Рассмотрим гамильтониан
\[
H=H_{0}(x)+H_{1}(x, y)+H_{2}(x, y)+\ldots=\text { const, }
\]

где $H_{1}, H_{2}, \ldots$ – периодические функции $y$ с периодом $2 \pi$. Рассмотрим топологию фазовой плоскости ( $y, x$ ) с траекториями $H(x, y)=$ const. Предположим, что в этой плоскости имеется центр и две седловые точки, которые после соответствующего преобразования мы будем считать расположенными следующим образом:
центр:
\[
\begin{array}{l}
\text { дентр: } \quad x=\bar{x}, \quad y=\pi ; \\
\text { седла: } \quad x=\bar{x}, \quad y=0 \quad(2 \pi) .
\end{array}
\]

Если теперь рассмотреть точку $x_{0}$ и тейлоровское разложение $H$ вблизи этой точкг, то мы найдем
\[
\begin{array}{r}
H=H_{0}\left(x_{0}\right)+H_{0}^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\frac{1}{2} H_{0}^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)^{2}+\ldots \\
\ldots+H_{1}\left(x_{0}, y\right)+H_{1}^{\prime}\left(x_{0}, y\right)\left(x-x_{0}\right)+\ldots=\text { const }
\end{array}
\]

где штрихом обозначено дифференцирование по $x$. Здесь мы последуем подходу, основные черты которого предложены в работах Хори [45] и который затем детально развит в работах Жуппа [47], [48]. Мы здесь также будем предполагать, что, как и обычно, функции $H_{p}(x, y)$ при $p \geqslant 1$ можно разложить в ряды Фурье (которые мы будем считать быстро сходящимися) и что $H$ является четной функцией $y$, хотя последнее ограничение можно довольно просто устранить. Отсюда следует, что функции $H_{p}(x, y)$ при $p \geqslant 1$ можно записать в виде
\[
H_{p}(x, y)=\sum_{n=0} A_{p}^{n}(x) \cos n y .
\]

Мы рассмотрим классический случай $\left|x-x_{0}\right|=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$. Это связано с поведением функции $H_{0}(x)$ в окрестности точки $x_{0}$, как уже упоминалось в предыдущих параграфах. Отсюда следует, что «главной» частью функции $H$, за исключением константы, является функция
\[
\widetilde{H}_{1}=B \delta+\frac{1}{2} B^{\prime} \delta^{2}+A_{1}^{1}\left(x_{0}\right) \cos y=B \delta+\frac{1}{2} B^{\prime} \delta^{2}+A \cos y,
\]

где $A, B, B^{\prime}$ – постоянные величины, а $\delta=x-x_{0}$. Мы будем считать $A>0$. Случай $A<0$ получается из рассмотренного ниже случая очевидными модификациями. Оставшаяся часть гамильтониана может быть записана в виде ряда Фурье, коэффгциентами которого являются полиномы относительно $\delta$ :
\[
H=\widetilde{H}_{1}+\widetilde{H}_{2}+\tilde{H}_{3}+\ldots
\]

Каждая функция $\widetilde{H}_{p}$ имеет конечное число членов относительно $\delta$, но тригонометрических членов может быть бесконечно много. Будет также показано, что функцию (5.7.5) можно привести к виду (5.7.4), который соответствует так называемой идеальной резонансной проблеме. Такая редукция будет вкратце описана в конце настоящего параграфа.

Рассмотрим теперь систему уравнений, соответствующую гамильтониану (5.7.4), который перепишем в виде
\[
\widetilde{H}_{1}=F=B \delta+\frac{1}{2} B^{\prime} \delta^{2}+A \cos y=C=\text { const },
\]

пренебррегая членами порядка выше $O(\varepsilon)$. Отметим, что мы считаем максимальное значение $B$ величиной порядка $O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$, величина $B^{\prime}$ конечна и не мала, г. е. порядка $O(1)$, а $A=O(\varepsilon)$. Уравнения движения, соответствуюцие гамильтониану (5.7.6), имеют впд
\[
\dot{\delta}=\frac{\partial F}{\partial y}, \quad \dot{y}=-\frac{\partial F}{\partial \delta} .
\]

Очевидно, что уравнения (5.7.7) имеют равновесные решения
\[
\delta=-\frac{B}{B^{\prime}}, \quad y=0, \pi,(2 \pi),
\]

