Легко установить связь между результатами предыдущего параграфа и классической задачей возмущения линейных систем, изученной в работах Чезари [15], Хейла [40] и некоторых других авторов. Действительно, рассмотрим уравнения (5.2.6), переписанные в виде
\[
\left(\begin{array}{l}
\dot{\eta} \\
\dot{\xi}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
O & D^{2} \\
-I & O
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\boldsymbol{\eta} \\
\xi
\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}
O & I \\
-I & O
\end{array}\right)\left(\frac{\partial \Delta H}{\partial(\boldsymbol{\eta}, \xi)}\right)^{T},
\]

где $\Delta H=H_{3}+H_{4}+\ldots$ Введем линейное преобразование
\[
\boldsymbol{z}=\left(\begin{array}{rr}
-i D^{-1} & -I \\
i D^{-i} & -I
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\boldsymbol{\eta} \\
\boldsymbol{\xi}
\end{array}\right)
\]

или обратное ему
\[
\left(\begin{array}{l}
\boldsymbol{\eta} \\
\xi
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{ll}
i D & -i D \\
-I & -I
\end{array}\right) \boldsymbol{z}
\]

где $\boldsymbol{z}$ – вектор размерности $2 n$. Отсюда следует, что $z$ удовлетворяет уравнению
\[
\dot{z}=\left(\begin{array}{cc}
i D & O \\
O & -i D
\end{array}\right) z+2 i\left(\begin{array}{cc}
O & I \\
-I & O
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
D^{-1} & O \\
O & D^{-1}
\end{array}\right)\left(\frac{\partial \Delta H}{\partial z}\right)^{\mathrm{T}}
\]

или $(k=1, \ldots, n)$
\[
\dot{z}_{k}=i \omega_{k} z_{k}+f_{k}(z), \quad \dot{z}_{n+i}=-i \omega_{k} z_{n+k}+f_{n+k}(z),
\]

где
\[
f_{k}=\frac{2 i}{\omega_{k}} \frac{\partial \Delta H}{\partial z_{n+k}}, \quad f_{n+k}=-\frac{2 i}{\omega_{k}} \frac{\partial \Delta H}{\partial z_{k}} .
\]

Следует заметить, что уравнения (5.4.4) можно переписать

в виде $(k=1, \ldots, n)$
\[
\dot{z}_{k}=\frac{2 i}{\omega_{k}} \frac{\partial \widetilde{H}}{\partial z_{n+k}}, \quad \dot{z}_{n+k}=-\frac{2 i}{\omega_{k}} \frac{\partial \widetilde{H}}{\partial z_{k}}
\]

где
\[
\widetilde{H}=\frac{1}{2} \sum \omega_{k}^{2} z_{k} z_{n+k}+\Delta H .
\]

В любом случае уравнение для фундаментальной матрицы решений уравнений (5.4.4) можно записать так:
\[
\dot{z}=A Z+\Phi(Z),
\]

где $\Phi(Z)$ – матрица, элементами которой являются ряды из однородных полиномов степени не ниже $3 / 2$. В используемых здесь обозначениях
\[
\Phi=\Phi_{3}+\Phi_{4}+\ldots
\]

Теперь можно представить метод усреднения, описанный в предыдущем параграфе, с помощью следующей процедуры последовательных приближений. Пусть $B$ – постоянная диагональная матрида с неизвестными элементами $\lambda_{k}(k=1, \ldots, 2 n)$. Тогда можно положить
\[
B=\operatorname{diag}\left(i \tau_{1}, \ldots, i \tau_{n},-i \tau_{1}, \ldots,-i \tau_{n}\right),
\]

где непзвестные постоянные $\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}$ должны определяться в результате использования метода усреднения. Определим дополнительное уравнение
\[
\dot{Z}=B Z+G(Z),
\]

где
\[
G(Z)=\Phi(Z)+(A-B) Z .
\]

Видно, что при $G(Z)=0$ решение уравнения (5.4.8) имеет вид
\[
Z^{(0)}=e^{n t} C,
\]

где $C$ – постоянная матрица, которую можно положить равной единичной матрице.
Введем преобразование
\[
Z=e^{B t} Y
\]

так что уравнение (5.4.8) переходит в уравнение
\[
\dot{Y}=e^{-B t} G\left(e^{B t} Y\right) \text {, }
\]

где $Y^{(0)}=$ const – приближение нулевого порядка. Вообще говоря, нельзя считать, что в интеграле от функции $e^{-B t} G\left(e^{B t} Y^{(0)}\right)$

не будет содержаться секулярных членов. Надо считать, что секулярные члены будут присутствовать в таком интеграле наряду с условно-периодическими функциями времени $t$ (предполагается, что величины $\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}$ линейно незавіспмы на множестве целых чисел).
Тогда определим операцию усреднения
\[
P[M(t)]=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} M(t) d t,
\]

так что матрица
\[
M(t)-P[M(t)]=(J-P) M(t)
\]

является условно-периодической или, в исключительных случаях, периодической. Таким образом, мы получаем уравнение
\[
\dot{Y}^{(1)}=(J-P) e^{-B t} G\left(e^{B t} Y^{(0)}\right),
\]

интегрирование которого дает условно-периодическую матрицу. В общем случае мы определим процедуру последовательных прпближений и усреднения формулой
\[
Y^{(m)}=Y^{(0)}+\int^{t}(J-P) e^{–B \theta} G\left(e^{B \theta} Y^{(m-1)}\right) d \theta .
\]

Возвращаясь к матрице $Z$, получаем
\[
Z^{(m)}=e^{B t} Y^{(0)}+e^{B t} \int^{t}(J-P) e^{-B \theta}\left[\Phi\left(Z^{(m-1)}\right)+(A-B) Z^{(m-1)}\right] d \theta .
\]

Если процедура сходится, то последовательность $Z^{(m)}$ будет иметь предел $Z$, удовлетворяющий интегральному уравнению
\[
Z=e^{B t} Y^{(0)}+e^{B t} \int^{t}(J-P) e^{-B \theta}[\Phi(Z)+(A-B) Z] d \theta .
\]

Дифференцируя последнее уравнение, получаем
\[
\dot{Z}=B e^{B t} Y^{(0)}+B\left(Z-e^{B t} Y^{(0)}\right)+e^{B t}(J-P) e^{-B t}[\Phi(Z)+(A-B) Z]
\]

или
\[
\dot{Z}=A Z+\Phi(Z)-e^{B t} P\left\{e^{-B t}[\Phi(Z)+(A-B) Z]\right\},
\]

что является решением уравнения (5.4.7) тогда п только тогда,

когда выполнено равенство

или
\[
P\left\{e^{-B t}[\Phi(Z)+(A-B) Z]\right\}=0
\]
\[
\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} e^{-B t}[\Phi(Z(t))+(A-B) Z(t)] d t=0 .
\]

До сих пор не была показана ни сходимость, ни расходимость метода последовательных приближений, определяемых уравнением (5.4.12). Теорему о сходимости, доказанную Чезари [15] и Хейлом [40] при более общих предположениях для определения периодических решений, в этом случае не так просто обобщить, так как принцип сжатия, который позволяет применить теорему Банаха о неподвижной точке, здесь очевидно не выполняется. Действительно, полнота пространства всех условно-периодических функций очевидно не имеет места. В этом случае похоже, что можно применить непосредственный путь доказательства, аналогично тому, как это было сделано Чезари [15]. По нашему мнению, этот метод будет сходящимся, по крайней мере для множества частот $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, удовлетворяющих соответствующему условию иррациональности п, возможно, за исключением некоторого конечного числа соотношений между $\omega_{k}$, которые привели бы к классической задаче о параметрической неустойчивости (см. [60, 31, 37]).

