Сначала рассмотрим случай, когда $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ линейно независимы на множестве целых чисел, т. е. условие
\[
j_{1} \omega_{1}+\ldots+j_{n} \omega_{n}=0
\]

удовлетворяется тогда и только тогда, когда все целые числа $j_{1}, \ldots, j_{n}$ равны нулю. Из этого, в частности, следует, что ни одна из $\omega$ не может быть нулевой или, другими словами, все переменные присутствуют в гамильтониане. Однако это является прямым следствием предположения об устойчивости положения равновесия $\left.{ }^{1}\right)$.

Процедуру Цейпеля нельзя применить непосредственно без некоторых предварительных рассуждений и аккуратного определения понятия «порядка члена». Действительно, гамильтониан имеет вид
\[
H=\sum_{k=1}^{n} \omega_{k} x_{k}+H_{3}+H_{4}+\ldots,
\]

где $H_{p}=O\left(\delta^{p}\right)$, как следствие того, что степень полинома $H_{p}$, выраженного через $x_{1}, \ldots, x_{n}$, равна $p / 2$, а $x_{j}=O\left(\delta^{2}\right)$. Отсюда следует, что дифференцированиє по переменным $x$ понижает порядок члена на две единицы, так что, например, полином
\[
\frac{\partial^{p} H_{k}(x, y)}{\partial x_{1}^{p_{1}} \ldots \partial x_{n}^{p_{n}}} \quad\left(p_{1}+\ldots+p_{n}=p\right)
\]

имеет порядок $O\left(\delta^{h-2 p}\right)$. Тем не менее в уравнениях, получающихся из обобщенного уравнения Гамильтона — Якоби, мы никогда не будем иметь членов отрицательного порядка по $\delta$.

Производящая функция канонического преобразования $(x, y) \rightarrow$ $\rightarrow(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y})$
\[
S=\boldsymbol{X}^{\boldsymbol{r}} \boldsymbol{y}+S_{3}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})+S_{4}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})+\ldots
\]

выбирается так, чтобы
\[
x_{k}=S_{y_{k}}=X_{k}+S_{\mathrm{s}_{k}}+S_{4 y_{k}}+\ldots,
\]

а нормализованный гамильтониан имеет вид
\[
K(\boldsymbol{X})=\sum_{k} \omega_{k} X_{k}+K_{3}(\boldsymbol{X})+K_{4}(\boldsymbol{X})+\ldots
\]
1) Это не совсем верное утверждение, так как полная система может быть устойчивой и в случае нулевых чисел $\omega$, т. е. если линейная система неустойчива. См., например, [31*] (прим. ред.).

На этом этапе все ряды считаются чисто формальными, за исключением ряда (5.3.2), который является равномерно сходящимся.

После подстановки (5.3.4) в (5.3.2) и разложения в ряд Тейлора первые несколько приближений будут определяться уравнениями
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k} \omega_{k} \frac{\partial S_{3}}{\partial y_{k}}+H_{3}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})=K_{3}(\boldsymbol{X}) \\
\sum_{k} \omega_{k} \frac{\partial S_{4}}{\partial y_{k}}+\sum_{k} \frac{\partial H_{3}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})}{\partial X_{k}} \frac{\partial S_{3}}{\partial y_{k}}+H_{4}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})=K_{4}(\boldsymbol{X}), \\
\sum_{k} \omega_{k} \frac{\partial S_{5}}{\partial y_{k}}+\sum_{k} \frac{\partial H_{3}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})}{\partial X_{k}} \frac{\partial S_{4}}{\partial y_{k}}+ \\
+\frac{1}{2} \sum_{k} \sum_{j} \frac{\partial^{2} H_{3}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})}{\partial X_{k} \partial X_{j}} \frac{\partial S_{3}}{\partial y_{k}} \frac{\partial S_{3}}{\partial y_{j}}+\sum_{k} \frac{\partial H_{4}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})}{\partial X_{k}} \frac{\partial S_{3}}{\partial y_{k}}+H_{5}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})= \\
=K_{5}(\boldsymbol{X}) .
\end{array}
\]

