Рассмотрим аналитический (в некоторой области) и 2л-периодический по каждой компоненте вектора гамильтониан
При условно-периодические решения
лежат на торе , и поток является эргодическим. Вдоль каждого решения системы уравнений, соответствующих гамильтониану (4.4.1), мы имеем
Предположим, что . Тогда мы можем решить ураввение относительно и найти
Обозначая и искіютая из уравнений время , пмеем
іде
Если функция анатитича, то функция также будет аналитична. Опять нзучение решений системы (4.4.4) может быть сведено к изучению определяемого системой (4.4.4) отображения плоскости в плоскость . Действительно, пусть в плоскости выбраны начальные условия ). Решение уравиений (4.4.4), проходящее через тову при , будет иметь вид
и, следовательно,
С другой стороны,
так тто при
Полюжив , получаем ( )
и при
где переменные берутся из кольца . Ясно, что функции и зависят от и должны стремиться к нулю при .Так как система уравнений (4.4.4) является гамильтоновой, то отображение сохраняет пжощадь. Если существует первый интеграл системы (4.4.4), то он является инвариантным по отношению к отображению . Более того, периодические решения периода , где — целое число, должны быть таковы, что
т. е. точка является неподвижной точкой отображения .
На геометрическом языке теорема Колмогорова теперь может быть сформулирована в следующем виде. Мы хотим определить, при’каких условиях отображение имеет инвариантные множества, близкие к инвариантным множествам (торам) отображения .
Рассмотрим , определенное в кольце ( , при условии
Торы , являющиеся прямым произведением окружностей const, инвариантны относительно отображения . Рассмотрим теперь отображение , где и — ограниченные и -периодические по функции. Предположим, что каждое замкнутое ограниченное множество, близкое к и представленное в виде
пересекается со своим образом при отображении , где функции удовлетворяют некоторым условиям ограниченности. При сделанных предположениях теперь можно показать, что отображение имеет ограниченные замкнутые инвариантные множества при достаточно малых значениях функций и и при условии, что эти функции являются некоторое число раз дифференцируемыми.
Здесь мы только дадим схему доказательства этой основнсй теоремы, начав изложение с некоторых важных лемм. При детальное доказательство было дано Мозером [26].
Tеорема. Для данных и цельх отображение имеет ограниченное замкнутое инвариантное множество
го́е и -мерные векторы, периодические по каждой компоненте вектора , принадлежащие классу и при , удовлетворяющи условиям:
a) юаждое замкнутое множество и его образ при отображении , определяемом формулами (4.4.10), имеет хотя бы одну общую точку;
б) в польце можно найти такое что
Тогда можно найти такую функцию и целое число , что и
Более того, отображение, индуцируемое множеством (4.4.11), имеет вид
Точнее, для данного , удовлетєоряющего условиям
при всех одновременно не равных нулю целых числах существуют инвариантные множества (4.4.11) с (коэффициент кручения).
В теореме использовано обозначение
где , а — область определения функция .
Сначала можно доказать такое вспомогательное утверждение. Л емм а. Данное отображение
определенное в кольце , где -периодические по каждой компоненте вектора у фџнкции,
a)
б)
əде
nри ,
B)
r)
Это приведение можно осуществить с помощью итерационной шроцедуры, очень похожей на процедуру, использованную при доказательстве теоремы Колмогорова. Однако в данном случае итерации сходятся таким образом, тто отклонение от уменьшается вместе с , где — номер итерации, а может быть взято равным .
Действительно, пусть три параметра удовлетворяют соотношениям
при
Параметры , получающиеся при итерации номера
, связаны с соотношениями
при условии, что на каждом шаге
при .
При соотношение (4.4.20) совпадает с (4.4.17) при достаточно малых . Более того, беря и , мы, разумеется, имеем . Аналогичным образом соотзошение (4.4.21) при совпадает с (4.4.18). Действительно, из (4.4.18) следует, что
так жак . Таким образом, в силу того, что
получаем
так как . Следовательно, при мы должны взять иा , т. е. , и в конце кондов можно взять «много меньшим, чем» выписанные выше величины.
Теперь мы подходим к доказательству основной леммы, которая нуждается в упоминании двух хорошо пзвестных утверждений.
A) Рассмотрим разностное уравнение
где п — периодические функции периода по каждой компонеите вектора и они имеют нулевое среднее. Пусть вектор удовлетворяет неравенствам
где — пелое число. Тогда, если функция имеет непрерывных производных по лаждой компоненге , то уравнение (4.4.22) имеет пепрерывное решение, такое, тто
где — произвольная постоянная, которая не зависит ии от идного из параметров. Более того, можно взять . Дейетвительно, используя для фуикции разложение в ряд Фурье
получаем решение в виде.