В покомпонентной форме уравнение (5.4.12) можно переписать так:
\[
\begin{array}{l}
Z_{k j}^{(m)}=e^{i \tau_{k} t} Z_{k j}^{(0)}+e^{i \tau_{k} t} \int^{t}(J-P) e^{-i \tau_{k} \theta}\left[\Phi_{k j}\left(Z^{(m-1)}\right)+\right. \\
\left.+i\left(\omega_{k}-\tau_{k}\right) Z_{k j}^{(m-1)}\right] d \theta,
\end{array}
\]

а условием (5.4.13) определяются постоянные $Z_{k j}^{(0)}$, и оно должно быть сведено к системе уравнений относительно неизвестных $\tau_{1}, \ldots, \tau_{n}$, выражающихся через $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$. Эквивалентные соотношения для исходной системы (5.4.4) имеют вид
\[
\begin{array}{l}
z_{k}^{(m)}=e^{i \tau_{k} t} z_{k}^{(0)}+e^{i \tau_{k} t} \int^{t}(J-P) e^{-i \tau_{k} \theta}\left[f_{k}\left(z^{(m-1)}\right)+\right. \\
\left.+i\left(\omega_{k}-\tau_{k}\right) z_{k}^{(m-1)}\right] d \theta, \\
z_{n+k}^{(m)}=e^{-i \tau_{k} t} z_{n+k}^{(0)}+e^{-i \tau_{k} t} \int^{t}(J-P) e^{i \tau_{k} \theta}\left[f_{n+k}\left(z^{(m-1)}\right)-\right. \\
\left.-i\left(\omega_{k}-\tau_{k}\right) z_{n+k}^{(m-1)}\right] d \theta, \\
\end{array}
\]

или для вектора $z$
\[
z^{(m)}=e^{B t} z^{(0)}+e^{B t} \int^{t}(J-P) e^{-i B \theta}\left[f\left(z^{(m-1)}\right)+(A-B) z^{(m-1)}\right] d \theta .
\]

Тот факт, что близкие к линейным целочисленные соотношения между частотами $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$ могут привести (и в самом деле приводят) к появлению если и не нулевых, то по крайней мере малых делителей, немедленно следует из результата применения оператора $P[f(t)]$ к функции $f(t)=\exp i\left(k_{1} y_{1}+\ldots\right.$ $\left.\ldots+k_{n} y_{n}\right)$, где $y_{k}=\omega_{k} t+y_{k}^{0}(k=1, \ldots, n)$.

Хейл (см. [49.2]) доказал существование почти-периодических репений системы уравнений
\[
\dot{\boldsymbol{y}}=A \boldsymbol{y}+\boldsymbol{q}(t, \boldsymbol{y}, \varepsilon)
\]

при условии, что функции $\boldsymbol{q}$ – почти-перподические относительно $t$, а система $\dot{y}=A y$ – некритическая, т. е. все собственные числа матрицы $A$ имеют ненулевые вещественные части. Рассматриваемый здесь случай очевидно соответствует критической системе, хотя можно найти такее преобразование, которое делает все элементы диагональной матрицы вещественными. Для некритических случаев можно показать существование почти-периодических решений (относительно $t$ ) уравнений (5.4.15) с темп же частотами, что и у функции $\boldsymbol{q}$. Для динамических систем этот результат очень важен при изучении возмущений почти-периодических решений. Если получающаяся вариационная система нормализована до членов второго порядка, и в результате получается некритическая система, то почти-периодические решения будут существовать в соответствующим образом огряниченной окрестности исходного решения. Аналогичные проблемы возникают и при исследовании устойчивости по Јяпунову, структурной устойчивости относительно возмущений, а также шри изучении свойств инвариантных (или интегральных) многообразий. Основные результаты в этой области получили Дилиберто [27], Боголюбов и Митропольский [12]. Основные результаты, касающиеся условно-щериодических решений, получили Малкин [56, 57] и Розе [71].