Неособенное преобразование $\mathit{z}\to \zeta$, принадлежащее классу $C^2$, называется каноническим, если оно переводит каждую гамильтонову систему $\dot{z}=$ М ${}_z^{\mathrm{T}}$ в гамильтонову систему $\dot{\zeta }=M{K}_{\xi }^{\mathrm{T}}$.

Это свойство является чисто локальным, однако опять можно быть уверенным в полезности возможного глобального распространения такого определения и его следствий на некоторую область фазового пространства. Пусть $z=\mathrm{col}(y,x),\zeta =\mathrm{col}(\eta ,\xi )$ векторы размерности $2n$. Инвариантность гамильтоновой формы уравнений подразумевает, что преобразование будет каноническим тогда и только тогда, когда форма
$$\mathrm{\Phi }(H)=\sum _{k=1}^n({\dot{\eta }}_k\delta {\xi }_k-{\dot{\xi }}_k\delta {\eta }_k)$$

будет полным дифференщиалом для всех $H$.
Из (1.2.1) мы выведем необходимое и достаточное условие каноничности преобразования (см. [6]). Заметим, что (1.2.1) $2\ast$

можно переписать в виде
$$\mathrm{\Phi }(H)={\dot{\zeta }}^{r}M\delta \zeta .$$

Более того, для данного преобразования
$$\zeta =\zeta (z,t)$$

мы имеем
$$\dot{\zeta }=J\dot{z}+{\xi }_t,$$

где $J$ — матрица Якоби $J=\partial \xi /\partial z$. Отсюда следует, что
$$\dot{\zeta }=JM{H}_z^{\mathrm{T}}+{\xi }_t$$

а из (1.2.2) получаем
$$\mathrm{\Phi }(H)=(-H_{z}M{J}^{\mathrm{T}}+{\xi }_t^{\mathrm{T}})M\delta \zeta ,$$

или, учитывая равенство $\delta \xi =J\delta z$, имеем
$$\mathrm{\Phi }(H)=-H_{z}M\mathcal{L}(z)\delta z+{\zeta }_t^{\mathrm{T}}MJ\delta z,$$

или
$$\mathrm{\Phi }(H)=-\dot{H_z}M\mathcal{L}(z)\delta z+{\mathcal{L}}^{\ast }(t,z)\delta z,$$

где
$$\mathcal{L}(z)={\left(\frac{\partial \zeta }{\partial z}\right)}^{\mathrm{T}}M\left(\frac{\partial \xi }{\partial z}\right),{\mathcal{L}}^{\ast }(t,z)={\left(\frac{\partial \xi }{\partial t}\right)}^{\mathrm{T}}M\left(\frac{\partial \xi }{\partial z}\right)$$

Величина ${\mathcal{L}}^{\ast }(t,z)$, очевидно, является вектор-строкой, элементы которой равны скобкам Лагранжа $[t,z_k]$.

Условие интегрируемости формы $\mathrm{\Phi }(H)$ для всех $H$ можно свести к условиям интегрируемости таких величин
$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Phi }(0)& ={\mathcal{L}}^{\ast }(t,z)\delta z=\sum _k[t,z_k]\delta z_k,\\ \mathrm{\Phi }\left(y_k\right)& =-\sum _l[x_k,z_l]\delta z_l+\mathrm{\Phi }(0),\\ \mathrm{\Phi }\left(x_k\right)& =\sum _l[y_k,z_l]\delta z_l+\mathrm{\Phi }(0),\\ \mathrm{\Phi }\left(y_k{x}_j\right)& =\sum _l\{[y_j,z_l]y_k-[x_k,z_l,]x_j\}\delta z_l+\mathrm{\Phi }(0).\end{array}$$

Отсюда следует, что
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial z_j}[t,z_k]& =\frac{\partial }{\partial z_k}[t,z_j],\\ \frac{\partial }{\partial z_j}[x_k,z_l]& =\frac{\partial }{\partial z_l}[x_k,z_j],\\ \frac{\partial }{\partial z_j}[y_k,z_l]& =\frac{\partial }{\partial z_l}[y_k,z_j].\end{array}$$

