Главная > МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (Г. Е. О. ДЖАКАЛЬЯ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Согласно теореме Лиувилля, поток гамильтоновой системы в фазовом пространстве сохраняет меру, т. е. сохраняется фазовый объем.

Рассмотрим общую систему обыкновенных дифференциальных уравпений
\[
\dot{x}=f(x, t),
\]

где $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \boldsymbol{f}=\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)$; Пусть фунжции $\boldsymbol{f}$ аналитичны в области $D$ пространства $R^{n}$ іг периодичны по $t$ с периодом $2 \pi$. Предположим также, что при всех $t$ функции $f$ принадлежат по крайней мере классу $C^{2}$ относптельно $t$. Если $x_{0} \in D$, то существует, и прптом единственное, решение этой системы уравнений
\[
x=g\left(x_{0}, t\right),
\]

такое, что
\[
\boldsymbol{g}\left(x_{0}, 0\right)=x_{0}, \quad \frac{\partial g}{\partial l}\left(x_{0}, t\right)=f\left(g\left(x_{0}, t\right), t\right) .
\]

Рассмотрим отображение
\[
T: x \rightarrow g(x, 2 \pi),
\]

которое является однозначным в окрестности точки $x=x_{0}$. Обозначим через $T^{q} q$-кратное последовательное применение отображения $T$, например,
\[
T^{2}: x \rightarrow T: g(x, 2 \pi) \rightarrow g[g(x, 2 \pi), 2 \pi] .
\]

Пусть $\bar{x}=0$ – решение системы уравнений (4.1.1). Тогда, очевидно, точка $\bar{x}=0$ является неподвижной точкой отображения $T^{q}(q-$ целое положительное число), т. е.
\[
T^{q}: \vec{x}=\bar{x} .
\]

Здесь стоит упомянуть следующие определения.

а) Неподвижная точка $\bar{x}$ является особой, если в $D$ существует такая ее окрестность, что в ней нет других недодвижных точек отображения $T$. Отметим, что в общем случае неподвижная точка отображения $T^{q}$ ( $q$ – целое положительное число) соответствует периодическому решению системы уравнений (4.1.1) с периодом $2 \pi q$. Если эта точка особая, то периодическое решение также особое ${ }^{1}$ ). Очевидно, понятие, введенное Уиттекером [39], является частным случаем данного определения.
б) Неподвижная точка $\bar{x}$ является неособой, если в любой ее окрестности, принадлежащей области $D$, существует по крайней мере одна другая неподвижная точка. Соответствующее периодическое решение тогда называется неособым.

Здесь мы будем в основном рассматривать преобразования, сохраняющие площадь, т. е. такие, для которых в соотнопении
\[
|J| d x_{1}^{*} \ldots d x_{n}^{*}=d x_{1} \ldots d x_{n},
\]

где $J$ – матрица Якоби, а $|J|$ – якобиан
\[
|J|=\left|\frac{\partial\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}{\partial\left(x_{1}^{*}, \ldots, x_{n}^{*}\right)}\right|=\left|\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \boldsymbol{x}^{*}}\right|,
\]

имеем $|J|=1$.
Рассмотрим теперь гамильтонову систему уравнений
\[
\dot{x}_{k}=-H_{y_{k}} \quad \dot{y}_{k}=H_{x_{k}} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где функция Гамильтона
\[
H=H(x, y, t)=H(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}, t+2 \pi)
\]

является аналитической в некоторой области $D$ фазового пространства, содержащей в себе начало координат, и для всех конечных $t$ она принадлежит по крайней мере классу $C^{2}$ относительно $t$. Пусть точка $(x, y)=(0,0)$ является положением равновесия системы (4.1.5).
Пусть $\left(x_{0}, y_{0}\right) \in D$ и пусть
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, t\right), \quad \boldsymbol{y}=\boldsymbol{g}\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, t\right)
\]

будет соответствующим решением системы уравнений, аналитическим в $D$. Рассмотрим отображение
\[
T\left\{\begin{array}{l}
x^{*}=f(x, y, 2 \pi), \\
y^{*}=g(x, y, 2 \pi)
\end{array}\right.
\]
1) То есть предельный цикл (прих. перев.).

