Линдстедт [46] показал значение развития метода теории возмущений, который дает возможность исключить секулярные и смешанные секулярные члены при исследовании возмущенных гармонических осцилляторов. Этот метод он описал различными способами, но всегда подразумевалось, что возмущающие силы должны быть четными или нечетными функциями входящих в них угловых переменных. Вскоре это ограничение было снято Пуанкаре [57-60]. В своих прославленных «Новых методах» (т. 2) [58] он развил канонический аналог метода Линдстедта, который даже на сегодняшний взгляд кажется очень общим и детально разработанным. Однако ясно, что основная идея метода Пуанкаре восходит к работам Делоне [16] и некоторым дополнениям Тиссерана [68] к теории движения Луны, развитой Делоне. В действительности можно даже вернуться ко второй теории движения Луны, разработанной Эйлером [23]. Последний, очевидно, отдавал себе отчет (и это видно при сравнении двух его лунных теорий между собой) о значении разложений частот возмущенных систем в степенные ряды по малому параметру задачи. Эти теорип оказали больше влияние на работу Пуанкаре [58]. Заслуга Цейпеля состоит, главным образом, в применении метода Пуанкаре к теории движения хорошо определенных систем, хотя систематическое выделение членов разного периода при разложениях возмущений бєзусловно является важным вкладом в теорию возмущений, особенно если учесть тот факт, что различные короткопериодические колебания малоинтересны, а наибольшее значение имеют долгоериодические или секулярные члены. Вообще методы усреднения (в том смысле, в котором они употребляются в книге Чезари [12], [13]) были весьма популярны в небесной механике, хотя и без изучения проблемы их схидимости. Возможно, это произошло из-за вполне определенных утверждений Пуанкаре о расходимости рядов Јиндстедта. Такие ряды использовались и продолжают использоваться для достаточно точного прогноза положения различных небесных тел. Крылов и Боголюбов [39], [40] дали некоторые оценки ошибок, получающихся шри отбрасывании членов выше некоторого порядка, а как следствие новых успехов в небесной механике в 60 -х годах эти оценки были улучшены Кинером [42], [43]. До некоторой степени удивительно, что в западной литературе существует огромный пробел в описании проблем, связанных с линейными и нелинейными колебаниями,-область, весьма хорошо представленная в советской литературе, особенно начиная от работ Ляпунова и до $1950-$ годов. Вся небесная механика развивалась в результате использования имевшихся к концу прошлого века достижений классического анализа, а также результатов из нелинейной теории цепей, и похоже, что механические системы для западных математиков не являются чем-то очень привлекательным. Выдающаяся работа Чезари [12] в 1940 году не сразу получила законное признание, в то время как в ней впервые содержалось доказательство сходимости метода усреднения для широкого класса задач. Интересные работы Гэмбилла [24][27] и Хейла [30] – [33] появплись болеее чем через десять лет ${ }^{1}$ ). Работы Биркгофа [3]-[5], Зигеля [64], [65] и Уинтнера [69] были больше направлены на математические аспекты качественных свойств динамических систем. Одновременное изучение Биркгофом пространственного движения в ограниченной задаче трех тел и численные эксперименты Стремгрена [66] были оденены совсем недавно и обобщены в ценной работе Себехея [67].
1) Заметим, что основные теоремы работ [12, 24-27, 30], доказанные при помощи метода сжимающих отображений, позднее были естественным путем получены В. А. Якубовичем (см., например, [22*]) только на основании теорем Ляпунова (прим. перев.).

Мультон [53] и Макмиллан [47] также должны фигурировать в списке ученых, которые получали одновременно и теоретические, II численные результаты. Аналогично Адамс и Дарвин [15]. Метод Пуассона [61] вариации интегралов движения является одним из немногих методов, использовавшихся в течение долгого времени. В современной литературе он был возрожден Кирхом [41] и в связи с разными проблемами и под разными названиями угоминается в работах Дәнби [14], а также Брауэра и Клеменса [7]. Недавно во многих работах он появился под названием Универсальных Переменных в ньютоновской задаче двух тел ${ }^{1}$ ). Использование векторного и матричного исчисления также еще встречается редко в книгах, написанных более чем через сто лет после окончательной разработки этого аппарата. Книги Зигеля [65] и Абрахама [1] показывают эволюцию классических математических представлений одних и тех же проблем в наши дни. Определение матрид Јагранжа іп Пуассона вообще трудно найти где-нибудь, и приходится ссылаться на работы по квантовой механике и теории поля. Доказательство условий симплектичности для канонических преобразований весьма упрощается при использовании матричных обозначений. Связь между анализом нелинейных цепей, методами нелинейной механики и классическими методами усреднения в небесной механике вполне отчетливо показана в работе Чезари [13]. Эквивалентность метода Крылова – Боголюбова – Митропольского и метода Цейпеля вцервые показана в работе Бурштейна и Соловьева [9]. Усилия по созданию наилучшей теории движения искусственных спутников до некоторой степени инициировали появление новых исследований по аналитической и геометрической теориям. После 1960 года стало ясно, что появились два встречных потока исследований в теории нелинейных колебаний и в небесной механике. Ключевые работы в этой области выполнили Мозер [54] – [56], Хейл [30] – [33] и Дилиберто [18] – [21], а в Советском СоюзеКолмогоров [38], Арнольд [2] ц Мерман [48]. Важный шаг в сторону (и вперед) от работ Пуанкаре и Биркгофа был сделан Хори [34], который использовал канонические отображения Ли. Всего за год до этого ряды Ли использовались в работе Лейманиса [44], посвященной изучению движения твердого тела, однако без попыток применения методов теории возмущений. Распространение этих результатов на неканонические системы было осуществлено в докладе Хори [35] и независимо в работе Кәмела [37]. Однако такое обобщение является несущественным, так как любую систему можно записать в гамильтоновой форме, на что впервые указал Дирак [22]. Этот факт был хорошо известен исследователям по теории оптимизации и теории управления, хо-
1) Об Универсальных Переменных см., например, [3*] (прим. перев.).

тя большинство прикладных математиков, работавших в затронутых в настоящей книге областях, ничего об этом не знали. Ранними работами в этой области, насколько нам известно, являются работы Минера, Тэпли и Пауэрса [52]. Наконец, операции с формальными рядами, как с обычными сходящимися, обосновываются, например, в работе Картана [11]. По-видимому, это не первая работа, но одна из лучших.