В итоге получаем
$$\begin{array}{ccc}[y_j,z_l]=0& \text{ для }& z_{l}eq{x}_j,\\ [x_k,z_l]=0& \text{ для }& z_{l}eq{y}_k\end{array}$$

а также
$$[y_h,x_h]=-[x_l,y_l]=\text{ const }=\lambda .$$

Последнее соотношение получено с использованием первых трех выражений, откуда, применив тождество Якоби, находим
$$\frac{\partial }{\partial t}[z_k,z_j]=0,\frac{\partial }{\partial z_l}[z_k,z_j]=0.$$

В матричных обозначениях условия (1.2.6) можно переписать в виде
$$\mathcal{L}(z)=J^{\mathrm{T}}MJ=\lambda M.$$

Так как по предположению $|J|eq0$, то константа $\lambda$ не может быть равной нулю. Соотношение (1.2.7) выражает необходимое и достаточное условие каноничности преобразования. $\mathrm{G}$ другой стороны, так как $P(\mathit{z})=-\mathcal{L}(\mathit{z})$, то это условие может быть записано также с помощью матрицы Пуассона в виде
$$P(z)=JM{J}^{\mathrm{T}}=\lambda M.$$

Достаточность условия сразу же следует при подстановке в $(1.2.5)$, что дает
$$\mathrm{\Phi }\cdot (H)=\lambda H_z\delta z+{\mathcal{L}}^{\ast }(t,z)\delta z=\delta (\lambda H+W),$$

где $W(z,t)$ — функция, удовлетворяющая равенству
$$W_z\delta z={\mathcal{L}}^{\ast }(t,z)\delta z=\mathrm{\Phi }(0)$$

и являющаяся полным дифференциалом. При этих предположениях легко сделать следующее заключение.

Теорема (Якоби-Пуанкаре). Необходимым $и$ достатоцным условием каноничности неособенного преобразования $z\to \xi$, принадлежащего классу $C^2$, и того, что новый гамильтониан имеет вид
$$K:=\lambda H+W,$$

является условие: форма
$$\psi =\lambda {\mathit{x}}^{\mathrm{T}}d\mathit{y}-{\xi }^{\mathrm{T}}d\mathit{\eta }+Wdt$$

есть полный дифференциал.
Действительно,
$$\psi =(\lambda x^{\mathrm{T}}-{\xi }^{\mathrm{T}}\frac{\partial \eta }{\partial y})dy-{\xi }^{\mathrm{T}}\frac{\partial \eta }{\partial x}dx+(W-{\xi }^{\mathrm{T}}\frac{\partial \eta }{\partial t})dt$$

и условия интегрируемости для $\psi$ имеют вид
$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial x}(\lambda x^{\mathrm{T}}-{\xi }^{\mathrm{T}}\frac{\partial \mathit{\eta }}{\partial y})& =\frac{\partial }{\partial y}(-{\xi }^{\mathrm{r}}\frac{\partial \eta }{\partial x}),\\ \frac{\partial }{\partial t}(\lambda x^{\mathrm{T}}-{\xi }^{\mathrm{T}}\frac{\partial \mathit{\eta }}{\partial y})& =\frac{\partial }{\partial y}(W-{\xi }^{\mathrm{r}}\frac{\partial \eta }{\partial t}),\\ \frac{\partial }{\partial t}(-{\xi }^{\mathrm{T}}\frac{\partial \eta }{\partial x})& =\frac{\partial }{\partial x}(W-{\xi }^{\mathrm{r}}\frac{\partial \eta }{\partial t}),\end{array}$$

или в покомпонентной форме
$$\begin{array}{c}[z_k,z_l]=0(z_{k}eq{x}_l,z_{k}eq{x}_k),\\ [y_k,x_k]=\lambda ,[t,z_k]=\partial W/\partial z_k,\end{array}$$