и также очевидно, что решение $y=\pi, \delta=-B / B^{\prime}$ является центром, в то время как решения $y=0,2 \pi$ п $\delta=-B / B^{\prime}$ являются неустойчивыми (седловыми) точками. Пусть при $t=0$ пмеем $\delta=0, y=\pi$. Определим $\eta^{\prime}=y-\pi$. Тогда гамильтониан (5.7.6) при $C=-A+$ const принимает впд
\[
F=B \delta+\frac{1}{2} B^{\prime} \oint^{2}+2 A \sin ^{2} \frac{1}{2} \eta^{\prime},
\]

который является новым «инте:ралом эчергии». Наконед, пусть даны формулы
\[
2 A=\omega^{2}=O(\varepsilon), \quad \delta=\frac{1}{2} \xi-\frac{B}{B^{\prime}}, \quad \eta^{\prime}=2 \eta,
\]

описывающие каноническое преобразованге $\left(\delta, \eta^{\prime}\right) \rightarrow(\xi, \eta)$.

Отсюда следует, что
\[
F=\xi^{2}+\omega^{2} \sin ^{2} \eta
\]

где в соответствии с вышеупомянутыми начальными условиями при $t=0$ пмеем $\eta=0$ и $\xi=2 B / B^{\prime}$, т. е. значенпе $F$ вполне определено. Теперь становится яспа важность аналогип с маятником.

Положсниям равновесия спстемы с гамильтонианом (5.7.9) являютея точін:
\[
\begin{array}{lll}
\text { устойчнвая (центр): } & \eta=0, & \xi=0 ; \\
\text { неустойчивые (седла): } & \eta= \pm \pi / 2, & \xi=0,
\end{array}
\]

п мы считаем $|\xi|=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$.
Если это же преобразование проделать над введенным выше полным гамитьтонианом, то мы найдем
\[
H=F+\sum_{k} F_{k}(\xi, 2 \eta)
\]

где функции $F_{h}(\xi, 2 \eta)$ являются рядами Фурье относительно $2 \eta$ и их коэффиценты являются полиномами относительно $\xi$.

Решенше главной (идеальной) задачи, соответствуюпей функции Гамильтопа $F$, хорошо пзвегтно и получено с помощью метода Цейпеля (см., например, [43]), а аналогия с маятником детально разработана Кинером [52]. В первой из упомянутых работ приводится решение для приближений любого порядка, хотя в общем случае это приводит к появлению гиперэллиптических интегралов. Решение для приближения первого порядка (члены $O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$ в основном такое же, как и в $\$ 5$ настоящей главы.

Основное отличие от описанного выше подхода заключается в том, что вместо использования колебательного центра исходной системы в качестве начальной точки для получення разложений вида (5.7.2) можно использовать произвольную точку $x_{0}$. Эта точға $x_{0}$ может быть взята и из области колебаний, и из области вращений. Однако ее нельзя взять на сепаратрисе или принять за нее неустойчивые точки, так как в этих случаях разложение не может быть сходящимся и в действительности оно лишено смысла. Эти движения можно получить только как предельные случаи вращений или колебаний. Такие предельные случап первоначально изучались Пуанкаре [68], а самые последнпе псстедования описапы в статье Гарфннкеля и др. [29, 30].

Интересно посмотреть, как эту задачу можно решить с помощью рядов Ли. Рассмотрим, например, подхог Лп-Хори. Главной частью в $H$ является функция $F$, и она является гамильтонианом дополнительной системы
\[
\frac{d \xi}{d \tau}=\frac{\partial F}{\partial \eta}=\omega^{2} \sin 2 \eta . \quad \frac{d \eta}{d \tau}=-\frac{\partial F}{\partial \xi}=-2 \xi,
\]

так что мы получаем уравнение маятника
\[
\frac{d^{2} \eta}{d \tau^{2}} \div 2 \omega^{2} \sin 2 \eta=0
\]

Различие между колебательным, вращательным шли асимптотическим характером движения в конечном счете определяется начальными условиями или, по-другому, значением интеграла энергии (5.7.9) и значением $\xi$ или $\eta$ в некоторый момент $\tau$. Хорощо известно из теории простого маятника, что значение энергии определяет тип движения. Одинаковое описание всех типов движения, как приближение к векоторому истинному движению, определяемому возмущениями (5.7.10) гамильтониана $F$, имеет сомнительное значение. Эти возмущения можно надлежацқим образом подобрать в областях колебаний и вращений, т. е. достаточно далеко от сепаратрисы. Возмущения асимптотического движения или седловых точек представляют собой нечто иное и должны рассматриваться особым образом. Непохоже, чтобы этот тип движения сохранялся, в то время как колебания или вращения по всей видимости сохраняются при достаточно малых возмущениях.

Теорема Арнольда дает нам объяснение этому эффекту. Невозмущенная орбита в этом случае описывается эллиптическими функціями или интегралами, и можно будет использовать метод теории возмущений, но, поскольку используется «лучшее» невозмущенное движение, чем просто положение равновесия (которое обязательно должно быть центром), то можно ожидать, что метод последовательных приближений имеет большие шансы на сходимость. В описываемой здесь формулировке уравнения Ли Хори в точности совпадают с этдми уравнениями для нерезонансных систем. Понижение порядка при дифференцировании по $\xi$ в точности компенсируется умножением на $\eta$, которое после подстановки решения дополнительной системы приводит к появлению малого сомножителя $O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$. В самом деле, можно трактовать выражение (5.7.10) как обычный ряд с $F=F_{0}$ и с остаточными чліенами увеличивающегося порядка, приняв в конечном счете за порядок дробь $p / 2$, где $p$ – целое число. Характер разложения очень похож на разложения из работы Жуппа $[48,49]$, и здесь его не стоит повторять. До членов второго порядка это разложение можно найти в работе [49].

Приведение общего случая, упомянутое в начале параграфа, к идеальному виду (5.7.9) может быть осуществлено следующим образом (см. [36]). Пусть
\[
H=A_{0}(x)+\sum_{j=1}^{\infty} A_{j}(x) \cos j y=H(x, y),
\]

где величины $A_{j}(x) \quad(j=1,2, \ldots)$ предполагаются ограниченпыми малыми порядка $\varepsilon$. Как обычно, мы зашишем
\[
A_{j}(x)=O(\varepsilon) \quad(j=1,2, \ldots)
\]

при $x$ из некоторого интервала $D \in R$. Мы тажже положим в этом интервале $A_{0}(x)=O(1), A_{0}^{\prime}(x)=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$, а переменная $y$ определена на отрезке $[0,2 \pi]$. Идеальная резонансная проблема оnределяется гамильтонианом
\[
H_{I}=A(x)+B(x) \cos y,
\]

и при некоторых условиях существует каноническое преобразование, определяемое формальными рядами, которое приводит гамильтониан (5.7.12) к виду (5.7.13), т. е. такое каноническое преобразование $(x, y) \rightarrow(\xi, \eta)$, что
\[
H(x(\xi, \eta), y(\xi, \eta))=K(\xi, \eta)=P(\xi)+Q(\xi) \cos \eta .
\]

Вначале допустим, что выполнены условия:
a) Для любого $x \in D$ и $0 \leqslant y \leqslant 2 \pi$ существуют только два решения $y=0$ и $y=\pi$ уравнения $x=-H_{y}=0$.
б) $A_{0}(x)>0, A_{1}(x)>0$ прп $x \in D$.
в) Максимальное значение $M$ функции $H$ достигается для $x \in D$ при $y=0$.
г)
\[
M(x)=\sum_{j=1}^{\infty} A_{j}(x)>0 .
\]
д) Минимальное значение $m$ функции $H$ достигается для $x \in D$ при $y=\pi$.
e)
\[
m(x)=\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j} A_{j}(x)=0 .
\]
ж) Производящая функция преобразования $(x, y) \rightarrow(\xi, \eta)$ имеет классический асимптотический вид
\[
S(\xi, y)=\xi y+S_{1 / 2}(\xi, y)+S_{1}(\xi, y)+\ldots
\]
з) Коәффициенты $P(\xi)$ и $Q(\xi)$ имеют аналогичный асимптотический вид
\[
\begin{array}{l}
P(\xi)=P_{0}^{\prime}(\xi)+P_{1 / 2}(\xi)+P_{1}(\xi)+\cdots, \\
Q(\xi)=Q_{0}(\xi)+Q_{1 / 2}(\xi)+Q_{1}(\xi)+\cdots
\end{array}
\]

Приравнивая члены одинакового порядка в тейлоровском разложенші уравнения
\[
H\left(\xi+\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial y}+\ldots y\right)=K\left(\xi, y+\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial \xi}+\ldots\right),
\]

мы найдем
\[
\begin{array}{lc}
O(1): \quad & P_{0}(\xi):=A_{0}(\xi), \quad Q_{0}(\xi)=0, \\
O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right): & P_{1 / 2}(\xi)=Q_{1 / 2}(\xi)=0, \\
O(\varepsilon): & A_{0}^{\prime}(\xi) \frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial y}+\frac{1}{2} A_{0}^{\prime \prime}(\xi)\left(\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial y}\right)^{2}+ \\
& +\sum_{j=1}^{\infty} A_{j}(\xi) \cos j y=P_{1}(\xi)+Q_{1}(\xi) \cos y, \\
O\left(\varepsilon^{3 / 2}\right): \quad & {\left[A_{0}^{\prime}(\xi)+A_{0}^{\prime \prime}(\xi) \frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial y}\right] \frac{\partial S_{1}}{\partial y}+\frac{1}{2} A_{0}^{\prime \prime}(\xi)\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial y}\right)^{2}+} \\
+\frac{1}{6} A_{0}^{\prime \prime \prime}(\xi)\left(\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial y}\right)^{3}+\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial y} \sum_{j=1}^{\infty} A_{j}^{\prime}(\xi) \cos j y= \\
& =P_{3 / 2}(\xi)+Q_{3 / 2}(\xi) \cos y-Q_{1}(\xi) \frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial \xi} \sin y
\end{array}
\]

и т. д. В общем случае рассматриваемые уравнения имеют вид
\[
\begin{array}{l}
{\left[\boldsymbol{A}_{0}^{\prime}(\xi)+A_{0}^{\prime \prime}(\xi) \frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial y}\right] \frac{\partial S_{n}}{\partial y}+\frac{1}{2} A_{0}^{\prime \prime}(\xi)\left(\frac{\partial S_{n}}{\partial y}\right)^{2}=} \\
=P_{n+1 / 2}(\xi)+Q_{n+1 / 2}(\xi) \cos y+R_{n+1 / 2}(\xi, y),
\end{array}
\]

где $n=1, \frac{3}{2}, 2, \ldots$ и где фуници $R_{n+1 / 2}(\xi, y)$ зависят от уже известных предыдущих приближений. Привлекая члены более высокого порядка, мы можем записать уравнение (5.7.15) в виде
\[
\begin{aligned}
{\left[A_{0}^{\prime}(\xi)+A_{0}^{\prime \prime}(\xi)\right.} & \left.\frac{\partial S^{(n-1 / 2)}}{\partial y}\right] \frac{\partial S_{n}}{\partial y}+\frac{1}{2} A_{0}^{\prime \prime}(\xi)\left(\frac{\partial S_{n}}{\partial y}\right)^{2}= \\
& =P_{n+1 / 2}(\xi)+Q_{n+1 / 2}(\xi) \cos y+R_{n+1 / 2}(\xi, y),
\end{aligned}
\]

где
\[
S^{(p)}=S_{1 / 2}+S_{1}+S_{3 / 2}+\ldots+S_{p} .
\]

Суммируя уравнения (5.7.16) от $n=1$ до $n=p$ и прибавляя еще уравнение для членов порядіа $O(\varepsilon)$, при $p=1 / 2,1,3 / 2, \ldots$

находім, что
\[
\begin{aligned}
A_{0}^{\prime}(\xi) \frac{\partial S^{(p)}}{\partial y}+\frac{1}{2} A_{0}^{\prime \prime}(\xi)\left(\frac{\partial S^{(p)}}{\partial y}\right)^{2}=P^{(p+1 / 2)}(\xi) & +Q^{(p+1 / 2)}(\xi) \cos y+ \\
& +R^{(p+1 / 2)}(\xi, y),
\end{aligned}
\]

где
\[
\begin{array}{l}
P^{(k)}=P_{1}+P_{3 / 2}+\ldots+P_{k}, \\
Q^{(k)}=Q_{1}+Q_{3 / 2}+\ldots+Q_{k}, \\
R^{(k)}=R_{1 / 2}+R_{1}+\ldots+R_{k} .
\end{array}
\]