в окрестности начала координат. Очевидно, точка $(0,0)$ является неподвижной точкой отображения $T$. Так как функции $\boldsymbol{f}$ и $\boldsymbol{g}$ являются аналитическими в окрестности точки $(0,0)$, то их можно разложить в ряды Тейлора
\[
\begin{array}{l}
x^{*}=f(0,0,2 \pi)+\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{0} x+\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{0} y+\ldots, \\
y^{*}=g(0,0,2 \pi)+\left.\frac{\partial g}{\partial x}\right|_{0} x+\left.\frac{\partial g}{\partial y}\right|_{0} y+\ldots
\end{array}
\]

Принимая во внимание, что $f_{0}=g_{0}=0$, и определив
\[
\begin{array}{c}
z^{*}=\left(\begin{array}{l}
x^{*} \\
y^{*}
\end{array}\right), \quad z=\left(\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right), \\
J=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{array}\right)=J(x, y), \quad J_{0}=J(0,0), \\
z^{*}=J_{0} z+\ldots
\end{array}
\]

получаем
\[
z^{*}=J_{0} z+\ldots
\]

Заданное таким образом отображение $T$ является каноническим, т. е. должно быть $|J|=1$ и, более того, матрида $J$ должна быть симшлектической (с единичной валентностью)
\[
J^{T} E J=E,
\]

где
\[
E=\left(\begin{array}{cc}
O_{n} & -I_{n} \\
I_{n} & O_{n}
\end{array}\right),
\]

а $I_{n}, O_{n}$ – единичная и нулевая матрицы размерности $n \times n$. Этими же свойствами, очевидно, обладает и матрица $J_{0}$, а отображение (4.1.7) сохраняет площадь. Рассмотрим линейное отображение
\[
\xi^{*}=J_{0} \xi
\]

с собственными числами задачи, соответствующими алгебраическому уравнению степени $2 n$ относительно $\lambda$
\[
\left|J_{0}-\lambda I\right|=0 .
\]

Так как свободный член әтого уравнения равен $\left|J_{0}\right|$, то ни один пз его корней не равен нулю. Пусть $u_{k}$ – собственные векторы, соответствующие собственным числам $\lambda_{k}$, т. е.
\[
J_{0} u_{k}=\lambda_{k} u_{k} .
\]

Отсюда последовательно получаем равенства
\[
\begin{aligned}
E J_{0} \boldsymbol{u}_{k} & =\lambda_{k} E \boldsymbol{u}_{k}, \\
J_{0}^{\mathrm{T}} E J_{0} \boldsymbol{u}_{k} & =\lambda_{k} J_{0}^{\mathrm{T}} E \boldsymbol{u}_{k}, \\
E \boldsymbol{u}_{k} & =\lambda_{k} J_{0}^{\mathrm{T}} E \boldsymbol{u}_{k}, \\
J_{0}^{\mathrm{T}} E \boldsymbol{u}_{k} & =\frac{1}{\lambda_{k}} E \boldsymbol{u}_{k},
\end{aligned}
\]

так что $\lambda_{k}$ является решением такого характеристического уравнения
\[
\left|J_{0}^{\mathrm{T}}-\frac{1}{\lambda_{k}} I\right|=0,
\]

а так как $\left|J_{0}^{\mathrm{T}}-\lambda I\right|=\left|J_{0}-\lambda I\right|=0$, то если $\lambda_{k}$ является собственным числом, тогда и $1 / \lambda_{k}$ – также собственное число. Таким образом ${ }^{1}$ ),
\[
\lambda_{1} \lambda_{2} \ldots \lambda_{2 n}=1 \text {. }
\]

Пусть все $\lambda_{k}$ различны между собой (они могут быть вещественны пли комплексны). Если существует линейное преобразование

такое, что
\[
\xi=L \omega,
\]
\[
\omega^{*}=L^{-1} J_{1} L \omega=\Lambda \omega,
\]

где
\[
L^{-1} J_{0} L=\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{2 n}\right),
\]

To
\[
\omega_{k}^{*}=\lambda_{k} \omega_{k},
\]

и отображение (4.1.7) можно записать в виде
\[
\boldsymbol{Z}^{*}=\boldsymbol{\Lambda} \boldsymbol{Z}+\psi(\boldsymbol{Z})
\]

Так как отображение (4.1.9) является аналитическим в окрестности начала координат $\boldsymbol{Z}=0$, то можно написать
\[
\begin{array}{l}
X_{k}^{*}=\lambda_{k} X_{k}+\sum_{m=2}^{\infty} p_{m}^{(k)}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}), \\
Y_{k}^{*}=\frac{1}{\lambda_{k}} Y_{k}+\sum_{m=2}^{\infty} q_{m}^{(k)}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}),
\end{array}
\]
1) Это сразу видно из того, что $\left|J_{0}\right|=1$ (прим. перев.).