В нерезонансном случае формальное решение вообще не представляет никаких затруднений. Действительно, так как
\[
H_{p}(X, y)=\sum_{v^{p}} A_{p}^{v^{p}}(X) \exp i\left(v_{1}^{p} y_{1}+\ldots+v_{n}^{p} y_{n}\right),
\]

где $\boldsymbol{v}^{p}=\left(v_{1}^{p}, \ldots, v_{n}^{p}\right)$, а $A_{p}^{v^{p}}(\boldsymbol{X})$ — однородные полиномы степени $p / 2$ относительно $X_{1}, \ldots, X_{n}$, то отсюда, например, следует
\[
\begin{array}{c}
K_{3}(\boldsymbol{X})=A_{3}^{0}(\boldsymbol{X}) \\
S_{3}=\sum_{v^{p}} A_{p}^{v^{p}}(\boldsymbol{X})\left[i\left(v_{1}^{3} \omega_{1}+\ldots+v_{n}^{3} \omega_{n}\right)\right]^{-1} \times \\
\times \exp i\left(v_{1}^{3} y_{1}+\ldots+v_{n}^{3} y_{n}\right)+F_{3}(\boldsymbol{X}, 0),
\end{array}
\]

тде $\boldsymbol{F}_{3}(\boldsymbol{X}, 0)$ — произвольная функция, зависящая только от $\boldsymbol{X}$. Ее можно положить равной нулю. Это не повлияет на приближения более высоких порядков, так как во всех уравнениях функции $S_{3}, S_{4}, \ldots$ встречаются только в виде своих частных производных по переменным $y$. Уравнения для приближения любого шорядка имеют одинаковый вид и решаются аналогично.

Тешерь рассмотрим случай, когда имеется один (и только один) набор целых (несократимых одновременно) чисел $j_{1}, \ldots, j_{n}$, не обращающихся одновременно в нуль и таких, что выполнево условие (5.3.1). В этом случае может оказаться, что некоторые делители, встречающиеся в (5.3.10), равны нулю, т. е. некоторый набор чисел $\left(v_{1}^{3}, \ldots, v_{n}^{3}\right)$ кратен набору $\left(j_{1}, \ldots, j_{n}\right)$. Это обязательно должно случиться лишь с конечным числом членов какого-то приближения, так как функция $H_{p}$ имеет конечное число членов при конечном $p$. Тем не менее ясно, что при увеличении $p$ рассматриваемые знаменатели могут стать сколь угодно малыми. Для рационально независимых чисел $\omega$ сходимости можно добиться введением нижней границы соответствующих резонансных соотношений, как это уже рассматривалось в главах III и IV. Действительно, Уиттекер [75] упоминает пример, в котором ряды
\[
\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{q_{1}^{m} q_{2}^{n}}{m-n \alpha}
\]

при $\left|q_{1}\right|<1,\left|q_{2}\right|<1$ и $\propto$ иррациональном в действительности являются сходящимися. Для рационально зависимых чисел о рано или поздно должен появиться нулевой делитель и, следовательно, в том виде, в каком он использовался раньше, описанный способ нормализации применить нельзя.

В том случае, когда в функции $H_{3}$ нет таких членов $v_{1}^{3} y_{1}+\ldots$ $\ldots+\boldsymbol{v}_{n}^{3} y_{n}$, что $v_{1}^{3} \omega_{1}+\ldots+v_{n}^{3} \omega_{n}=0$, все угловые переменные по-прежнему можно исключить, если только заметить, что функцию $S_{3}$ можно записать в виде (5.3.10), где произвольная функция $F_{3}$ может теперь зависеть и от критической комбинации (аргумента) $j_{1} y_{1}+\ldots+j_{n} y_{n}$, т. е.
\[
F_{3}=F_{3}\left(\boldsymbol{X}, j_{1} y_{1}+\ldots+j_{n} y_{n}\right) .
\]

Как легко проверить, произвольная функция, зависящая от такого критического аргумента, не даст никакого вклада в уравнение (5.3.6). Теперь уже произвольную функцию можно использовать для уничтожения любого члена, содержащего критический аргумент (или кратный ему аргумент) в следующих приближениях. Важная роль, выполняемая здесь следующими членами по отношению і квадратичной форме в преобразовании, которое рассматривается в теореме Биркгофа о неподвижной точке, также проявляется и в функции Гамильтона.
Действительно, положим
\[
F_{3}\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right)=\sum_{\alpha} B_{3}^{\alpha}(\boldsymbol{X}) \exp \left[i \alpha\left(j^{\mathrm{r}} \boldsymbol{y}\right)\right],
\]

где целое число $\alpha$ определяется на следующем шаге вычисления приближений, а $B_{3}^{\alpha}(\boldsymbol{X})$ — однородные полиномы степени $3 / 2$ относительно $X_{1}, \ldots, X_{n}$. Определив
\[
H_{3}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})=H_{3 s}(\boldsymbol{X})+H_{3 p}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y}),
\]

получаем
\[
B_{3}^{\alpha}(\boldsymbol{X})=-\frac{i}{\alpha} A_{4}^{\alpha}(\boldsymbol{X})\left\{\sum_{k} j_{k} \frac{\partial H_{3 s}(\boldsymbol{X})}{\partial X_{k}}\right\}^{-1},
\]

где $A_{4}^{\alpha}(\boldsymbol{X})$ — козффициенты при членах с критическим аргументом $\alpha j^{\mathrm{T}} \dot{y}$ в $H_{4}$. Видно, что дополнительные особенности могут появиться в окрестности и в самой точке $\boldsymbol{X}=\overline{\boldsymbol{X}}$, такой, что
\[
\left.\sum_{k} j_{k} \frac{\partial H_{3 s}(X)}{\partial X_{k}}\right|_{\boldsymbol{X}=\overline{\boldsymbol{X}}}=0,
\]

однако в общем случае этого не произойдет. Таким образом, решение получается введением на каждом шаге произвольной функции $F_{p}\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{j}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right)$ в $S_{p}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})$, которая должна определяться на следующем шаге. Возможно также, что «секулярная» часть функции $H_{3}$ или некоторого другого приближения окажется равной нулю. В этом случае приходится вводить секулярную часть из более высокого приближения, увеличив, таким образом, размеры соответствующих членов в рядах, что, тем не менее, будет полезно во многих задачах.

Если $H_{3 s}=0$, то, подставляя вместо этой функции функцию $H_{4 s}$, получим вместо (5.3.14) формулу
\[
B_{3}^{\alpha}(\boldsymbol{X})=-\frac{i}{\alpha} A_{4}^{\alpha}(X)\left\{\sum_{k} j_{k} \frac{\partial H_{4 s}(X)}{\partial X_{k}}\right\}^{-1},
\]

так что в действительности $B_{3}^{\alpha}(\boldsymbol{X})$ является функцией второго порядка малости. Тем не менее, такие случаи и случай, когда $H_{3}$ содержит критический аргумент являются наилучшими для применения нижеописываемого метода, согласно которому исходная система сводится к системе с одной степенью свободы, где в качестве единственной появляющейся угловой переменной берется критический аргумент. Следовательно, формально система сводится к квадратурам.

В рассматриваемом случае рассмотрим сначала каноническое преобразование к новым переменным $x^{\prime}, y^{\prime}$ по формулам
\[
\begin{array}{lll}
y_{k}^{\prime}=y_{k} & (k=1, \ldots, n-1), & y_{n}^{\prime}=j_{1} y_{1}+\ldots+j_{n} y_{n}, \\
x_{k}=x_{k}^{\prime}+j_{k} x_{n}^{\prime} & (k=1, \ldots, n-1), & x_{n}=j_{n} x_{n}^{\prime} \quad\left(j_{n}
eq 0\right) .
\end{array}
\]

В новых переменных гамильтониан приобретает вид
\[
H=\omega_{1} x_{1}^{\prime}+\ldots+\omega_{n-1} x_{n-1}^{\prime}+\sum_{\alpha} A_{3}^{\alpha}(x) \exp i \alpha y_{n}^{\prime}+H_{3}^{*}+H_{4}+\ldots,
\]

