^{(k)}=\frac{1}{\lambda_{k}} .
\]

Обсуждение свойств неподвижных точек отображений вида (4.1.10), которые сохраняют площадь, имеет первостепенную важность в теории динамических систем, но выходит, к сожалению, за рамки настоящей книги. Тем не менее, в качестве введения в результаты, излагающиеся в следующих параграфах, мы хотим упомянуть некоторые факты, касающиеся свойств отображений в окрестности неподвижной точки (подробнее см. [5], [35]).
Основная теорема утверждает, что для автономной системы
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(x), \quad \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]

и начальных условий $x=\xi € D$ при $t=0$ и при условии аналитичности функции $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ в $D$ существует, и притом единственное, репение $x=x(\xi, t)$, такое, тто $x(\xi, 0)=\xi$ и функция $x(\xi, t)$ аналитична по $t$ при $t$ из максимального интервала $0 \leqslant t<T$. Если для точки $\bar{\xi} \in D$ решение $x(\bar{\xi}, t)$ является периодическим с периодом $2 \pi$ и оно лежит в $D$, то отображение
\[
x^{*}=x(\xi, 2 \pi)
\]

имеет негідвижную точку $\bar{\xi}$ в $D$.

В общем случае для данного преобразования, определенного в некоторой области $D$, задача заключается в решении вопроса о существовании и нахождении неподвижных точек этого преобразования. Теоремы Брауэра и Пуанкаре – Биркгофа о неподвижных точках являются типичными примерами такого рода задач. Вторая теорема немедленно находит себе применение во многих задачах динамики, так как соответствующая область является типичной для инвариантных многообразий, встречающихся в динамике. В этом отношении теория возмущений имеет дело со свойствами отображений в окрестности неподвижных точек или, в более общем случае, с поведением инвариантных многообразий, соответствующих отображениям, сохраняющим площадь шри действии возмущений. В историческом отношении решающей проблемой явилась проблема нормализации отображения в окрестности неподвижной точки, решению которой посвящена оригинальная работа Биркгофа [4] и недавние исследования Густавсона $\left.[10]^{1}\right)$.
Хорошо известно, что сохраняющее площадь отображение
\[
\begin{array}{l}
x_{k}^{\prime}=\lambda_{k} x_{k}+f_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}), \\
y_{k}^{\prime}=\mu_{k} x_{k}+g_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})
\end{array}
\]

при $\mu_{k}=1 / \lambda_{k}$ не может быть приведено, если рассматриваются не исключительные случаи, к нормальной форме
\[
\xi_{k}^{\prime}=\lambda_{k} \xi_{k}, \quad \eta_{k}^{\prime}=\mu_{k} \eta_{k}
\]

с помощью преобразования
\[
U=\left\{\begin{array}{l}
x_{k}=\xi_{k}+\varphi_{k}(\xi, \boldsymbol{\eta}) \\
y_{k}=\eta_{k}+\psi_{k}(\xi, \boldsymbol{\eta}) .
\end{array}\right.
\]

Нормальную форму Биркгофа
\[
T:\left\{\begin{array}{l}
\xi_{k}^{\prime}=\xi_{k} u_{k}(\xi, \eta), \\
\eta_{k}^{\prime}=\eta_{k} v_{k}(\xi, \eta),
\end{array}\right.
\]

где
\[
\begin{array}{l}
u_{k}=\lambda_{k}+\sum_{j=1}^{n} a_{2, j}^{k} \xi_{j} \eta_{j}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} a_{4, j, l}^{k} \xi_{j} \eta_{j} \xi_{l} \eta_{l}+\ldots, \\
v_{k}=\mu_{k}+\sum_{j=1}^{n} b_{2, j}^{k} \xi_{j} \eta_{j}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} b_{4, j, l}^{k} \xi_{j} \eta_{j} \xi_{l} \eta_{l}+\ldots,
\end{array}
\]
$\left.{ }^{1}\right)$ См. также работы А. Д. Брюно о нормальных формах [8*-12*]. Другой подход для неавтономных периодических систем, использующий метод точечных отображений, использован в работах А. П. Маркеева [27*], [28*] (приж, перев.).

с помощью преобразования (4.1.15) опять же можно получить в виде формальных рядов, в общем случае расходящихся. Тем не менее, можно найти преобразование, приводящее отображение (4.1.13) к виду, совпадающелу с нормальной формой Биркгофа до приближения любого порядка, хотя остаточные члегы и не стремятся к нулю по мере того, как порядок приближения стремится к бесконечности. Этот факт для систем с одной степенью свободы естественным образом приводит к теореме Биркгофа о неподвижной точке.

Пусть теперь начало координат является неподвижной точкой (отображения) эллиптического типа и пусть отображение имеет вид (4.1.13) и сохраняет площадь. Матрица Якоби $J$ этого преобразования является симплектической, т. е.
\[
J^{T} E J=E .
\]

Если, в частности, рассмотреть замену переменных (4.1.15), где $k=1, \ldots, n$, то производные $\partial x_{k} / \partial \xi_{k}, \partial y_{k} / \partial \eta_{k}$ равны единице в начале координат $\xi=\eta=0$ и, следовательно, существует производящая функция $W(y, \xi)$, такая, что
\[
x_{k}=W_{y_{k}}, \quad \eta_{k}=W_{\xi_{k}} .
\]

Функция $W$ является аналитической в окрестности точки $(y, \xi)=(0,0)$, а ряд .
\[
W=\sum_{k} y_{k} \xi_{k}+\cdots
\]