где $k=1, \ldots, n$, а $p_{m}^{(k)}$ и $q_{m}^{(k)}$ – однородные полиномы степени $m$ относительно $X_{1}, \ldots, X_{n}, Y_{1}, \ldots, Y_{n}$. В векторной форме можно написать
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{X}^{*}=\lambda \boldsymbol{X}+\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}), \\
\boldsymbol{Y}^{*}=\left(\frac{1}{\lambda}\right) \boldsymbol{Y}+\boldsymbol{\Psi}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}),
\end{array}
\]

где необходимо, чтобы
\[
|J|=\left|\frac{\partial\left(\boldsymbol{X}^{*}, \boldsymbol{Y}^{*}\right)}{\partial(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})}\right|=1
\]

и, следовательно, отображение (4.1.10) сохраняет площадь.
Запишем теперь отображение (4.1.10) в виде
\[
X_{k}^{*}=X_{k} U_{k}, \quad Y_{k}^{*}=Y_{k} V_{k} \quad(k=1, \ldots, n),
\]

где
\[
U_{k}=\sum_{m=0}^{\infty} P_{m}^{(k)}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}), \quad V_{k}=\sum_{m=0}^{\infty} Q_{m}^{(k)}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})
\]

а $P_{m}^{(k)}$ и $Q_{m}^{(k)}$ – однородные полиномы степени $m$. Разумеется, при этом мы имеем
\[
P_{0}^{(k)}=\lambda_{k}, \quad Q_{0}^{(k)}=\frac{1}{\lambda_{k}} .
\]

Обсуждение свойств неподвижных точек отображений вида (4.1.10), которые сохраняют площадь, имеет первостепенную важность в теории динамических систем, но выходит, к сожалению, за рамки настоящей книги. Тем не менее, в качестве введения в результаты, излагающиеся в следующих параграфах, мы хотим упомянуть некоторые факты, касающиеся свойств отображений в окрестности неподвижной точки (подробнее см. [5], [35]).
Основная теорема утверждает, что для автономной системы
\[
\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{f}(x), \quad \boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)
\]

и начальных условий $x=\xi € D$ при $t=0$ и при условии аналитичности функции $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ в $D$ существует, и притом единственное, репение $x=x(\xi, t)$, такое, тто $x(\xi, 0)=\xi$ и функция $x(\xi, t)$ аналитична по $t$ при $t$ из максимального интервала $0 \leqslant t<T$. Если для точки $\bar{\xi} \in D$ решение $x(\bar{\xi}, t)$ является периодическим с периодом $2 \pi$ и оно лежит в $D$, то отображение
\[
x^{*}=x(\xi, 2 \pi)
\]

имеет негідвижную точку $\bar{\xi}$ в $D$.

В общем случае для данного преобразования, определенного в некоторой области $D$, задача заключается в решении вопроса о существовании и нахождении неподвижных точек этого преобразования. Теоремы Брауэра и Пуанкаре – Биркгофа о неподвижных точках являются типичными примерами такого рода задач. Вторая теорема немедленно находит себе применение во многих задачах динамики, так как соответствующая область является типичной для инвариантных многообразий, встречающихся в динамике. В этом отношении теория возмущений имеет дело со свойствами отображений в окрестности неподвижных точек или, в более общем случае, с поведением инвариантных многообразий, соответствующих отображениям, сохраняющим площадь шри действии возмущений. В историческом отношении решающей проблемой явилась проблема нормализации отображения в окрестности неподвижной точки, решению которой посвящена оригинальная работа Биркгофа [4] и недавние исследования Густавсона $\left.[10]^{1}\right)$.
Хорошо известно, что сохраняющее площадь отображение
\[
\begin{array}{l}
x_{k}^{\prime}=\lambda_{k} x_{k}+f_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}), \\
y_{k}^{\prime}=\mu_{k} x_{k}+g_{k}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})
\end{array}
\]

при $\mu_{k}=1 / \lambda_{k}$ не может быть приведено, если рассматриваются не исключительные случаи, к нормальной форме
\[
\xi_{k}^{\prime}=\lambda_{k} \xi_{k}, \quad \eta_{k}^{\prime}=\mu_{k} \eta_{k}
\]