где . Так как функция имеет т непрерывных производных по каздой компоненте , то
где . С цругой стороны,
для достаточно малых , и, следовательно,
и ряд (4.4.25) является абсолютно сходящимся. Для того. чтобы показать справедливость оценки (4.4.24), достаточно взять
Как следствие отсюда получаем, что если является -периодической фуниций по и имеет нулевое среднее, то, как и раныше, можно репить разностное уравнение
и получить
Б) Мы можем определить действие операции сә.иаживания (см. ) на фунгцию переменных. В некотором специальном смысле в результате этой операции функции будут аппроксимироваться функциями , которые имеют более гладкое поведение, чем . В основном эта операция сводится к интерполяции производных фушции , которая оставляет инвариантными (точно интерполирует) полиномы пекоторой стешени.
Пусть — непрерывная фуннция в области
шри . Степеиь апшоксимации по отношению к двум векторным переменным и может быть различной (в действительности она может быть различной дэя каждой из переменных) и она определяется двумя параметрами и . Сглаживающая функция определяется в менщей области
и предиолагается, что . Эта фушкця определяется формулой
берется так, ттобы
где , и удовлетворяет условиям
и
где и — фиксированиые числа. Таким образом, функция зависит от , которое выбирается так, ттобы удовлетворялись условия (4.4.13).
Условие (4.4.28) показывает, что равно нулю при и . Следовательо, интервал интегрирования в (4.4.29) можно ограничить интервалом, содержащнмся в , так как . Отсюда функцию (4.4.27) можно записать через новые переменые , , пмеющие очевидный смысл, так:
Накопец, условие (4.4.29) показывает, что полиномы степени не выше остаются инвариантными цри операции сглаживания, т. е.
Теперь, если функция непрерывна в кольце , то при легко проверить, что
для всех целых , а постоянная зависит от ядра п чисел . Аналогичным образом, если , то при справедливы неравенства
Эти утверждения можно получить, если заметить, что из (4.4.27) следуют неравенства
которые и доказывают (4.4.31). Далее, мы разложим фуніцию в ряд Тейлора в окрестности точки до членов порядка, меньшего , с какими-то остаточными членами. Так как сохраняет полиномы степени ниже , то только остаточные члены этого ряда дадут вклад в разложение . Эти остаточные члены могут быть оденены с помощью неравенств )
где
Следовательно, из (4.4.30) мы получаем
где и
что и доказывает неравенства (4.4.32).
Замечание. Дэя при мы имеем
п, выбирая , отсюда, следовательно, полутаем
п, аналогичным образом,
Можно также показать, что функция , обладающая упомянутыми свойствами, действительно существует (см. [26]).
Теперь мы переходим к рассмотрению итерационной процедуры в процессе приведения отображения к линейному виду отображения кручения Мозера.
Лемма. Рассмотрим отображение
при , удовлетворяющее уже упомянутым выше условиям
и такое, что каждая заикнутая эграниченная регулярная повер ность, близкая поверхности const , и ее образ имеют хотя бы одну общую точку. Тогда для достаточно мальих существует преобразование
такое, что
а отображение приводитсл виду
где
при , и, более того,
при .
Действительно, пз выписанных выше соотношений следует
или
Теперь линеаризуем уравнения, которые получаются из соотношений при условии, что величины и имеют одинаковый порядок малости, т. е. являются величинами порядка . Будем пренебрегать членами порядка, равного или большего, чем . В результате находим
Второе из этих уравнений можно решить в соответствия с предыдущей леммой, если только функция имеет нулевое среднее относительно . В люобом случае к функциям и надо применить операцюю сглаживания для того, чтобы восполнить «потерю» необходимого количества производных.
Определим функции как решение системы уравнений
где , черта означает среднее по отношению к , а — определенный ранее оператор сглаживания.
Усреднение второго из этих уравнений дает
так что из первого уравнения находим
где оператор определяется формулой (4.4.22). Из второго уравнения (4.4.43) следует, что
Уравнения (4.4.44) и (4.4.45) определяют функции в кольце
Остается проверить только соотношения (4.4.37), (4.4.39) и .
a) Используя (4.4.33) и (4.4.34) и рассматривая (4.4.20), находим
и аналогичным образом
Так как мы приняли , то п , что и совпадает с доказываемым выражением (4.4.37). Отсюда также следует, что определены в кольде
при условии
и здесь выполнено неравенство (4.4.46). По теореме о неявной функции образ области при отображении (4.4.36) будет покрывать по крайней мере кольцо , и, следовательно, обратное преобразование определено (и притом едивственным образом) в кольце , и в нем оно будет непрерывно дифференцируемым при достаточно большом . Отсюда следует, что отображение (4.4.38) определено и дифференцируемо в кольце , так как преобразование (4.4.36) переводит эту область в
а отображение (4.4.35) — в
где отображение (4.4.38) определено единственным образом.
б) Оценка величин в области нуждается в предположении, что каждая замкнутая поверхнөсть, близкая к инвариантному многообразию const , т. е. , имеет образ
который пересекается с и, следовательно, это эквивалентно предположению о существовании хотя бы одного нуля функции относительно . Следовательно,
где — соответствующим образом подобранные функции от . Мы будем брать
Из (4.4.41) имеем
а используя (4.4.43), (4.4.47), находим
где нормы всех членов, зависящих от , определяются при условии, что эти функции определены в кольце
Аналогичным образом, вычитая первое уравнение (4.4.42) из второго уравнения (4.4.41), находим
Складывая эти две последние оценки и рассматривая уже установленные условия
вместе с предположениями (4.4.21), т. е. с неравенствами
где , находим
С другой стороны,
при достаточно больших п
Кроме того, так как , то мы имеем
Из (4.4.48) тогда получаем
что и доказывает неравенство (4.4.39).
в) Для доказательства последней части леммы введем величины
Тогда отображение (4.4.35) можно записать в виде
Из (4.4.21) следует, что
С другой стороны,
при . Следовательно, фунғции п определены для всех вещественных и нз области
и они меньше единицы, так же как и их производные до порядка . Из теоремы о среднем, примененной последовательно к каждой из этих производных до этого порядка, следует, что
где константа зависит только от . Следовательно, отображение из (4.4.49) таково, что справедливо неравенство
которое мы перешишем в виде .
Для преобразования переменных (4.4.36), записанного в виде
при мы аналогично находим
Теперь из теоремы о неявной функции следует существование обратного преобразования, все производные которого до порядка ограничены константами, не зависящими от и в кольце . Следовательно,
и отображение имеет в качестве компонент функции, производные которых до порядка ограничены константой , не зависящей от и . Следовательно,
при в кольце при условии , что и доказывает неравенство (4.4.40).
Теперь утверждение первой леммы настоящего параграфа сразу же получается из только что доказанной леммы.
Действительно, определим
при , а также определим
Здесь для . Вторая лемма устанавливает существование преобразования
которое переводит в при , откуда формально получаем . Повторяя начатую продедуру приведения отображения , определенную в любом меньшем кольце, находим
где . Если считать коодинатами, отнесенными ₹ отображению , то оно будет определено в кольце
Из второй леммы следует, что преобразование координат шага номер в координаты шага номер удовлетворяет неравенству
где — тождественное преобразование. Следовательно, на торах отображение сходится к отображению , которое представляет собой «поворот» .
Связь между координатами отображения и координатами отображения , как следует из (4.4.50), определяется соотношениями
Преобразовавие определено в кольце и отображает его в меньшее кольцо . Если записать в виде
то будет достаточно показать, что функции (и их производные) равномерно сходятся к функциям и . Если это так, то инвариантное многообразие из теоремы в начале настоящего параграфа (для спедиального случая п ) в точности равно
В этом легко убедиться, если сначала заметить, что
а для достаточно больших последний член может быть сделан меньше . Для доказательства сходимости производных от рассмотрим матрицу Якоби преобразования . Так как
то отсюда следует, что
Максимальная абсолютная величина этой матрицы, т. е. , согласно (4.4.52), при определяется формулой
Матрица Якоби преобразования теперь, очевидно, будет равна произведению матриц , т. е. .
Также очевидно; что сходимость производных от әквивалентна сходимости произведения . Но матрица мажорируется матрицей
Следовательно, достаточно показать сходимость произведения
Это произведение, будучи коммутативным, меньше (или равно) произведения
которое, очевидно, является сходящимся. Также имеем
Выбором достаточно большого можно сделать и, следовательно, при , как и утверждается в теореме.
Для завершения доказательства теоремы осталось снять ограничение . Для этого достаточно ввести замену переменных и опять доказать, что теорема следует из второй леммы настоящего параграфа. Действительно, пусть отображенпе
определено прп . Пусть
Тогда отображение принимает вид
так как преобразование однозначно и имеет ограниченных производных. Кроме того,
п, следовательно, условия (4.4.17) и (4.4.18) удовлетворяются при соответствующем выборе постоянной . Кольцо, в котором определено отображение , содержится в кольце шириной , т. е. при , что следует из (4.4.53).
Доказательство теоремы для проводится аналогичным образом с помощью вывода новых соответствующих соотношений между параметрами (см., например, [26,28]).
Важно отметить следующее.
I) Теорема Мозера эквивалентна (в смысле утверждений теорем) теореме Колмогорова, но не требует аналитичности гамильтониана (в случае аналитичности отображения ). Требуется только существование производных до некоторого порядка. Это стало возможно в результате применения соответствующим функциям ошерации сглаживания.
II) Появление малых делителей в рядах типа ехр контролируется оценками вида (4.4.23). Ғлассические результаты в теории диофантовых приближений показывают, что при всех целых такой оценке не будет удовлетворять только множество значений, мера которого по сравнению с мерой единичного куба равна и стремится к нулю вместе с . Возможные малые значения таких знаменателей компенсируются тем, что сходимость приближений к отображению имеет такую же скорость, что и у последовательности .
III) Условие невырожденности, фигурирующее в теореме Мозера, как уже упоминалось выше, совпадает с условием Арнольда п является менее жестким, чем условие Колмогорова ).
Действительно, так как
то условие (4.4.16) можно переписать в виде
что является обобщенным условием иррациональности Зигеля. Условие
после использования определения
п соотношений
приводит к обобщению условия (4.3.11), т. е.
1) См. примечание в конце параграфа (прим. перев.).
Также очевидно, что если п если обычно условие невырожденности, фигурирующее в теореме Колмогорова, выполнено, то и (4.4.54) выполнено ). Обратное не всегда верно.