где в $H_{3}^{*}$ собраны члены, не содержащие только критический аргумент $y_{n}^{\prime}$. Записанная в новых переменных система является вырожденной. Если все $A_{3}^{\alpha}\left(x^{\prime}\right)$ не равны тождественно нулю и $\boldsymbol{H}_{3}^{*}$ имеет нулевую секулярную часть, то можно исключить из гамильтониана только углы $y_{1}^{\prime}, \ldots, y_{n-1}^{\prime}$, т. е. углы, соответствующие имеющимся в $H_{2}$ импульсам. Теперь, опуская птрихи при переменных, функцию $H$ можно записать в новом виде
\[
\begin{aligned}
H=\omega_{1} x_{1}+\ldots+\omega_{n-1} x_{n-1} & +\sum_{\alpha} A_{3}^{\alpha}(x) \exp i \alpha y_{n}+ \\
& +H_{3}^{*}(x, y)+H_{4}(x, y)+\ldots,
\end{aligned}
\]

где функция $H_{3}^{*}$ может быть записана следующим образом:
\[
H_{3}^{*}=\sum_{\boldsymbol{v}} A_{3}^{v}(\boldsymbol{x}) \exp \left[i\left(v_{\mathbf{1}} y_{1}+\ldots+v_{n} y_{n}\right)\right] ;
\]

щри этом целые числа $v_{1}, \ldots, v_{n-1}$ не обращаются одновременно в нуль, если $v_{n}
eq 0$. Следовательно, в силу сделанного предположения о единственности набора ненулевых одновременно целых чисел, удовлетворяющих соотношению (5.3.1), условие $v_{1} \omega_{1}+\ldots+v_{n} \omega_{n}=0$ не может быть выдолнено ни для одного набора целых чисел $\boldsymbol{v}=\left(v_{1}, \ldots, v_{n}\right)$ из. $H_{3}^{*}$.

Тешерь только необходимо потребовать, чтобы новый гамильтониан $K$, записанный в новых переменных $\boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}$, представлялся рядом
\[
K=K\left(\boldsymbol{X}, Y_{n}\right)=K_{2}+K_{3}+K_{4}+\ldots,
\]

вообще говоря, формальным, так что $X_{1}, \ldots, X_{n-1}$ являются постоянными, и система имеет единственную степень свободы. Производящая функция опять определяется формальным рядом
\[
S=\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}+S_{3}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})+S_{4}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})+\ldots,
\]

а соответствующее преобразование имеет вид .
\[
x_{k}=X_{k}+\frac{\partial S_{3}}{\partial y_{k}}+\frac{\partial S_{4}}{\partial y_{k}}+\ldots, \quad Y_{k}=y_{k}+\frac{\partial S_{3}}{\partial X_{k}}+\frac{\partial S_{4}}{\partial X_{k}}+\ldots,
\]

что, как и всегда, дает $K_{2}=\omega_{1} X_{1}+\ldots+\omega_{n-1} X_{n-1}$.
Рассмотрим тейлоровское разложение обобщенного уравнения Гамильтона — Якоби
\[
\begin{aligned}
H\left(\boldsymbol{X}+\frac{\partial S_{3}}{\partial \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}}+\ldots, \boldsymbol{y}\right)=K\left(\boldsymbol{X}, y_{n}+\right. & \left.\frac{\partial S_{3}}{\partial X_{n}}+\cdots\right)= \\
& =\sum_{k=1}^{n-1} \omega_{k} X_{k}+K_{3}\left(\boldsymbol{X}, Y_{n}\right)+\cdots
\end{aligned}
\]

Принимая во внимание уменьшение порядка на две единиды при каждом дифференцировании по $X$, для первых нескольких