с помощью преобразования
\[
U=\left\{\begin{array}{l}
x_{k}=\xi_{k}+\varphi_{k}(\xi, \boldsymbol{\eta}) \\
y_{k}=\eta_{k}+\psi_{k}(\xi, \boldsymbol{\eta}) .
\end{array}\right.
\]

Нормальную форму Биркгофа
\[
T:\left\{\begin{array}{l}
\xi_{k}^{\prime}=\xi_{k} u_{k}(\xi, \eta), \\
\eta_{k}^{\prime}=\eta_{k} v_{k}(\xi, \eta),
\end{array}\right.
\]

где
\[
\begin{array}{l}
u_{k}=\lambda_{k}+\sum_{j=1}^{n} a_{2, j}^{k} \xi_{j} \eta_{j}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} a_{4, j, l}^{k} \xi_{j} \eta_{j} \xi_{l} \eta_{l}+\ldots, \\
v_{k}=\mu_{k}+\sum_{j=1}^{n} b_{2, j}^{k} \xi_{j} \eta_{j}+\sum_{j=1}^{n} \sum_{l=1}^{n} b_{4, j, l}^{k} \xi_{j} \eta_{j} \xi_{l} \eta_{l}+\ldots,
\end{array}
\]
$\left.{ }^{1}\right)$ См. также работы А. Д. Брюно о нормальных формах [8*-12*]. Другой подход для неавтономных периодических систем, использующий метод точечных отображений, использован в работах А. П. Маркеева [27*], [28*] (приж, перев.).

с помощью преобразования (4.1.15) опять же можно получить в виде формальных рядов, в общем случае расходящихся. Тем не менее, можно найти преобразование, приводящее отображение (4.1.13) к виду, совпадающелу с нормальной формой Биркгофа до приближения любого порядка, хотя остаточные члегы и не стремятся к нулю по мере того, как порядок приближения стремится к бесконечности. Этот факт для систем с одной степенью свободы естественным образом приводит к теореме Биркгофа о неподвижной точке.

Пусть теперь начало координат является неподвижной точкой (отображения) эллиптического типа и пусть отображение имеет вид (4.1.13) и сохраняет площадь. Матрица Якоби $J$ этого преобразования является симплектической, т. е.
\[
J^{T} E J=E .
\]

Если, в частности, рассмотреть замену переменных (4.1.15), где $k=1, \ldots, n$, то производные $\partial x_{k} / \partial \xi_{k}, \partial y_{k} / \partial \eta_{k}$ равны единице в начале координат $\xi=\eta=0$ и, следовательно, существует производящая функция $W(y, \xi)$, такая, что
\[
x_{k}=W_{y_{k}}, \quad \eta_{k}=W_{\xi_{k}} .
\]

Функция $W$ является аналитической в окрестности точки $(y, \xi)=(0,0)$, а ряд .
\[
W=\sum_{k} y_{k} \xi_{k}+\cdots
\]

в этой окрестности – сходящимся. Производящая функция $W$ будет описывать любое цреобразование типа $U$ (см. (4.1.15)). При приведении к нормальной форме Биркгофа ряд для производящей функции $W$, тем не менее, в общем случае является расходящимся. В этом случае рассмотрим функцию $W^{*}$, полученную отбрасыванием в $W$ всех членов, степень которых выше $2 m+2$, т. е. функцию
\[
W^{*}=\sum_{k=1}^{n} y_{k} \xi_{k}+\sum_{\boldsymbol{p}, \boldsymbol{q}} A_{\boldsymbol{p} \boldsymbol{q}} y_{1}^{p_{1}} \ldots y_{n}^{p_{n} \xi_{1}} \ldots \xi_{n}^{q_{n}},
\]

где суммирование по $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$ производится по всем значениям $q_{i}, p_{i}$, удовлетворяющим неравенствам
Мы получаем
\[
3 \leqslant \sum_{i}\left(p_{i}+q_{i}\right) \leqslant 2 m+2 .
\]
\[
\begin{array}{l}
x_{k}=W_{y_{k}}^{*}=\xi_{k}+\widetilde{X}_{k}(\boldsymbol{y}, \xi), \\
\eta_{k}=W_{\xi_{k}}^{*}=y_{k}+N_{k}(\boldsymbol{y}, \xi),
\end{array}
\]

а по предположению
\[
\frac{\partial^{2} W^{*}}{\partial \xi_{k} \partial y_{k}}=1
\]

