До сих пор мы рассматривали задачи с одной степенью свободы. В действительности в общем случае спстема с $m$ рационально независимыми друг от друга резонансными соотношениями между частотами может быть сведена к системе с $m$ степенями свободы. Если $m>1$, то полное рассмотрение этой задачи маловероятно. Общепризнано, что очень мало известно о системах с двумя степенями свободы и, как упоминалось выше, интерпретация критических точек является крайне громоздкой. Однако в самом общем виде проблему можно сформулировать следующим образом.
Опять рассмотрим систему уравнений с гамильтонианом
$$H(x,y)=H_0(x)+H_1(x,y)+\dots ,$$

где при $k⩾1$
$$H_k=\sum _p{A}_k^p(x)\exp \left(i{p}^{\mathrm{T}}y\right),$$

а число членов в каждой функции $H_k$ предполагается конечным. Как обычно, предположим, что функция $H$ аналитична при $\mathit{x}\in D$, где $D$ — некоторое $n$-мерное дифференцируемое многообразие. Ряд (5.8.1) предполагается равномерно сходящимся как стешенной ряд по «малому параметру» $\epsilon$, который всегда служит для ушрощения выкладок, хотя в некоторых примерах можно показать справедливость (сходимость) формальных рядов, строящихся при $0<\epsilon <{\epsilon }_0$, где ${\epsilon }_0$ достаточно мало. Мы будем считать систему с гамильтонианом (5.8.1) неприводимой в том смысле, что все угловые переменные описывают медленное движение. Bсе быстрые переменные системы предполагаются исключенными тем или иным способом (см. главу II). Предположение о нелинейности резонанса теперь соответствует рассмотрению особых точек системы уравнений
$$\dot{x}=-H_{y_2}^{\mathrm{T}},\dot{y}=H_x^{\mathrm{T}},$$
т. е. решений $\mathit{x}={\mathit{x}}^0,\mathit{y}={\mathit{y}}^0$ уравнений $H_{\mathit{x}}=0,H_{\mathit{y}}=0$. Решения такого типа являются «центрами» «характеристический многочлен системы уравнений в первых вариациях имеет только тисто мнимые корни) или «седлами» (характеристический многочлен имеет по крайней мере одну пару корней с ненулевой вещественной частью; один из корней этой пары имеет отрицательную вещественную часть, а другой должен иметь положительную). Как хорошо известно, «центры» не обязательно являются устойчивыми точками. «Седла», разумеется, неустойчивы. Однако для консервативных систем недавно было доказано, что теорема, обратная теореме Лагранжа — Дирихле, справедлива при достаточно общих условиях (см. [39]), т. е. если гамильтониан $H$ не зависит от времени, то его аналитичности более чем достаточно для обеспечения устойчивости точки минимума потенциала и неустойчивости точки максимума ${}^1$ ).

Приближение к нелинейным условиям резонанса, очевидно, дается уравнениями
$$x=x^0=\text{ const },y=H_{0x^0}^{\mathrm{T}}t+y^0,$$

где для данного $\mu >0$ мы предположим, что существует такое $\epsilon >0$, что ${\Vert \partial H_0/\partial x_k\Vert }_{x=x^0}=O\left({\epsilon }^{1/2}\right)$ при $\Vert \mathit{x}-x^0\Vert ⩽\mu$. Определитель, составленный из вторых производных, предполагается невырожденным и отделимым снизу от нуля величиной $O(1)$, т. е. не уничтожающимся вместе с $\epsilon$ и не зависящим от $\epsilon$.

Разложив функцию Гамильтона в $n$-мерный ряд Тейлора вблизи некоторой точки $x_0$, мы получим главную часть функции $H$ в виде
$$F(\mathit{\delta },\mathit{y})={\mathit{a}}^{\mathrm{T}}\mathit{\delta }+{\mathit{\delta }}^{\mathrm{x}}A\mathit{\delta }+H_1(x_0,\mathit{y}),$$

где
$$\begin{array}{c}\mathit{a}={\frac{\partial H_0}{\partial \mathit{x}}|}_{x=x_0},\delta =\mathit{x}-x_0,A={\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x^2}|}_{x=x_0},\\ H_1(x_0,\mathit{y})=\sum _{\mathit{p}}{A}_1^p\left(x_0\right)\exp \left(i{p}^{\mathrm{T}}\mathit{y}\right).\end{array}$$

Можно показать, что существует формальное каноническое преобразование, которое приводит гамильтониан общей задачи к виду, аналогичному виду гамильтониана главной задачи (5.8.3). Эта процедура очень похожа на процедуру приведения, уже описанную для одномерного случая. Мы опять будем считать
$$\Vert \delta \Vert =O\left({\epsilon }^{1/2}\right),\Vert a\Vert =O\left({\epsilon }^{1/2}\right),\left|H_1\right|=O(\epsilon ).$$
1) Под теоремой, обратной к теореме Лагранжа — Дирихле, обычно подразумевают такое утверждение: для устойчивости положения равновесия консервативной системы необходимо, чтобы ее потенциальная энергия имела в этом положении равновесия строгий изолированный минимум по всем координатам. Это утверждение до сих пор не доказано даже для аналитических систем, хотя последние результаты Четаева [32*] и недавние результаты Коитера [33*] дают довольно хорошее приближение к решению этой проблемы. В упомянутой работе Хагедорна [39]доказана лишь неустойчивость точки макспмума потенциальной энергии консервативной системы, а также рассмотрено аналогичное «обращение\» теоремы Раусса для непотенциальных систем. Относительно устойчивости точки минимума потөнциальной энергии в [39] лишь приведен пример неаналитической системы (неустойчивой), указаны ошнбки некоторых авторов (например, в [53]) при доказательстве этого утверждения, а таюже высказана та же гипотеза, что и в данной книге (прим. перев.).

Далее, очевидно, что матрица $A$ симметрична п, следовательно, соответствующим преобразованием ее можно привести к диагональному виду. Но такое преобразование привело бы к появлению нецелых коэффициентов в функции $H_1$, выраженной в новых угловых переменных и, следовательно, оно не очень удобно. Как и в большинстве случаев ранее, предположим, что главный член в $H_1$ соответствует единственной комбинации угловых переменных $y_k(k=1,\dots ,n)$, и пусть эта комбинация записана так:
$$z={\overline{p}}_1{y}_1+\dots +{\overline{p}}_n{y}_n.$$

Уравнения движения, соответствующие гамильтониану (5.8.3), имеют вид
$$\begin{array}{c}{\dot{\mathit{\delta }}}_k=-\frac{\partial F}{\partial y_k}=-i\overline{A_1^{\ast }}{\overline{p}}_k\exp \left(i{\bar{\mathit{p}}}^{\mathrm{T}}\mathit{y}\right)+i{\left(A_1^{\bar{\mathit{p}}}\right)}^{\ast }{\overline{p}}_k\exp (-i{\mathit{p}}^{\mathrm{T}}\mathit{y}),\\ \dot{y_k}=\frac{\partial F}{\partial {\delta }_k}=a_k+2\sum _{j=1}^n{A}_{kj}{\delta }_j,\end{array}$$

где * означает комплексное сопряжение. Отсюда следует, что
$$\begin{array}{l}\ddot{z}=[-2i{A}_1^{\overline{p}}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n{A}_{kj}{\overline{p}}_j{\overline{p}}_k]\exp (iz)+\\ +\left[2i{\left(A_1^{\overline{p}}\right)}^{\ast }\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n{A}_{kj}{\overline{p}}_j{\overline{p}}_k\right]\exp (-iz)\end{array}$$

или
$$\ddot{z}=\omega e^{i_2}+\omega \ast e^{-iz},$$

где $z$-вещественная переменная, а $\omega$ — комплексная величина, определяемая формулой
$$\omega =-2i{A}_1^{\overline{p}}\sum _{j=1}^n\sum _{k=1}^n{A}_{kj}{\overline{p}}_j{\overline{p}}_k.$$

Действительно, мы можем гаписать уравнение (5.8.6) в вещественной форме
$$\ddot{z}={\omega }_1\cos z-{\omega }_2\sin z,$$

где
$${\omega }_1=2\mathrm{Re}\omega ,{\omega }_2=2\mathrm{Im}\omega .$$

Решением уравнения (5.8.7) является эліптический интеграл первого рода, легко приводимый к нормальной форме заменой
$$\zeta =z+\alpha ,\sin \alpha =\frac{{\omega }_1}{\sqrt{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2}},\cos \alpha =-\frac{{\omega }_2}{\sqrt{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2}},$$

так что при $m=\sqrt{{\omega }_1^2+{\omega }_2^2}$ пмеем уравнение
$$\stackrel{⃛}{\zeta }=m\sin \zeta ,$$

которое опять является уравнением простого маятника. Следовательно, поведение переменной $\zeta$ уже рассматривалось и «главный аргумент» $z$ может описывать колебания, вращения или асимптотическое движение.

Теперь легко полностью проинтегрировать уравнения (5.8.4) и (5.8.5), если сначала получить ${\delta }_k$ из (5.8.4) с помощью простых квадратур, так как теперь
$${\dot{\delta }}_k=i{p}_k[-A_1^{\overline{p}}{e}^{iz}+{\left(A_1^{\overline{p}}\right)}^{\ast }{e}^{-iz}].$$

После этого из уравнений (5.8.5) получаем каждый угол $y_k$ опять в виде простой квадратуры.

Ясно, что рассмотренный выше случай в действительности эквивалентен одномерному случаю.

Задачу также можно решить аналогичным способом, если главная часть функции $H_1$ зависит от угла $z={\overline{p}}_1{y}_1+\dots +{\overline{p}}_n{y}_n$ и конечного числа целых кратностей величины $z$, хотя в этом случае уравнение для $z$ может привести к вычислению гиперэллиптических интегралов, так как $\ddot{\zeta }=m_1\sin \zeta +\dots +m_p\sin p\xi$.

Когда имеется несколько линейно независимых комбинаций $z_1,\dots ,z_p$, то решить задачу известными методами удается только, если возможно определить непересекающиеся области, в каждой из которых каждая переменная $z_k$ соответствует главному члену. Полное решение в этом случае может быть получено объединением решений, локально справедливых в каждой из упомянутых областей. Одним из наиболее әффективных методов является процедура разложения по многим переменным, справедливая асимптотически в упомянутых областях. Такой метод для случая $p=2$ был развит в работе [50], а позже в работе [18]. Здесь мы не будем останавливаться на таких процедурах.

Когда имеется $p$ угловых комбинаций, система, которую надо решить, имеет вид
$${\ddot{z}}_k=\sum _{j=1}^p(A_{kj}\cos z_j+B_{kj}\sin z_j)$$

или
$${\ddot{\zeta }}_k=\sum _{j=1}^p{m}_{kJ}\sin {\zeta }_j(k=1,\dots ,p).$$

В случае малых колебаний в окрестности точки ${\zeta }_j=0$ эта система является линейной, и решение находится сразу же. В противном случае система уравнений (5.8.9) далеко не тривиальна. Аналогично можно сказать, что если все углы $y_k$ описывают колебания около некоторого положения равновесия, то при малых колебаниях решение может быть проаппроксимировано любым желаемым образом. Но если хотя бы один угол $y_k$ описывает вращения, то решение получить не так просто. Эти же утверждения можно сделать и относительно переменных $\xi$.

В качестве примера рассмотрим случай $p=2$, так что можно написать (функция $F$ предполагается четной относительно $y_1,y_2$ )
$$\begin{array}{rl}F=a_1{\delta }_1& +a_2{\delta }_2+a_{11}{\delta }_1^2+2a_{12}{\delta }_1{\delta }_2+a_{22}{\delta }_2^2+\\ & +A_1^{\alpha \beta }\cos (\alpha y_1+\beta y_2)+A_1^{pq}\cos (p{y}_1+q{y}_2).\end{array}$$

В этом случае мы находим
$$\begin{array}{l}{\ddot{z}}_1=-k_{11}\sin z_1-k_{12}\sin z_2,\\ \ddot{z_2}=-k_{21}\sin z_1-k_{22}\sin z_2,\end{array}$$

где
$$\begin{array}{l}{z}_1=\alpha y_1+\beta y_2,z_2=p{y}_1+q{y}_2,\\ k_{11}={\tilde{k}}_{11}{A}_1^{\alpha \beta },k_{12}={\tilde{k}}_{12}{A}_1^{pq},\\ k_{21}={\tilde{k}}_{12}{A}_1^{\alpha \beta },k_{22}={\tilde{k}}_{22}{A}_1^{pq}\end{array}$$

и
$$\begin{array}{rl}\widetilde{k_{11}}& =2({\alpha }^2{a}_{11}+2\alpha \beta a_{12}+{\beta }^2{a}_{22}),\\ {\tilde{k}}_{12}& =2(\alpha p{a}_{11}+\beta q{a}_{12}+\alpha q{a}_{12}+\beta p{a}_{22}),\\ {\tilde{k}}_{22}& =2(p^2{a}_{11}+2pq{a}_{12}+q^2{a}_{22}).\end{array}$$

Преобразование
$$\sin \frac{z_1}{2}=k_1\mathrm{sn}(u_1,k_1),\sin \frac{z_2}{2}=k_2\mathrm{sn}(u_2,k_2)$$

