Кажущимся неудобством такой теории для приложений в методах теории возмущений является то, что функции $f$ и $S$, как правило, должны быть представлены в виде степенных рядов по $\varepsilon$, а такая зависимость не учитывается в вышеприведенных формулах. Модифицированный подход к этому вопросу был предложен Депри [17]; позже различными авторами (см., например, [49]) была показана эквивалентность этого подхода и теории Хори. Эквивалентность обобщенной теории преобразований Гамильтона-Якоби и преобразований Ли, использовавшихся в работах Пуанкаре, Хори и Депри соответственно, будет показана в конце главы II. Здесь мы ограничимся изложением основных теорем преобразований Ли для случая, когда функции $f$ и $S$ зависят от $\varepsilon$. Основной делью является получение соотношений (1.4.3) и (1.4.4). Изложение проводится так же, как и в работе Депри [17].

Рассмотрим вещественные аналитические функции $f$ и $S$, зависящие от $2 n$ канонически сопряженных переменных. Скобки Пуассона $(f, S)$ можно записать в виде
\[
(f, S)=\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{\partial S}{\partial x}\right)^{\mathbf{T}}-\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{\partial S}{\partial y}\right)^{\mathbf{T}},
\]

где, как обычно, производная скалярной функции по вектору предполагается строчной матрицей. Можно определить $2 n$-мерный вектор $\boldsymbol{z}=(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$ и двумерный вектор $(f, S)$ и записать матрицу Пуассона размерности $2 \times 2$
\[
P_{z}(f, S)=J_{z} M J_{z}^{\mathbf{T}},
\]

где $J_{z}=\partial(f, S) / \partial z$ – матрица размерности $2 \times 2 n$ а $M$ – единичная симплектическая матрица размерности $2 n \times 2 n$, Тогда
\[
P_{z}(f, S)=(f, S)_{z}\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right) .
\]

Для нетривиального канонического преобразования $z=z(\zeta)$ имеем
\[
J^{\mathrm{T}} M J=M,
\]

где $J=\partial z / \partial \zeta$. Тогда
\[
J_{\zeta}=J_{z} J .
\]

Теперь получаем
\[
P_{\xi}(f, S)=J_{\zeta} M J_{\zeta}^{\mathrm{T}}=J_{z} J M J^{\mathrm{T}} J_{z}^{\mathrm{T}}=J_{z} M J_{z}^{\mathrm{T}}=P_{z}(f, S),
\]

что показывает инвариантность матрицы $P$ относительно канонических преобразований.

Производная Ли функции $f$, генерируемая функцией $S$, имеет вид
\[
L_{S} f=(f, S) .
\]

Taк как $L_{S} f$ является билинейной формой относительно $f, S$, то отсюда вытекают следующие свойства ( $\alpha, \beta$ – постоянные числа):
a).
b)
\[
L_{S}(\alpha f+\beta g)=\alpha L_{S} f+\beta L_{S} g,
\]
\[
L_{S}(f \cdot g)=f \cdot L_{S} g+g \cdot L_{S} f
\]
c)
d)
\[
L_{S}(f, g)=\left(f, L_{\mathrm{S}} g\right)+\left(L_{S} f, g\right) \text {, }
\]
\[
L_{S} L_{S^{\prime}} f=L_{S^{\prime}} L_{S} f+L_{\left(S, S^{\prime}\right) f} \text {. }
\]

Если ввести определение $L_{S}^{0} f=f$, то $n$-я производная Ли будет иметь вид
\[
L_{S}^{n} f=L_{S} L_{S}^{n-1} f .
\]

Для этой производной легко проверить следующие свойства:
a)
\[
L_{S}^{n}(\alpha f+\beta g)=\alpha L_{S}^{n} f+\beta L_{S}^{n} g,
\]
b)
\[
L_{S}^{n}(f \cdot g)=\sum_{m=0}^{n} C_{n}^{m} L_{S}^{m} f \cdot L_{S}^{n-m} g
\]
c)
\[
L_{S}^{n}(f, g)=\sum_{m=0}^{n} C_{n}^{m}\left(L_{S}^{m} f, L_{S}^{n-m} g\right) \text {. }
\]

Если $S$ – вещественная аналитическая функция, то можно выбрать такое достаточно малое число $\varepsilon$, что ряды
\[
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} L_{S}^{n} f=\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) f
\]

будут сходящимися для аналитических функций $f$.

ГЛ. І. ТЕОРИЯ КАНОНИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ
Опять нетрудно проверить следующие свойства:
a) $\exp \left(\varepsilon L_{S}\right)(\alpha f+\beta g)=\alpha \exp \left(\varepsilon L_{S}\right) f+\beta \exp \left(\varepsilon L_{S}\right) g$,
b) $\exp \left(\varepsilon L_{S}\right)(f \cdot g)=\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) f \cdot \exp \left(\varepsilon L_{S}\right) g$,
c) $\quad \exp \left(\varepsilon L_{S}\right)(f, S)=\left(\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) f, \exp \left(\varepsilon L_{S}\right) g\right)$.