что и завершает доказательство.
В заключение получим соотнощение Якоби — Пуанкаре. Из (1.2.12) находим
$$\psi =\lambda x^{\mathrm{T}}dy-{\xi }^{\mathrm{T}}d\mathit{\eta }+(K-\lambda H)dt,$$

п, следовательно, для каноничности преобразования необходимо лом, т. е.
$$\lambda {\mathit{x}}^{\mathrm{T}}dy-{\xi }^{\mathrm{r}}d\mathit{\eta }+(K-\lambda H)dt=dF,$$

где все функции считаются зависящими от переменных $\mathit{\eta }$, ร.
Множество всех матриц $A$, удовлетворяющих условию
$$A^{\mathrm{T}}MA\Leftarrow M,$$

образует группу (по отношению к умножению матриц), которая называется симплектической группой.

Случай $\lambda eq1$ обычно исключают из рассмотрения. Канонические (и, следовательно, симплектические) преобразования с $\lambda eq1$ еще и потому обычно не рассматривают, что они могут быть получены в виде произведения обычного канонического преобразования ( $\lambda =1$ ) и очень простого канонического преобразования $(\lambda eq1)$.
$$\xi =-\lambda x,\eta =y,$$

для которого в этом случае
$$J_0=\frac{\partial (\eta ,\xi )}{\partial (y,x)}=\left(\begin{array}{cc}I& 0\\ O& -\lambda I\end{array}\right)$$

легко видеть, что
$$J_0^{\mathrm{T}}M{J}_0=\lambda M.$$

Этот простой прием описан в книге Зигеля [65].
Исключая в дальнейшем случай $\lambda eq1$, необходимые и достаточные условия каноничности запишем в одном из двух видов:
$$\mathcal{L}(z)=J^{\mathrm{T}}MJ=M,P(z)=JM{J}^{\mathrm{T}}=M,$$

где
$$J=\frac{\hat{\sigma }(z,t)}{\partial z}.$$

Условие Якоби-Пуанкаре запишется тогда так:
$${\mathit{x}}^{\mathrm{T}}d\mathit{y}-{\mathit{\xi }}^{\mathrm{T}}d\mathit{\eta }+(K-H)dt=dF.$$

Если преобразование не зависит явно от времени $t$, то оно называется полностью каноническим, а если $dF=0$, то однородным ${}^1$ ),

Из результатов, полученных в § 1 , мы также можем заключить, что преобразование, определяемое решением гамильтоновой системы уравнений и отображающее фазовое пространство на себя, является каноническим. Свойство сохранения объема было уже установлено выше. Тогда в более строгом виде эти утверждения можно сформулировать так.

Пусть $\dot{z}=$ М ${}_z^{\mathrm{T}}$-гамильтонова система уравнений, и пусть существует единственное решение $\mathit{z}=\mathit{z}(\zeta ,t)$, проходящее через
1) Под однородным автор, по-видимому, понимает такое каноническое преобразование, при котором координаты и импульсы не «перепутываются», т. е. координаты переходят в координаты, импульсы — в импульсы: $x=x(\xi ,t),y=y(\eta ,t)$. Иногда такие преобразования называют еще roчечными каноницескими преобразованиями. См., например, [44. 2], [1*], [2*] (прим. перев.).

точку $\mathit{z}=\zeta$ при $t=t_0$. Предположим, что вектор-функция $\mathit{z}(\zeta ,t)$ принадлежит классу $C^2$ относительно $2n+1$ переменных $\mathit{z}$, $\mathit{t}\mathit{\theta }$ опрестности точки $z=\zeta$ и при достаточно малых $|t-t_0|$. Тогда отображение $\mathit{\zeta }\to \mathit{z}$, определяемое решением $\mathit{z}=\mathit{z}(\mathit{\zeta },\mathit{t})$, будет сохранять объем и будет каноническим.