приводит уравнения к виду
$$\begin{array}{l}\frac{d}{dt}\left[({\dot{u}}_1^2-k_{11}){\mathrm{cn}}^2{u}_1\right]={\alpha }_1\mathrm{cn}{u}_1\mathrm{sn}{u}_2\mathrm{dn}{u}_2{\dot{u}}_1,\\ \frac{d}{dt}\left[({\dot{u}}_2^2-k_{22}){\mathrm{cn}}^2{u}_2\right]={\alpha }_2\mathrm{cn}{u}_2\mathrm{sn}{u}_1\mathrm{dn}{u}_1{\dot{u}}_2,\end{array}$$

где
$${\alpha }_1=-2k_{12}\frac{k_2}{k_1},{\alpha }_2=-2k_{21}\frac{k_1}{k_2}.$$

Система распадается, если ${\alpha }_1={\alpha }_2=0$, т. е. для этого необходимо и достаточно, чтобы
$$\alpha p{a}_{11}+(\beta p+\alpha q)a_{12}+\beta q{a}_{22}=0,$$

и в этом случае решение уравнений (5.8.12) получается немедленно. Одним из возможных случаев является случай
$$a_{11}=a_{12}=a_{22}=0,$$

но тогда мы имеем дело не со случаем резонанса. Другим интегрируемым случаем, разумеется, является случай, когда
$$k_{11}{k}_{22}-k_{12}{k}_{21}=0$$

и в этом случае величины $z_1$ и $z_2$ таковы, что одна из них является целой кратностью другой, и мы опять возвращаемся к одномерному случаю.

Другое частное решение можно получить, если $k_1=k_2$, т. е. функции $z_1$ и $z_2$ являются периодическими функциям времени $t$ и имеют одинаковый период. Действительно, легко проверить, что если $k_{11}+k_{12}=k_{22}+k_{21}$, то мы имеем частное решение ${\dot{u}}_1={\dot{u}}_2$, так что $z_1$ и $z_2$ являются просто сдвинутыми по фазе друг относительно друга периодическими функциями с одинаковым периодом.

Однако в общем случае $z_1$ п $z_2$ (их вещественные части) будут условно-периодическими функциями времени $t$, и в конечном счете можно получить их непериодические әкспоненциальные ряды Фурье, если в исходной систєме (5.8.11) положить
$$\sin \frac{z_j}{2}=\sum _k\sum _l{a}_j^{kl}\exp \left[i(k{\omega }_{1}t+l{\omega }_{2}t)\right]$$

где, разумеется, ${\omega }_1$ п ${\omega }_2$ — неизвестные частоты. Ясно, что так как при $k_{12}=0$ имеем
$$\sin \frac{z_1}{2}=k_1\mathrm{sn}(u_1,k_1)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_1^k\left(k_1\right)\sin [(2k+1)\frac{\pi u_1}{2K\left(k_1\right)}],$$

где $u_1=\sqrt{k_{11}}t+u_{10}$, а при $k_{21}=0$ аналогично имеем
$$\sin \frac{z_2}{2}=k_2\mathrm{sn}(u_2,k_2)=\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_2^l\left(k_2\right)\sin [(2l+1)\frac{\pi u_2}{2K\left(k_2\right)}],$$

где $u_2=\sqrt{k_{22}}t+u_{20}$ п в этих выражениях мотули $k_1$ и $k_2$ завпсят от начальных условий, то легко получить члены нулевого порядка в разложениях ${\omega }_1$ и ${\omega }_2$, записав их через $k_{11},k_{22},k_1,k_2$, а члены более высокого порядка находятся по рекуррентным формулам. Такая процедура типична для случаев, когда система «слабо завязана», т. е. $\left|k_{12}\right|,\left|k_{21}\right|\ll \left|k_{11}\right|,\left|k_{22}\right|$. Совершенно ясно надо осознавать, что сложность проблемы, описанная выше, связана только с главной задачей, решение которой служит основой для получения решений высших порядков или, в случае подхода, основанного на рядах Ли, для определения решения дополнительной системы. В обоих случаях главная задача настолько сложна, что есть только небольшая надежда на получение каких-нибудь дальнейших приближений.

Если за точку, около которой производится разложение, принять центр, то при $p=2$ метод Цейпеля, примененный к описанной выше задаче, приводит к уравнению
$$\begin{array}{rl}{a}_1{\left(S_{1/2}\right)}_{y_1}+& a_2{\left(S_{1/2}\right)}_{y_2}+a_{11}{\left[{\left(S_{1/2}\right)}_{y_1}\right]}^2+\\ & +2a_{12}{\left(S_{1/2}\right)}_{y_1}{\left(S_{1/2}\right)}_{y_2}+a_{22}{\left[{\left(S_{1/2}\right)}_{y_2}\right]}^2+\\ & +A_1^{\alpha \beta }\cos (\alpha y_1+\beta y_2)+A_1^{pq}\cos (p{y}_1+q{y}_2)=K_1({\delta }_1^{\prime },{\delta }_2^{\prime }),\end{array}$$

где $S_{1/2}$ — приближение первого порядка (т. е. члеп порядка $O\left({\epsilon }^{1/2}\right)$ ) в производящей функции канонического преобразования $({\delta }_1,{\delta }_2,y_1,y_2)\to ({\delta }_1^{\prime },{\delta }_2^{\prime },y_1^{\prime },y_2^{\prime })$. Разумеется, при этом мы пичего не приобретаем, потому что малопонятно, как решать уравнение в частных производных (5.8.16). Кроме того, утерян принцип получения функции $K_1({\delta }_1^{\prime },{\delta }_2^{\prime })$, т. е. членов порядка $O(\epsilon )$ в новой функции Гамильтона. Решение будет тривиальным для общего (нерезонансного) случая $a_{11}=a_{12}=a_{22}=0$ или, точнее говоря, когда
$$S=\text{ тождественная часть }+\mathrm{\Delta }S,$$

где за $\mathrm{\Delta }S$ можно взять функцию порядка $O(\epsilon )$. Нспользуя ранее введенные величины $z_1$ и $z_2$, уравнение (5.8.16) перепишем в виде
$$\begin{array}{l}(\alpha a_1+\beta a_2){\left(S_{1/2}\right)}_{z_1}+(p{a}_1+q{a}_2){\left(S_{1/2}\right)}_{z_2}+\\ +\frac{1}{2}{\tilde{k}}_{11}{\left[{\left(S_{1/2}\right)}_{z_1}\right]}^2+{\tilde{k}}_{12}{\left(S_{1/2}\right)}_{z_1}{\left(S_{1/2}\right)}_{z_2}+\frac{1}{2}{\tilde{k}}_{22}{\left[{\left(S_{1/2}\right)}_{z_2}\right]}^2+\\ +A_1^{\alpha \beta }\cos z_1+A_1^{pq}\cos z_2=K_1.\end{array}$$

Это уравнение при ${\tilde{k}}_{12}=0$ опять имеет простое решение в эллиптических функциях Якоби, в то время как в общем случае оно не проще исходного.

Вероятно, будет полезно отметить, что иногда возможно выбрать такую исходную точіу, что
$$\alpha p{a}_{11}+(\beta p+\alpha q)a_{12}+\beta q{a}_{22}=0,$$

где величины $a_{11},a_{12},a_{22}$ не обязательно равны нулю. Действительно, целые числа $\alpha ,\beta ,p,q$ заданы, но так как
$${a_{ij}\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_i\partial x_j}|}_{\begin{array}{c}{x}_1=x_1\\ x_2=x_{\mathbf{2}}\end{array}},$$

тө может случиться, что специальным выбором величин $x_{10},x_{20}$ удастся «развязать» систему. Для того чтобы это было можно сделать, функция $H_0$ должна принадлежать к классу функций $f$, удовлетворяющих уравнению ( $p=2$ )
$$k\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+2l\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}+m\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=0,$$

где $k,l,m$ — заданные целые числа. Рассмотрим следующие важные тастные случаи.
I) $\alpha =\beta$, так что $\alpha q+\beta p=\beta q+\alpha p$ и, следовательно, в (5.8.19) $2l=m+k$; в этом случае уравнение (5.8.19) переходит в уравнение
$$(\frac{\partial }{\partial x}+\frac{\partial }{\partial y})(k\frac{\partial f}{\partial x}+m\frac{\partial f}{\partial y})=0,$$

которое легко решить;
II) $p=q$; аналогично предыдущему случаю;
III) известно, что когда $\mathrm{km}$ больше, равно или меньше $l^2$, то уравнение будет соответственно эллиптического, параболического или гиперболического типа; в каждом случае свойства решений для $f$ хорошо известны и могут быть найдены в любой книге о дифференциальных уравнениях в частных производных.

На самом деле проблема менее сложна, так как функция $f$, т. е. $H_0({\delta }_1,{\delta }_2)$, задана, и вопрос о том, будет ли удовлетворяться уравнение (5.8.18), сводится к решению уравнения (в общем случае не алгебраического) относительно двух неизвестных. Bсе возможные решения этого уравнения дадут области, в которых резонансные бффекты могут быть отделены друг от друга.