в этой окрестности – сходящимся. Производящая функция $W$ будет описывать любое цреобразование типа $U$ (см. (4.1.15)). При приведении к нормальной форме Биркгофа ряд для производящей функции $W$, тем не менее, в общем случае является расходящимся. В этом случае рассмотрим функцию $W^{*}$, полученную отбрасыванием в $W$ всех членов, степень которых выше $2 m+2$, т. е. функцию
\[
W^{*}=\sum_{k=1}^{n} y_{k} \xi_{k}+\sum_{\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}} A_{\boldsymbol{p} \boldsymbol{q}} y_{1}^{p_{1}} \ldots y_{n}^{p_{n} \xi_{1}} \ldots \xi_{n}^{q_{n}},
\]

где суммирование по $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$ производится по всем значениям $q_{i}, p_{i}$, удовлетворяющим неравенствам
Мы получаем
\[
3 \leqslant \sum_{i}\left(p_{i}+q_{i}\right) \leqslant 2 m+2 .
\]
\[
\begin{array}{l}
x_{k}=W_{y_{k}}^{*}=\xi_{k}+\widetilde{X}_{k}(\boldsymbol{y}, \xi), \\
\eta_{k}=W_{\xi_{k}}^{*}=y_{k}+N_{k}(\boldsymbol{y}, \xi),
\end{array}
\]

а по предположению
\[
\frac{\partial^{2} W^{*}}{\partial \xi_{k} \partial y_{k}}=1
\]

в начале координат $\xi=y=0$. Следовательно, в окрестности начала координат можно написать
\[
y_{k}=\boldsymbol{\eta}_{k}+Y_{k}(\xi, \boldsymbol{\eta}), \quad x_{k}=\xi_{k}+X_{k}(\xi, \eta) .
\]

Ряды (4.1.21), разумеется, являются сходящимися в окрестности начала координат и приводят отображение (4.1.13) к виду $T^{*}$, который совпадает с нормальной формой Биркгофа (4.1.16) с точностью до членов порядка $2 m+1$. Для получения $T^{*}$ требуется только выполнение условий $\lambda_{j}^{s}
eq 1$, где $j=$ $=1, \ldots, n$, а $s=1, \ldots, 2 m+2$. Если таћое условие не выполнено, то в $W^{*}$ появляются нулевые делители, точнее, они появляются первый раз в членах порядка $2 \leqslant k \leqslant 2 m+2$ при $\lambda_{j}^{k}=1^{1}$ ).

Пусть $m=2$. Так как мы считаем начало координат неподвижной точкой эллиптического типа, то $T^{*}$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
\xi_{k}^{\prime} & =e^{i \Omega_{k} \xi_{k}}+\varphi_{k}^{(4)}(\xi, \eta), \\
\eta_{k}^{\prime} & =e^{-i \Omega_{k}} \eta_{\xi}+\psi_{k}^{(4)}(\xi, \eta),
\end{aligned}
\]

где функции $\varphi_{k}^{(4)}$ и $\psi_{k}^{(4)}$ имеют порядок не ниже четырех, так что достаточно взять
\[
\Omega_{k}=\alpha_{k}+\sum_{j=1}^{n} \beta_{k}^{j} \xi_{j} \eta_{j} .
\]

Важным условием является то, что не все $\beta_{k}^{j}$ одновременно могут быть нулевыми. Если $\beta_{k}^{j}$ окажутся именно такими, то необходимо найти приближение более высокого порядка. Если это условие нарушено в любом порядке, то система является чрезвычайно особенной. Такая ситуация может быть связана с задачей о резонансе в консервативной системе.

Очевидно, числа $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}^{j}$ являются вещественными и, более того, $\eta_{k}=\bar{\xi}_{k}$ (черта означает комплексное сопряжение). Отсюда следует, что $\eta_{k}^{\prime}=\bar{\xi}_{k}^{\prime}$, так что необходимо рассматривать
1) В действительности должно выполняться более сильное требование $\lambda_{1}^{s_{1}} \lambda_{2}^{s_{2}} \ldots \lambda_{n}^{s_{n}}
eq 1$, где $s_{j}$ – целые числа, а $\left|s_{1}\right|+\ldots+\left|s_{n}\right|=1,2, \ldots, 2 m+2$ (прим. ред.).

только соотпонения
\[
\begin{array}{l}
\xi_{k}^{\prime}=e^{i \Omega_{k}} \xi_{k}+\varphi_{k}^{(4)}(\xi, \bar{\xi}), \\
\Omega_{k}=\alpha_{k}+\sum_{j=1}^{n} \beta_{k}^{j} \bar{\xi}_{j} \bar{\xi}_{j}, \quad \lambda_{k}=e^{i \alpha_{k}} .
\end{array}
\]

С другой стороны, разложение әкспонепты пмеет вид
\[
e^{i \Omega_{k}}=\lambda_{k}\left(1+i \delta_{k}\right),
\]

где члены более высокого порядка входят в $\varphi_{k}^{(4)}$, а
\[
\delta_{k}=\sum_{j=1}^{n} \beta_{k}^{j}\left|\xi_{j}\right|^{2} .
\]

Сгедовательно, в векторной форме
\[
\begin{array}{c}
\xi^{\prime}=\Lambda \xi+\Phi^{(4)} \\
\Lambda=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}\left(1+i \delta_{1}\right), \ldots, \lambda_{n}\left(1+i \delta_{n}\right)\right\} .
\end{array}
\]

IIрп $n=1$ это преобразованне удовлетворяет теореме Биркгофа о неподвижной точке. Распространение этой теоремы на случап $n>1$ не является справедливым. При числе степеней свободы $n=2$ для консервативной спстемы существуют случаи, когда теорема может быть верна. Напрпмер, когда гамильтониан периодичен по одной из переменных.