Из последнего свойства вытекает следующее утверждение.
Теорема. Пусть $\varepsilon$ – постоянный параметр. Рассмотрия преобразование $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{z}$ (६) 2 п-мерного вектора $\boldsymbol{z}=(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})$, где $\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}$-канонически сопряженные переменные, в $2 n$-мерный вектор $\boldsymbol{\zeta}=(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi})$. Если существует такая вещественная аналити. ческая функция $S(z)$, что рлды
\[
\zeta=\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) z
\]

сходятся в некоторой области z-пространства, то преобразование будет каноническим.

Заметим, что по существу эта теорема совпадает с теоремой Ли, сформулированной выше. Доказательство рассматриваемой теоремы немедленно следует из гаких соотношений:
\[
\zeta_{i}=\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) z_{i}
\]

и из формулы (1.4.17), примененной к выражению
\[
\left(\zeta_{i}, \zeta_{j}\right) \rightleftharpoons\left(\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) z_{i}, \exp \left(\varepsilon L_{S}\right) z_{j}\right)=\exp \left(\varepsilon L_{S}\right)\left(z_{i}, z_{j}\right)
\]

или
\[
P(\zeta)=\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) P(z)
\]

Так как $z$ – канонический набор переменных, то $P(\boldsymbol{z})=M$ и, следовательно,
\[
P(\zeta)=M,
\]
т. е. § – также канонический набор переменных.

Другим важным результатом является закон преобразования произвольной функции переменных $z$ в функцию переменных $\zeta$.

Т е орем а. Образ каждой вещественғой аналитической функции $f(z)$ при преобразовании
\[
z=\exp \left(\varepsilon L_{\mathrm{s}}\right) \zeta
\]

есть функция
\[
\tilde{f}(\zeta, \varepsilon)=f\left(\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) \zeta\right)=\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) f(\zeta) .
\]

Действительно,
\[
L_{S} \tilde{f}(\xi, \varepsilon)=\frac{\partial f}{\partial z} L_{S} z
\]

где $\partial f / \partial \boldsymbol{z}$-строчная матрица $\left\|\partial f / \partial z_{k}\right\|$, а $L_{S} z$-матрица-столбец $\left\|\left(z_{k}, S\right)\right\|$.
Дифференцируя (1.4.19) по $\varepsilon$, находим
\[
\frac{\partial z}{\partial \varepsilon}=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{m}}{m !} L_{S}^{m+1} \xi=L_{S} z
\]

и, следовательно, получаем
\[
L_{S} \tilde{f}(\xi, \varepsilon)=\frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial \varepsilon}=\frac{\tilde{\partial f}}{\partial \varepsilon} .
\]

Повторяя эту процедуру $n$ раз, находим
\[
L_{S}^{n \tilde{f}}=\frac{\partial^{n} \tilde{f}}{\partial \varepsilon^{n}}
\]

или из (1.4.20)
\[
\left.\frac{\partial^{n \widetilde{f}}}{\partial \varepsilon^{n}}\right|_{\varepsilon=0}=L_{S}^{n \tilde{f}}(\zeta, 0)=f(\xi) .
\]

Следовательно, тейлоровское разложение функции $f(\zeta, \varepsilon)$ имеет вид
\[
\tilde{f}(\zeta, \varepsilon)=\left.\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \frac{\partial^{n} \tilde{f}}{\partial \varepsilon^{n}}\right|_{\varepsilon=0}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} L_{S}^{n} \tilde{f}(\zeta)=\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) f(\zeta),
\]

что и завершает доказательство.
Из этой последней теоремы можно получить следствие, которое в конечном счете устанавливает справедливость подхода Хори, рассматривавшего $S$ как функцию $\varepsilon$.

Следствие. Если функция $f(\boldsymbol{z}, \varepsilon)$ допускает разложение в ряд Тейлора в окрестности точки $\varepsilon=0$, т. е.
\[
f(z, \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} f_{n}(z)
\]

то после применения канонического преобразования (1.4.19) получим
\[
f(z(\xi, \varepsilon), \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \sum_{m=0}^{\infty} C_{n}^{m} L_{S}^{m} f_{n-m}(\xi) .
\]

Действительно, нз (1.4.20) получаем соотношение
\[
f_{n}(\boldsymbol{z}(\zeta, \varepsilon))=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{m}}{m !} L_{S}^{m} f_{n}(\zeta)
\]

после подстановки которого в (1.4.23) и после собирания членов одинакового порядка по $\varepsilon$ приходим к желаемому результату.

Наконец, докажем следующую теорему о преобразовании, обратном к каноническому преобразованию, определяемому рядами Ли.
Теорема. Преобразование, обратное $к$ преобразованию

имеет вид
\[
z=\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) \zeta,
\]
\[
\zeta=\exp \left(\varepsilon L_{-S}\right) z \text {. }
\]

Действительно,
\[
\zeta=\exp \left(\varepsilon L_{S^{\prime}}\right) z=\exp \left(\varepsilon L_{S^{\prime}}\right)\left(\exp \left(\varepsilon L_{S}\right) \zeta\right)=\exp \left(\varepsilon\left(L_{S^{\prime}}+L_{S}\right)\right) \zeta .
\]

Оператор $\exp \left(\varepsilon\left(L_{S^{\prime}}+L_{S}\right)\right.$ должен соответствовать тождественному преобразованию, для которого $L_{S^{\prime}}+L_{S}=0$. Следовательно, $S^{\prime}=-S$, что и требовалось доказать.