До сих пор мы рассматривали задачи с одной степенью свободы. В действительности в общем случае спстема с $m$ рационально независимыми друг от друга резонансными соотношениями между частотами может быть сведена к системе с $m$ степенями свободы. Если $m>1$, то полное рассмотрение этой задачи маловероятно. Общепризнано, что очень мало известно о системах с двумя степенями свободы и, как упоминалось выше, интерпретация критических точек является крайне громоздкой. Однако в самом общем виде проблему можно сформулировать следующим образом.
Опять рассмотрим систему уравнений с гамильтонианом
\[
H(x, y)=H_{0}(x)+H_{1}(x, y)+\ldots,
\]

где при $k \geqslant 1$
\[
H_{k}=\sum_{p} A_{k}^{p}(x) \exp \left(i p^{\mathrm{T}} y\right),
\]

а число членов в каждой функции $H_{k}$ предполагается конечным. Как обычно, предположим, что функция $H$ аналитична при $\boldsymbol{x} \in D$, где $D$ – некоторое $n$-мерное дифференцируемое многообразие. Ряд (5.8.1) предполагается равномерно сходящимся как стешенной ряд по «малому параметру» $\varepsilon$, который всегда служит для ушрощения выкладок, хотя в некоторых примерах можно показать справедливость (сходимость) формальных рядов, строящихся при $0<\varepsilon<\varepsilon_{0}$, где $\varepsilon_{0}$ достаточно мало. Мы будем считать систему с гамильтонианом (5.8.1) неприводимой в том смысле, что все угловые переменные описывают медленное движение. Bсе быстрые переменные системы предполагаются исключенными тем или иным способом (см. главу II). Предположение о нелинейности резонанса теперь соответствует рассмотрению особых точек системы уравнений
\[
\dot{x}=-H_{y_{2}}^{\mathrm{T}}, \quad \dot{y}=H_{x}^{\mathrm{T}},
\]
т. е. решений $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}^{0}, \boldsymbol{y}=\boldsymbol{y}^{0}$ уравнений $H_{\boldsymbol{x}}=0, H_{\boldsymbol{y}}=0$. Решения такого типа являются «центрами» «характеристический многочлен системы уравнений в первых вариациях имеет только тисто мнимые корни) или «седлами» (характеристический многочлен имеет по крайней мере одну пару корней с ненулевой вещественной частью; один из корней этой пары имеет отрицательную вещественную часть, а другой должен иметь положительную). Как хорошо известно, «центры» не обязательно являются устойчивыми точками. «Седла», разумеется, неустойчивы. Однако для консервативных систем недавно было доказано, что теорема, обратная теореме Лагранжа – Дирихле, справедлива при достаточно общих условиях (см. [39]), т. е. если гамильтониан $H$ не зависит от времени, то его аналитичности более чем достаточно для обеспечения устойчивости точки минимума потенциала и неустойчивости точки максимума ${ }^{1}$ ).

Приближение к нелинейным условиям резонанса, очевидно, дается уравнениями
\[
x=x^{0}=\text { const }, \quad y=H_{0 x^{0}}^{\mathrm{T}} t+y^{0},
\]

где для данного $\mu>0$ мы предположим, что существует такое $\varepsilon>0$, что $\left\|\partial H_{0} / \partial x_{k}\right\|_{x=x^{0}}=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$ при $\left\|\boldsymbol{x}-x^{0}\right\| \leqslant \mu$. Определитель, составленный из вторых производных, предполагается невырожденным и отделимым снизу от нуля величиной $O(1)$, т. е. не уничтожающимся вместе с $\varepsilon$ и не зависящим от $\varepsilon$.