Рассмотрим случай $p=1 / 2$. Решая уравнение относительно $\left(S_{1 / 2}\right)_{y}$, находим
\[
\begin{array}{l}
\left(S_{1 / 2}\right)_{y}=-\frac{A_{0}^{\prime}}{A_{0}^{\prime \prime}} \pm\left\{\left(\frac{A_{0}^{\prime}}{A_{0}^{\prime \prime}}\right)^{2}+\right. \\
\left.+\frac{2}{A_{0}^{\prime \prime}}\left[P_{1}-\left(A_{1}-Q_{1}\right) \cos y-\sum_{j=2}^{\infty} A_{j} \cos j y\right]\right\}^{1 / 2}
\end{array}
\]

и выберем
\[
P_{1}(\xi)=Q_{1}(\xi)=A_{1}(\xi),
\]

так что
\[
\left(S_{1 / 2}\right)_{y}=-\frac{A_{0}^{\prime}}{A_{0}^{\prime \prime}} \pm\left\{\left(\frac{A_{0}^{\prime}}{A_{0}^{\prime \prime}}\right)^{2}+\frac{2}{A_{0}^{\prime \prime}}\left[2 A_{1}{ }^{\prime} \cos ^{2} \frac{y}{2}-\sum_{j=1}^{\infty} A_{j} \cos j y\right]\right\}^{1 / 2} .
\]

Если $y=0$, то величина, имеющая степень $1 / 2$, приобретает впд
\[
\left(\frac{A_{0}^{\prime}}{A_{0}^{\prime \prime}}\right)^{2}+\frac{2}{A_{0}^{\prime \prime}}\left[2 A_{1}-M(\xi)\right] .
\]

Если эта величина положительна, то функция $\left(S_{1 / 2}\right)_{y}$ всегда вещественна, и переменная $y$ описывает вращения. Если она отрицательна, то величина $y$ не может достичь значения $y=0$, и эта величина описывает колебания около значения $y=\pi$. Если $y=\pi$, то эта величина принимает вид $\left(A_{0}^{\prime} / \dot{A}_{0}^{\prime \prime}\right)^{2}$, и знак в рассматриваемом выражении надо выбрать так, чтобы $\left(S_{1 / 2}\right)_{\xi}=0$ в этой же точке. Этим условиям легко удовлетворить, если $\left(S_{1 / 2}\right)_{\text {y }}$ представляет собой ряд из синусов целых кратностей величины $y$, но в общем случае этого не будет.

Рассмотрим теперь уравнение
\[
\dot{y}=H_{x}=0,
\]
т. е. уравнение
\[
A_{0}^{\prime}(x)+\sum_{j=1}^{\infty} A_{j}^{\prime}(x) \cos j y=0 .
\]

При $y=\pi$ имеем уравнение
\[
A_{0}^{\prime}(\bar{x})+\sum_{j=1}^{\infty}(-1)^{j} A_{j}^{\prime}(\bar{x})=0,
\]

и, так как входящие в него величины имеют разные порядки, то приближенно (с точностью выше $\varepsilon^{1 / 2}$ ) решение будет определяться условием:
а) $\bar{x} \approx \bar{x}_{1 / 2}$, где $A_{0}^{\prime}\left(\bar{x}_{1 / 2}\right)=0$; точка ( $\bar{x}, y=\pi$ ) является центром колебаний, а точка ( $\left.\bar{x}_{1 / 2}, y=\pi\right)$ дает первое приближение для его координат.
При $y=0$ имеем уравнение
\[
A_{0}^{\prime}\left(x^{*}\right)+\sum_{j=1}^{\infty} A_{j}^{\prime}\left(x^{*}\right)=0,
\]

и опять:
б) $x^{*}=x_{1 / 2}^{*}$, где $A_{0}^{\prime}\left(x_{1 / 2}^{*}\right)=0$; точка $\left(x^{*}, y=0\right)$ является седловой точкой, а точка ( $x_{1 / 2}^{*}, y=0$ ) дает первое приближение для ее координат.