в начале координат $\xi=y=0$. Следовательно, в окрестности начала координат можно написать
\[
y_{k}=\boldsymbol{\eta}_{k}+Y_{k}(\xi, \boldsymbol{\eta}), \quad x_{k}=\xi_{k}+X_{k}(\xi, \eta) .
\]

Ряды (4.1.21), разумеется, являются сходящимися в окрестности начала координат и приводят отображение (4.1.13) к виду $T^{*}$, который совпадает с нормальной формой Биркгофа (4.1.16) с точностью до членов порядка $2 m+1$. Для получения $T^{*}$ требуется только выполнение условий $\lambda_{j}^{s}
eq 1$, где $j=$ $=1, \ldots, n$, а $s=1, \ldots, 2 m+2$. Если таћое условие не выполнено, то в $W^{*}$ появляются нулевые делители, точнее, они появляются первый раз в членах порядка $2 \leqslant k \leqslant 2 m+2$ при $\lambda_{j}^{k}=1^{1}$ ).

Пусть $m=2$. Так как мы считаем начало координат неподвижной точкой эллиптического типа, то $T^{*}$ имеет вид
\[
\begin{aligned}
\xi_{k}^{\prime} & =e^{i \Omega_{k} \xi_{k}}+\varphi_{k}^{(4)}(\xi, \eta), \\
\eta_{k}^{\prime} & =e^{-i \Omega_{k}} \eta_{\xi}+\psi_{k}^{(4)}(\xi, \eta),
\end{aligned}
\]

где функции $\varphi_{k}^{(4)}$ и $\psi_{k}^{(4)}$ имеют порядок не ниже четырех, так что достаточно взять
\[
\Omega_{k}=\alpha_{k}+\sum_{j=1}^{n} \beta_{k}^{j} \xi_{j} \eta_{j} .
\]

Важным условием является то, что не все $\beta_{k}^{j}$ одновременно могут быть нулевыми. Если $\beta_{k}^{j}$ окажутся именно такими, то необходимо найти приближение более высокого порядка. Если это условие нарушено в любом порядке, то система является чрезвычайно особенной. Такая ситуация может быть связана с задачей о резонансе в консервативной системе.

Очевидно, числа $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}^{j}$ являются вещественными и, более того, $\eta_{k}=\bar{\xi}_{k}$ (черта означает комплексное сопряжение). Отсюда следует, что $\eta_{k}^{\prime}=\bar{\xi}_{k}^{\prime}$, так что необходимо рассматривать
1) В действительности должно выполняться более сильное требование $\lambda_{1}^{s_{1}} \lambda_{2}^{s_{2}} \ldots \lambda_{n}^{s_{n}}
eq 1$, где $s_{j}$ – целые числа, а $\left|s_{1}\right|+\ldots+\left|s_{n}\right|=1,2, \ldots, 2 m+2$ (прим. ред.).

только соотпонения
\[
\begin{array}{l}
\xi_{k}^{\prime}=e^{i \Omega_{k}} \xi_{k}+\varphi_{k}^{(4)}(\xi, \bar{\xi}), \\
\Omega_{k}=\alpha_{k}+\sum_{j=1}^{n} \beta_{k}^{j} \bar{\xi}_{j} \bar{\xi}_{j}, \quad \lambda_{k}=e^{i \alpha_{k}} .
\end{array}
\]

С другой стороны, разложение әкспонепты пмеет вид
\[
e^{i \Omega_{k}}=\lambda_{k}\left(1+i \delta_{k}\right),
\]

где члены более высокого порядка входят в $\varphi_{k}^{(4)}$, а
\[
\delta_{k}=\sum_{j=1}^{n} \beta_{k}^{j}\left|\xi_{j}\right|^{2} .
\]

Сгедовательно, в векторной форме
\[
\begin{array}{c}
\xi^{\prime}=\Lambda \xi+\Phi^{(4)} \\
\Lambda=\operatorname{diag}\left\{\lambda_{1}\left(1+i \delta_{1}\right), \ldots, \lambda_{n}\left(1+i \delta_{n}\right)\right\} .
\end{array}
\]

IIрп $n=1$ это преобразованне удовлетворяет теореме Биркгофа о неподвижной точке. Распространение этой теоремы на случап $n>1$ не является справедливым. При числе степеней свободы $n=2$ для консервативной спстемы существуют случаи, когда теорема может быть верна. Напрпмер, когда гамильтониан периодичен по одной из переменных.

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru