Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Согласно теореме Лиувилля, поток гамильтоновой системы в фазовом пространстве сохраняет меру, т. е. сохраняется фазовый объем. Рассмотрим общую систему обыкновенных дифференциальных уравпений где $\boldsymbol{x}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), \boldsymbol{f}=\left(f_{1}, \ldots, f_{n}\right)$; Пусть фунжции $\boldsymbol{f}$ аналитичны в области $D$ пространства $R^{n}$ іг периодичны по $t$ с периодом $2 \pi$. Предположим также, что при всех $t$ функции $f$ принадлежат по крайней мере классу $C^{2}$ относптельно $t$. Если $x_{0} \in D$, то существует, и прптом единственное, решение этой системы уравнений такое, что Рассмотрим отображение которое является однозначным в окрестности точки $x=x_{0}$. Обозначим через $T^{q} q$-кратное последовательное применение отображения $T$, например, Пусть $\bar{x}=0$ — решение системы уравнений (4.1.1). Тогда, очевидно, точка $\bar{x}=0$ является неподвижной точкой отображения $T^{q}(q-$ целое положительное число), т. е. Здесь стоит упомянуть следующие определения. а) Неподвижная точка $\bar{x}$ является особой, если в $D$ существует такая ее окрестность, что в ней нет других недодвижных точек отображения $T$. Отметим, что в общем случае неподвижная точка отображения $T^{q}$ ( $q$ — целое положительное число) соответствует периодическому решению системы уравнений (4.1.1) с периодом $2 \pi q$. Если эта точка особая, то периодическое решение также особое ${ }^{1}$ ). Очевидно, понятие, введенное Уиттекером [39], является частным случаем данного определения. Здесь мы будем в основном рассматривать преобразования, сохраняющие площадь, т. е. такие, для которых в соотнопении где $J$ — матрица Якоби, а $|J|$ — якобиан имеем $|J|=1$. где функция Гамильтона является аналитической в некоторой области $D$ фазового пространства, содержащей в себе начало координат, и для всех конечных $t$ она принадлежит по крайней мере классу $C^{2}$ относительно $t$. Пусть точка $(x, y)=(0,0)$ является положением равновесия системы (4.1.5). будет соответствующим решением системы уравнений, аналитическим в $D$. Рассмотрим отображение в окрестности начала координат. Очевидно, точка $(0,0)$ является неподвижной точкой отображения $T$. Так как функции $\boldsymbol{f}$ и $\boldsymbol{g}$ являются аналитическими в окрестности точки $(0,0)$, то их можно разложить в ряды Тейлора Принимая во внимание, что $f_{0}=g_{0}=0$, и определив получаем Заданное таким образом отображение $T$ является каноническим, т. е. должно быть $|J|=1$ и, более того, матрида $J$ должна быть симшлектической (с единичной валентностью) где а $I_{n}, O_{n}$ — единичная и нулевая матрицы размерности $n \times n$. Этими же свойствами, очевидно, обладает и матрица $J_{0}$, а отображение (4.1.7) сохраняет площадь. Рассмотрим линейное отображение с собственными числами задачи, соответствующими алгебраическому уравнению степени $2 n$ относительно $\lambda$ Так как свободный член әтого уравнения равен $\left|J_{0}\right|$, то ни один пз его корней не равен нулю. Пусть $u_{k}$ — собственные векторы, соответствующие собственным числам $\lambda_{k}$, т. е. Отсюда последовательно получаем равенства так что $\lambda_{k}$ является решением такого характеристического уравнения а так как $\left|J_{0}^{\mathrm{T}}-\lambda I\right|=\left|J_{0}-\lambda I\right|=0$, то если $\lambda_{k}$ является собственным числом, тогда и $1 / \lambda_{k}$ — также собственное число. Таким образом ${ }^{1}$ ), Пусть все $\lambda_{k}$ различны между собой (они могут быть вещественны пли комплексны). Если существует линейное преобразование такое, что где To и отображение (4.1.7) можно записать в виде Так как отображение (4.1.9) является аналитическим в окрестности начала координат $\boldsymbol{Z}=0$, то можно написать где $k=1, \ldots, n$, а $p_{m}^{(k)}$ и $q_{m}^{(k)}$ — однородные полиномы степени $m$ относительно $X_{1}, \ldots, X_{n}, Y_{1}, \ldots, Y_{n}$. В векторной форме можно написать где необходимо, чтобы и, следовательно, отображение (4.1.10) сохраняет площадь. где а $P_{m}^{(k)}$ и $Q_{m}^{(k)}$ — однородные полиномы степени $m$. Разумеется, при этом мы имеем Обсуждение свойств неподвижных точек отображений вида (4.1.10), которые сохраняют площадь, имеет первостепенную важность в теории динамических систем, но выходит, к сожалению, за рамки настоящей книги. Тем не менее, в качестве введения в результаты, излагающиеся в следующих параграфах, мы хотим упомянуть некоторые факты, касающиеся свойств отображений в окрестности неподвижной точки (подробнее см. [5], [35]). и начальных условий $x=\xi € D$ при $t=0$ и при условии аналитичности функции $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ в $D$ существует, и притом единственное, репение $x=x(\xi, t)$, такое, тто $x(\xi, 0)=\xi$ и функция $x(\xi, t)$ аналитична по $t$ при $t$ из максимального интервала $0 \leqslant t<T$. Если для точки $\bar{\xi} \in D$ решение $x(\bar{\xi}, t)$ является периодическим с периодом $2 \pi$ и оно лежит в $D$, то отображение имеет негідвижную точку $\bar{\xi}$ в $D$. В общем случае для данного преобразования, определенного в некоторой области $D$, задача заключается в решении вопроса о существовании и нахождении неподвижных точек этого преобразования. Теоремы Брауэра и Пуанкаре — Биркгофа о неподвижных точках являются типичными примерами такого рода задач. Вторая теорема немедленно находит себе применение во многих задачах динамики, так как соответствующая область является типичной для инвариантных многообразий, встречающихся в динамике. В этом отношении теория возмущений имеет дело со свойствами отображений в окрестности неподвижных точек или, в более общем случае, с поведением инвариантных многообразий, соответствующих отображениям, сохраняющим площадь шри действии возмущений. В историческом отношении решающей проблемой явилась проблема нормализации отображения в окрестности неподвижной точки, решению которой посвящена оригинальная работа Биркгофа [4] и недавние исследования Густавсона $\left.[10]^{1}\right)$. при $\mu_{k}=1 / \lambda_{k}$ не может быть приведено, если рассматриваются не исключительные случаи, к нормальной форме с помощью преобразования Нормальную форму Биркгофа где с помощью преобразования (4.1.15) опять же можно получить в виде формальных рядов, в общем случае расходящихся. Тем не менее, можно найти преобразование, приводящее отображение (4.1.13) к виду, совпадающелу с нормальной формой Биркгофа до приближения любого порядка, хотя остаточные члегы и не стремятся к нулю по мере того, как порядок приближения стремится к бесконечности. Этот факт для систем с одной степенью свободы естественным образом приводит к теореме Биркгофа о неподвижной точке. Пусть теперь начало координат является неподвижной точкой (отображения) эллиптического типа и пусть отображение имеет вид (4.1.13) и сохраняет площадь. Матрица Якоби $J$ этого преобразования является симплектической, т. е. Если, в частности, рассмотреть замену переменных (4.1.15), где $k=1, \ldots, n$, то производные $\partial x_{k} / \partial \xi_{k}, \partial y_{k} / \partial \eta_{k}$ равны единице в начале координат $\xi=\eta=0$ и, следовательно, существует производящая функция $W(y, \xi)$, такая, что Функция $W$ является аналитической в окрестности точки $(y, \xi)=(0,0)$, а ряд . в этой окрестности — сходящимся. Производящая функция $W$ будет описывать любое цреобразование типа $U$ (см. (4.1.15)). При приведении к нормальной форме Биркгофа ряд для производящей функции $W$, тем не менее, в общем случае является расходящимся. В этом случае рассмотрим функцию $W^{*}$, полученную отбрасыванием в $W$ всех членов, степень которых выше $2 m+2$, т. е. функцию где суммирование по $\boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}$ производится по всем значениям $q_{i}, p_{i}$, удовлетворяющим неравенствам а по предположению в начале координат $\xi=y=0$. Следовательно, в окрестности начала координат можно написать Ряды (4.1.21), разумеется, являются сходящимися в окрестности начала координат и приводят отображение (4.1.13) к виду $T^{*}$, который совпадает с нормальной формой Биркгофа (4.1.16) с точностью до членов порядка $2 m+1$. Для получения $T^{*}$ требуется только выполнение условий $\lambda_{j}^{s} Пусть $m=2$. Так как мы считаем начало координат неподвижной точкой эллиптического типа, то $T^{*}$ имеет вид где функции $\varphi_{k}^{(4)}$ и $\psi_{k}^{(4)}$ имеют порядок не ниже четырех, так что достаточно взять Важным условием является то, что не все $\beta_{k}^{j}$ одновременно могут быть нулевыми. Если $\beta_{k}^{j}$ окажутся именно такими, то необходимо найти приближение более высокого порядка. Если это условие нарушено в любом порядке, то система является чрезвычайно особенной. Такая ситуация может быть связана с задачей о резонансе в консервативной системе. Очевидно, числа $\alpha_{k}$ и $\beta_{k}^{j}$ являются вещественными и, более того, $\eta_{k}=\bar{\xi}_{k}$ (черта означает комплексное сопряжение). Отсюда следует, что $\eta_{k}^{\prime}=\bar{\xi}_{k}^{\prime}$, так что необходимо рассматривать только соотпонения С другой стороны, разложение әкспонепты пмеет вид где члены более высокого порядка входят в $\varphi_{k}^{(4)}$, а Сгедовательно, в векторной форме IIрп $n=1$ это преобразованне удовлетворяет теореме Биркгофа о неподвижной точке. Распространение этой теоремы на случап $n>1$ не является справедливым. При числе степеней свободы $n=2$ для консервативной спстемы существуют случаи, когда теорема может быть верна. Напрпмер, когда гамильтониан периодичен по одной из переменных.
|
1 |
Оглавление
|