При $y=\pi, x=\bar{x}$ первое приближение функции $S=\xi y+S_{1 / 2}$ соответствует тождественному преобразованию, так как $\left(S_{1 / 2}\right)_{y}=0$, a $\left(S_{1 / 2}\right)_{\xi}=0$ по построению.

В следующем приближении для получения $\left(S_{1}\right)_{y}=0$ мы опять выберем $P_{3 / 2}=Q_{3 / 2}$, и теперь функция $Q_{3 / 2}$ определяется по коэффициентам известных членов при $\cos y$, т. е.
\[
\begin{aligned}
Q_{3 / 2}(\xi)=\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi}\{ & \frac{1}{6} A_{0}^{\prime \prime \prime}\left(\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial y}\right)^{3}+ \\
& \left.\quad+\frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial y} \sum_{j=1}^{\infty} A_{j}^{\prime}(\xi) \cos j y+Q_{1}(\xi) \frac{\partial S_{1 / 2}}{\partial \xi} \sin y\right\} \cos y d y .
\end{aligned}
\]

В общем случае выбор этих функций будет таким:
\[
P^{(k)}(\xi)=Q^{(k)}(\xi)=-\frac{1}{\pi} \int_{0}^{2 \pi} R^{(k)}(\xi, y) d y,
\]

и по индукции легко установить, что $R^{(k)}(\xi, \pi)=0$ и
\[
\left.\frac{\partial S^{(p)}}{\partial y}=-\frac{A_{0}^{\prime}}{A_{0}^{\prime \prime}} \pm\left\{\left(\frac{A_{0}^{\prime}}{A_{0}^{\prime \prime}}\right)^{2}+\frac{2}{A_{0}^{\prime \prime}}\left[2 P^{(p+1 / 2)} \cos ^{2} \frac{y}{2}+R^{(p+1 / 2)}(\xi, y)\right]\right]\right\}^{1 / 2},
\]

а при $y=\pi$ получаем $\left(S^{(p)}\right)_{y}=0$.
Колебательный, вращательный или асимптотический характер движения на каждом шаге будет определяться в соответствии с тем, будет ли выражениө
\[
\left(\frac{A_{0}^{\prime}}{A_{0}^{\prime}}\right)^{2}+\frac{2}{A_{0}^{\prime \prime}}\left[2 P^{(p+1 / 2)}(\xi)+R^{(p+1 / 2)}(\xi, 0)\right]
\]

больше, меньше или равно нулю соответственно, хотя наличие асимптотического случая, если он и имеет место, можно установить только в пределе при $p \rightarrow \infty$. Теперь определим формальный ряд для функции $S(\xi, y)$, которая соответствует преобразованию, шриводящему гамильтониан к виду
\[
\begin{aligned}
K(\xi, \eta)=\left(P_{0}+P_{1}+P_{3 / 2}+\ldots\right) & +\left(Q_{1}+Q_{3 / 2}+\ldots\right) \cos \eta= \\
& =A_{0}(\xi)+2 P(\xi) \cos ^{2} \frac{\eta}{2},
\end{aligned}
\]

где $A_{0}(\xi)=O(1), \quad A_{0}^{\prime}(\xi)=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right), \quad P(\xi)=O(\varepsilon)$.
При $\eta=\pi$ функция $K(\xi, \eta)$ имеет минимум, если, разумеется, считать $A_{0}(\xi)>0, P(\xi)>0$. Такой вид гамильтониана в точности определяет идеальную резонансную проблему.

Здесь мы описали самую простую ситуацию, которая только может встретиться. Очевидно возможна более сложная топология фазовой плоскости ( $x, y$ ), если имеется некоторое количество $n$ центров и более чем $2 n-1$ седловых точек. По-видимому, в более общем случае какое-то обсуждение становится невозможным.

Следующим по простоте после рассмотренного случая является случай, когда имеется более общая идеальная резонансная проблема и имеется два центра и три седловых точки на отрезкө $0 \leqslant y \leqslant 2 \pi$. Здесь главная часть гамильтониана имеет вид
\[
F=A_{0}(x)+A_{1}(x) \cos y+B_{1}(x) \cos 2 y,
\]

где при $x \in D$ имеем $A_{0}^{\prime}(x)=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$, а $A_{1}(x)=O(\varepsilon), B_{1}(x)=$ $=O(\varepsilon)$. Этот случай детально рассмотрен в работе Джакальи [36].