приближений получаем
\[
\begin{array}{c}
\sum_{k=1}^{n-1} \omega_{k} \frac{\partial S_{3}}{\partial y_{k}}+H_{3}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})=K_{3}\left(\boldsymbol{X}, y_{n}\right) \\
\sum_{k=1}^{n-1} \omega_{k} \frac{\partial S_{4}}{\partial y_{k}}+\sum_{k} \frac{\partial H_{3}(\dot{\boldsymbol{X}}, \boldsymbol{y})}{\partial X_{k}} \frac{\partial S_{3}}{\partial y_{k}}+H_{4}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})= \\
=K_{4}\left(\boldsymbol{X}, y_{n}\right)+\frac{\partial K_{3}\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y}_{n}\right)}{\partial y_{n}} \frac{\partial S_{3}}{\partial X_{n}} \\
\sum_{k=1}^{n-1} \omega_{k} \frac{\partial S_{5}}{\partial y_{k}}+\sum_{k} \frac{\partial H_{3}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})}{\partial X_{k}} \frac{\partial S_{4}}{\partial y_{k}}+\frac{1}{2} \sum_{k, j} \frac{\partial^{2} H_{3}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})}{\partial X_{k} \partial X_{j}} \frac{\partial S_{3}}{\partial y_{k}} \frac{\partial S_{3}}{\partial y_{j}}+ \\
+\sum_{k} \frac{\partial H_{4}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})}{\partial X_{k}} \frac{\partial S_{3}}{\partial y_{k}}+H_{5}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})= \\
=K_{5}\left(\boldsymbol{X}, y_{n}\right)+\frac{\partial K_{3}\left(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y}_{n}\right)}{\partial y_{n}} \frac{\partial S_{4}}{\partial X_{n}}+\frac{1}{2} \frac{\partial^{2} K_{3}\left(\boldsymbol{X}, y_{n}\right)}{\partial y_{n}^{2}}\left(\frac{\partial S_{3}}{\partial X_{n}}\right)^{2}+ \\
+\frac{\partial K_{4}\left(\boldsymbol{X}, y_{n}\right)}{\partial y_{n}} \frac{\partial S_{3}}{\partial X_{n}}
\end{array}
\]

На каждом шаге, очевидно, соответствующее уравнение можно записать в виде
\[
\sum_{k=1}^{n-1} \omega_{k} \frac{\partial S_{\beta}}{\partial y_{k}}+H_{\beta}^{*}(X, y)+\sum_{\alpha^{\beta}} A_{\beta}^{\alpha^{\beta}}(X) \exp \left(i \alpha^{\beta} y_{n}\right)=K_{\beta}\left(\boldsymbol{X}, y_{n}\right),
\]

где функция $H_{\beta}^{*}$ обладает теми же свойствами, что и описанная ранее функция $H_{3}^{*}$ в (5.3.17).
Определим функцию $K_{\beta}$ в виде
\[
K_{\beta}\left(\boldsymbol{X}, y_{n}\right)=H_{\beta s}^{*}(\boldsymbol{X})+\sum_{\alpha^{\beta}} A_{\beta}^{\alpha^{\beta}}(\boldsymbol{X}) \exp \left(i \alpha^{\beta} y_{n}\right),
\]

где
\[
H_{\beta}^{*}=H_{\beta s}^{*}(\boldsymbol{X})+H_{\beta p}^{*}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y}) .
\]

Тогда функция $S_{\text {в }}$ определяется как решение уравнения
\[
\sum_{k=1}^{n-1} \omega_{k} \frac{\partial S_{\beta}}{\partial y_{k}}+H_{\beta p}^{*}(\boldsymbol{X}, \boldsymbol{y})=0
\]

в котором в силу сделанного выбора функции $H_{\beta}^{*}$ нет ни одного нулевого делителя. Такая частицнал нормализация может быть осуществлена до приближения любого порядка, так что мы можем записать новый гамильтониан в виде
\[
K=\sum_{k=1}^{n-1} \omega_{k} X_{k}+K_{3}\left(\boldsymbol{X}, Y_{n}\right)+\ldots+K_{\beta}\left(\boldsymbol{X}, Y_{n}\right)+O\left(|\boldsymbol{X}|^{\beta+1}\right),
\]

и с точностью до $O\left(|\boldsymbol{X}|^{\beta+1}\right)$ соответствующая система может быть проинтегрирована в квадратурах.