Разложив функцию Гамильтона в $n$-мерный ряд Тейлора вблизи некоторой точки $x_{0}$, мы получим главную часть функции $H$ в виде
\[
F(\boldsymbol{\delta}, \boldsymbol{y})=\boldsymbol{a}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\delta}+\boldsymbol{\delta}^{\mathrm{x}} A \boldsymbol{\delta}+H_{1}\left(x_{0}, \boldsymbol{y}\right),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{a}=\left.\frac{\partial H_{0}}{\partial \boldsymbol{x}}\right|_{x=x_{0}}, \quad \delta=\boldsymbol{x}-x_{0}, \quad A=\left.\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x^{2}}\right|_{x=x_{0}}, \\
H_{1}\left(x_{0}, \boldsymbol{y}\right)=\sum_{\boldsymbol{p}} A_{1}^{p}\left(x_{0}\right) \exp \left(i p^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right) .
\end{array}
\]

Можно показать, что существует формальное каноническое преобразование, которое приводит гамильтониан общей задачи к виду, аналогичному виду гамильтониана главной задачи (5.8.3). Эта процедура очень похожа на процедуру приведения, уже описанную для одномерного случая. Мы опять будем считать
\[
\|\delta\|=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right), \quad\|a\|=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right), \quad\left|H_{1}\right|=O(\varepsilon) .
\]
1) Под теоремой, обратной к теореме Лагранжа – Дирихле, обычно подразумевают такое утверждение: для устойчивости положения равновесия консервативной системы необходимо, чтобы ее потенциальная энергия имела в этом положении равновесия строгий изолированный минимум по всем координатам. Это утверждение до сих пор не доказано даже для аналитических систем, хотя последние результаты Четаева [32*] и недавние результаты Коитера [33*] дают довольно хорошее приближение к решению этой проблемы. В упомянутой работе Хагедорна [39]доказана лишь неустойчивость точки макспмума потенциальной энергии консервативной системы, а также рассмотрено аналогичное «обращение\” теоремы Раусса для непотенциальных систем. Относительно устойчивости точки минимума потөнциальной энергии в [39] лишь приведен пример неаналитической системы (неустойчивой), указаны ошнбки некоторых авторов (например, в [53]) при доказательстве этого утверждения, а таюже высказана та же гипотеза, что и в данной книге (прим. перев.).

Далее, очевидно, что матрица $A$ симметрична п, следовательно, соответствующим преобразованием ее можно привести к диагональному виду. Но такое преобразование привело бы к появлению нецелых коэффициентов в функции $H_{1}$, выраженной в новых угловых переменных и, следовательно, оно не очень удобно. Как и в большинстве случаев ранее, предположим, что главный член в $H_{1}$ соответствует единственной комбинации угловых переменных $y_{k}(k=1, \ldots, n)$, и пусть эта комбинация записана так:
\[
z=\bar{p}_{1} y_{1}+\ldots+\bar{p}_{n} y_{n} .
\]

Уравнения движения, соответствующие гамильтониану (5.8.3), имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\dot{\boldsymbol{\delta}}_{k}=-\frac{\partial F}{\partial y_{k}}=-i \overline{A_{1}^{*}} \bar{p}_{k} \exp \left(i \overline{\boldsymbol{p}}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right)+i\left(A_{1}^{\overline{\boldsymbol{p}}}\right)^{*} \bar{p}_{k} \exp \left(-i \boldsymbol{p}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right), \\
\dot{y_{k}}=\frac{\partial F}{\partial \delta_{k}}=a_{k}+2 \sum_{j=1}^{n} A_{k j} \delta_{j},
\end{array}
\]

где * означает комплексное сопряжение. Отсюда следует, что
\[
\begin{array}{l}
\ddot{z}=\left[-2 i A_{1}^{\bar{p}} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} A_{k j} \bar{p}_{j} \bar{p}_{k}\right] \exp (i z)+ \\
+\left[2 i\left(A_{1}^{\bar{p}}\right)^{*} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} A_{k j} \bar{p}_{j} \bar{p}_{k}\right] \exp (-i z)
\end{array}
\]

или
\[
\ddot{z}=\omega e^{i_{2}}+\omega * e^{-i z},
\]

где $z$-вещественная переменная, а $\omega$ – комплексная величина, определяемая формулой
\[
\omega=-2 i A_{1}^{\bar{p}} \sum_{j=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} A_{k j} \bar{p}_{j} \bar{p}_{k} .
\]

Действительно, мы можем гаписать уравнение (5.8.6) в вещественной форме
\[
\ddot{z}=\omega_{1} \cos z-\omega_{2} \sin z,
\]

где
\[
\omega_{1}=2 \operatorname{Re} \omega, \quad \omega_{2}=2 \operatorname{Im} \omega .
\]

Решением уравнения (5.8.7) является эліптический интеграл первого рода, легко приводимый к нормальной форме заменой
\[
\zeta=z+\alpha, \sin \alpha=\frac{\omega_{1}}{\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}}}, \quad \cos \alpha=-\frac{\omega_{2}}{\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}}},
\]

так что при $m=\sqrt{\omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}}$ пмеем уравнение
\[
\dddot{\zeta}=m \sin \zeta,
\]

которое опять является уравнением простого маятника. Следовательно, поведение переменной $\zeta$ уже рассматривалось и «главный аргумент» $z$ может описывать колебания, вращения или асимптотическое движение.

Теперь легко полностью проинтегрировать уравнения (5.8.4) и (5.8.5), если сначала получить $\delta_{k}$ из (5.8.4) с помощью простых квадратур, так как теперь
\[
\dot{\delta}_{k}=i p_{k}\left[-A_{1}^{\bar{p}} e^{i z}+\left(A_{1}^{\bar{p}}\right)^{*} e^{-i z}\right] .
\]

После этого из уравнений (5.8.5) получаем каждый угол $y_{k}$ опять в виде простой квадратуры.

Ясно, что рассмотренный выше случай в действительности эквивалентен одномерному случаю.

Задачу также можно решить аналогичным способом, если главная часть функции $H_{1}$ зависит от угла $z=\bar{p}_{1} y_{1}+\ldots+\bar{p}_{n} y_{n}$ и конечного числа целых кратностей величины $z$, хотя в этом случае уравнение для $z$ может привести к вычислению гиперэллиптических интегралов, так как $\ddot{\zeta}=m_{1} \sin \zeta+\ldots+m_{p} \sin p \xi$.

Когда имеется несколько линейно независимых комбинаций $z_{1}, \ldots, z_{p}$, то решить задачу известными методами удается только, если возможно определить непересекающиеся области, в каждой из которых каждая переменная $z_{k}$ соответствует главному члену. Полное решение в этом случае может быть получено объединением решений, локально справедливых в каждой из упомянутых областей. Одним из наиболее әффективных методов является процедура разложения по многим переменным, справедливая асимптотически в упомянутых областях. Такой метод для случая $p=2$ был развит в работе [50], а позже в работе [18]. Здесь мы не будем останавливаться на таких процедурах.

Когда имеется $p$ угловых комбинаций, система, которую надо решить, имеет вид
\[
\ddot{z}_{k}=\sum_{j=1}^{p}\left(A_{k j} \cos z_{j}+B_{k j} \sin z_{j}\right)
\]

или
\[
\ddot{\zeta}_{k}=\sum_{j=1}^{p} m_{k J} \sin \zeta_{j} \quad(k=1, \ldots, p) .
\]

В случае малых колебаний в окрестности точки $\zeta_{j}=0$ эта система является линейной, и решение находится сразу же. В противном случае система уравнений (5.8.9) далеко не тривиальна. Аналогично можно сказать, что если все углы $y_{k}$ описывают колебания около некоторого положения равновесия, то при малых колебаниях решение может быть проаппроксимировано любым желаемым образом. Но если хотя бы один угол $y_{k}$ описывает вращения, то решение получить не так просто. Эти же утверждения можно сделать и относительно переменных $\xi$.

В качестве примера рассмотрим случай $p=2$, так что можно написать (функция $F$ предполагается четной относительно $y_{1}, y_{2}$ )
\[
\begin{aligned}
F=a_{1} \delta_{1} & +a_{2} \delta_{2}+a_{11} \delta_{1}^{2}+2 a_{12} \delta_{1} \delta_{2}+a_{22} \delta_{2}^{2}+ \\
& +A_{1}^{\alpha \beta} \cos \left(\alpha y_{1}+\beta y_{2}\right)+A_{1}^{p q} \cos \left(p y_{1}+q y_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

В этом случае мы находим
\[
\begin{array}{l}
\ddot{z}_{1}=-k_{11} \sin z_{1}-k_{12} \sin z_{2}, \\
\ddot{z_{2}}=-k_{21} \sin z_{1}-k_{22} \sin z_{2},
\end{array}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
z_{1}=\alpha y_{1}+\beta y_{2}, \quad z_{2}=p y_{1}+q y_{2}, \\
k_{11}=\tilde{k}_{11} A_{1}^{\alpha \beta}, \quad k_{12}=\widetilde{k}_{12} A_{1}^{p q}, \\
k_{21}=\widetilde{k}_{12} A_{1}^{\alpha \beta}, \quad k_{22}=\widetilde{k}_{22} A_{1}^{p q} \\
\end{array}
\]

и
\[
\begin{aligned}
\tilde{k_{11}} & =2\left(\alpha^{2} a_{11}+2 \alpha \beta a_{12}+\beta^{2} a_{22}\right), \\
\widetilde{k}_{12} & =2\left(\alpha p a_{11}+\beta q a_{12}+\alpha q a_{12}+\beta p a_{22}\right), \\
\tilde{k}_{22} & =2\left(p^{2} a_{11}+2 p q a_{12}+q^{2} a_{22}\right) .
\end{aligned}
\]

Преобразование
\[
\sin \frac{z_{1}}{2}=k_{1} \operatorname{sn}\left(u_{1}, k_{1}\right), \quad \sin \frac{z_{2}}{2}=k_{2} \operatorname{sn}\left(u_{2}, k_{2}\right)
\]

приводит уравнения к виду
\[
\begin{array}{l}
\frac{d}{d t}\left[\left(\dot{u}_{1}^{2}-k_{11}\right) \operatorname{cn}^{2} u_{1}\right]=\alpha_{1} \operatorname{cn} u_{1} \operatorname{sn} u_{2} \operatorname{dn} u_{2} \dot{u}_{1}, \\
\frac{d}{d t}\left[\left(\dot{u}_{2}^{2}-k_{22}\right) \operatorname{cn}^{2} u_{2}\right]=\alpha_{2} \operatorname{cn} u_{2} \operatorname{sn} u_{1} \operatorname{dn} u_{1} \dot{u}_{2},
\end{array}
\]

где
\[
\alpha_{1}=-2 k_{12} \frac{k_{2}}{k_{1}}, \quad \alpha_{2}=-2 k_{21} \frac{k_{1}}{k_{2}} .
\]

Система распадается, если $\alpha_{1}=\alpha_{2}=0$, т. е. для этого необходимо и достаточно, чтобы
\[
\alpha p a_{11}+(\beta p+\alpha q) a_{12}+\beta q a_{22}=0,
\]

и в этом случае решение уравнений (5.8.12) получается немедленно. Одним из возможных случаев является случай
\[
a_{11}=a_{12}=a_{22}=0,
\]

но тогда мы имеем дело не со случаем резонанса. Другим интегрируемым случаем, разумеется, является случай, когда
\[
k_{11} k_{22}-k_{12} k_{21}=0
\]

и в этом случае величины $z_{1}$ и $z_{2}$ таковы, что одна из них является целой кратностью другой, и мы опять возвращаемся к одномерному случаю.

Другое частное решение можно получить, если $k_{1}=k_{2}$, т. е. функции $z_{1}$ и $z_{2}$ являются периодическими функциям времени $t$ и имеют одинаковый период. Действительно, легко проверить, что если $k_{11}+k_{12}=k_{22}+k_{21}$, то мы имеем частное решение $\dot{u}_{1}=\dot{u}_{2}$, так что $z_{1}$ и $z_{2}$ являются просто сдвинутыми по фазе друг относительно друга периодическими функциями с одинаковым периодом.

Однако в общем случае $z_{1}$ п $z_{2}$ (их вещественные части) будут условно-периодическими функциями времени $t$, и в конечном счете можно получить их непериодические әкспоненциальные ряды Фурье, если в исходной систєме (5.8.11) положить
\[
\sin \frac{z_{j}}{2}=\sum_{k} \sum_{l} a_{j}^{k l} \exp \left[i\left(k \omega_{1} t+l \omega_{2} t\right)\right]
\]

где, разумеется, $\omega_{1}$ п $\omega_{2}$ – неизвестные частоты. Ясно, что так как при $k_{12}=0$ имеем
\[
\sin \frac{z_{1}}{2}=k_{1} \operatorname{sn}\left(u_{1}, k_{1}\right)=\sum_{k=0}^{\infty} b_{1}^{k}\left(k_{1}\right) \sin \left[(2 k+1) \frac{\pi u_{1}}{2 K\left(k_{1}\right)}\right],
\]

где $u_{1}=\sqrt{k_{11}} t+u_{10}$, а при $k_{21}=0$ аналогично имеем
\[
\sin \frac{z_{2}}{2}=k_{2} \operatorname{sn}\left(u_{2}, k_{2}\right)=\sum_{l=0}^{\infty} b_{2}^{l}\left(k_{2}\right) \sin \left[(2 l+1) \frac{\pi u_{2}}{2 K\left(k_{2}\right)}\right],
\]

где $u_{2}=\sqrt{k_{22}} t+u_{20}$ п в этих выражениях мотули $k_{1}$ и $k_{2}$ завпсят от начальных условий, то легко получить члены нулевого порядка в разложениях $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, записав их через $k_{11}, k_{22}, k_{1}, k_{2}$, а члены более высокого порядка находятся по рекуррентным формулам. Такая процедура типична для случаев, когда система «слабо завязана», т. е. $\left|k_{12}\right|,\left|k_{21}\right| \ll\left|k_{11}\right|,\left|k_{22}\right|$. Совершенно ясно надо осознавать, что сложность проблемы, описанная выше, связана только с главной задачей, решение которой служит основой для получения решений высших порядков или, в случае подхода, основанного на рядах Ли, для определения решения дополнительной системы. В обоих случаях главная задача настолько сложна, что есть только небольшая надежда на получение каких-нибудь дальнейших приближений.

Если за точку, около которой производится разложение, принять центр, то при $p=2$ метод Цейпеля, примененный к описанной выше задаче, приводит к уравнению
\[
\begin{aligned}
a_{1}\left(S_{1 / 2}\right)_{y_{1}}+ & a_{2}\left(S_{1 / 2}\right)_{y_{2}}+a_{11}\left[\left(S_{1 / 2}\right)_{y_{1}}\right]^{2}+ \\
& +2 a_{12}\left(S_{1 / 2}\right)_{y_{1}}\left(S_{1 / 2}\right)_{y_{2}}+a_{22}\left[\left(S_{1 / 2}\right)_{y_{2}}\right]^{2}+ \\
& +A_{1}^{\alpha \beta} \cos \left(\alpha y_{1}+\beta y_{2}\right)+A_{1}^{p q} \cos \left(p y_{1}+q y_{2}\right)=K_{1}\left(\delta_{1}^{\prime}, \delta_{2}^{\prime}\right),
\end{aligned}
\]

где $S_{1 / 2}$ – приближение первого порядка (т. е. члеп порядка $O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$ ) в производящей функции канонического преобразования $\left(\delta_{1}, \delta_{2}, y_{1}, y_{2}\right) \rightarrow\left(\delta_{1}^{\prime}, \delta_{2}^{\prime}, y_{1}^{\prime}, y_{2}^{\prime}\right)$. Разумеется, при этом мы пичего не приобретаем, потому что малопонятно, как решать уравнение в частных производных (5.8.16). Кроме того, утерян принцип получения функции $K_{1}\left(\delta_{1}^{\prime}, \delta_{2}^{\prime}\right)$, т. е. членов порядка $O(\varepsilon)$ в новой функции Гамильтона. Решение будет тривиальным для общего (нерезонансного) случая $a_{11}=a_{12}=a_{22}=0$ или, точнее говоря, когда
\[
S=\text { тождественная часть }+\Delta S,
\]

где за $\Delta S$ можно взять функцию порядка $O(\varepsilon)$. Нспользуя ранее введенные величины $z_{1}$ и $z_{2}$, уравнение (5.8.16) перепишем в виде
\[
\begin{array}{l}
\left(\alpha a_{1}+\beta a_{2}\right)\left(S_{1 / 2}\right)_{z_{1}}+\left(p a_{1}\right.\left.+q a_{2}\right)\left(S_{1 / 2}\right)_{z_{2}}+ \\
+\frac{1}{2} \widetilde{k}_{11}\left[\left(S_{1 / 2}\right)_{z_{1}}\right]^{2}+\widetilde{k}_{12}\left(S_{1 / 2}\right)_{z_{1}}\left(S_{1 / 2}\right)_{z_{2}}+\frac{1}{2} \widetilde{k}_{22}\left[\left(S_{1 / 2}\right)_{z_{2}}\right]^{2}+ \\
+A_{1}^{\alpha \beta} \cos z_{1}+A_{1}^{p q} \cos z_{2}=K_{1} .
\end{array}
\]

Это уравнение при $\widetilde{k}_{12}=0$ опять имеет простое решение в эллиптических функциях Якоби, в то время как в общем случае оно не проще исходного.

Вероятно, будет полезно отметить, что иногда возможно выбрать такую исходную точіу, что
\[
\alpha p a_{11}+(\beta p+\alpha q) a_{12}+\beta q a_{22}=0,
\]

где величины $a_{11}, a_{12}, a_{22}$ не обязательно равны нулю. Действительно, целые числа $\alpha, \beta, p, q$ заданы, но так как
\[
\left.a_{i j} \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right|_{\substack{x_{1}=x_{1} \\ x_{2}=x_{\mathbf{2}}}},
\]

тө может случиться, что специальным выбором величин $x_{10}, x_{20}$ удастся «развязать» систему. Для того чтобы это было можно сделать, функция $H_{0}$ должна принадлежать к классу функций $f$, удовлетворяющих уравнению ( $p=2$ )
\[
k \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+2 l \frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}+m \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0,
\]

где $k, l, m$ – заданные целые числа. Рассмотрим следующие важные тастные случаи.
I) $\alpha=\beta$, так что $\alpha q+\beta p=\beta q+\alpha p$ и, следовательно, в (5.8.19) $2 l=m+k$; в этом случае уравнение (5.8.19) переходит в уравнение
\[
\left(\frac{\partial}{\partial x}+\frac{\partial}{\partial y}\right)\left(k \frac{\partial f}{\partial x}+m \frac{\partial f}{\partial y}\right)=0,
\]

которое легко решить;
II) $p=q$; аналогично предыдущему случаю;
III) известно, что когда $\mathrm{km}$ больше, равно или меньше $l^{2}$, то уравнение будет соответственно эллиптического, параболического или гиперболического типа; в каждом случае свойства решений для $f$ хорошо известны и могут быть найдены в любой книге о дифференциальных уравнениях в частных производных.

На самом деле проблема менее сложна, так как функция $f$, т. е. $H_{0}\left(\delta_{1}, \delta_{2}\right)$, задана, и вопрос о том, будет ли удовлетворяться уравнение (5.8.18), сводится к решению уравнения (в общем случае не алгебраического) относительно двух неизвестных. Bсе возможные решения этого уравнения дадут области, в которых резонансные бффекты могут быть отделены друг от друга.