Неособенное преобразование $\boldsymbol{z} \rightarrow \zeta$, принадлежащее классу $C^{2}$, называется каноническим, если оно переводит каждую гамильтонову систему $\dot{z}=$ М $_{z}^{\mathrm{T}}$ в гамильтонову систему $\dot{\zeta}=M K_{\xi}^{\mathrm{T}}$.

Это свойство является чисто локальным, однако опять можно быть уверенным в полезности возможного глобального распространения такого определения и его следствий на некоторую область фазового пространства. Пусть $z=\operatorname{col}(y, x), \zeta=\operatorname{col}(\eta, \xi)$ векторы размерности $2 n$. Инвариантность гамильтоновой формы уравнений подразумевает, что преобразование будет каноническим тогда и только тогда, когда форма
\[
\Phi(H)=\sum_{k=1}^{n}\left(\dot{\eta}_{k} \delta \xi_{k}-\dot{\xi}_{k} \delta \eta_{k}\right)
\]

будет полным дифференщиалом для всех $H$.
Из (1.2.1) мы выведем необходимое и достаточное условие каноничности преобразования (см. [6]). Заметим, что (1.2.1) $2 *$

можно переписать в виде
\[
\Phi(H)=\dot{\zeta}^{r} M \delta \zeta .
\]

Более того, для данного преобразования
\[
\zeta=\zeta(z, t)
\]

мы имеем
\[
\dot{\zeta}=J \dot{z}+\xi_{t},
\]

где $J$ – матрица Якоби $J=\partial \xi / \partial z$. Отсюда следует, что
\[
\dot{\zeta}=J M H_{z}^{\mathrm{T}}+\xi_{t}
\]

а из (1.2.2) получаем
\[
\Phi(H)=\left(-H_{z} M J^{\mathrm{T}}+\xi_{t}^{\mathrm{T}}\right) M \delta \zeta,
\]

или, учитывая равенство $\delta \xi=J \delta z$, имеем
\[
\Phi(H)=-H_{z} M \mathscr{L}(z) \delta z+\zeta_{t}^{\mathrm{T}} M J \delta z,
\]

или
\[
\Phi(H)=-\dot{H_{z}} M \mathscr{L}(z) \delta z+\mathscr{L}^{*}(t, z) \delta z,
\]

где
\[
\mathscr{L}(z)=\left(\frac{\partial \zeta}{\partial z}\right)^{\mathrm{T}} M\left(\frac{\partial \xi}{\partial z}\right), \quad \mathscr{L}^{*}(t, z)=\left(\frac{\partial \xi}{\partial t}\right)^{\mathrm{T}} M\left(\frac{\partial \xi}{\partial z}\right)
\]

Величина $\mathscr{L}^{*}(t, z)$, очевидно, является вектор-строкой, элементы которой равны скобкам Лагранжа $\left[t, z_{k}\right]$.

Условие интегрируемости формы $\Phi(H)$ для всех $H$ можно свести к условиям интегрируемости таких величин
\[
\begin{aligned}
\Phi(0) & =\mathscr{L}^{*}(t, z) \delta z=\sum_{k}\left[t, z_{k}\right] \delta z_{k}, \\
\Phi\left(y_{k}\right) & =-\sum_{l}\left[x_{k}, z_{l}\right] \delta z_{l}+\Phi(0), \\
\Phi\left(x_{k}\right) & =\sum_{l}\left[y_{k}, z_{l}\right] \delta z_{l}+\Phi(0), \\
\Phi\left(y_{k} x_{j}\right) & =\sum_{l}\left\{\left[y_{j}, z_{l}\right] y_{k}-\left[x_{k}, z_{l},\right] x_{j}\right\} \delta z_{l}+\Phi(0) .
\end{aligned}
\]

Отсюда следует, что
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial z_{j}}\left[t, z_{k}\right] & =\frac{\partial}{\partial z_{k}}\left[t, z_{j}\right], \\
\frac{\partial}{\partial z_{j}}\left[x_{k}, z_{l}\right] & =\frac{\partial}{\partial z_{l}}\left[x_{k}, z_{j}\right], \\
\frac{\partial}{\partial z_{j}}\left[y_{k}, z_{l}\right] & =\frac{\partial}{\partial z_{l}}\left[y_{k}, z_{j}\right] .
\end{aligned}
\]

В итоге получаем
\[
\begin{array}{ccc}
{\left[y_{j}, z_{l}\right]=0} & \text { для } & z_{l}
eq x_{j}, \\
{\left[x_{k}, z_{l}\right]=0} & \text { для } & z_{l}
eq y_{k}
\end{array}
\]

а также
\[
\left[y_{h}, x_{h}\right]=-\left[x_{l}, y_{l}\right]=\text { const }=\lambda .
\]

Последнее соотношение получено с использованием первых трех выражений, откуда, применив тождество Якоби, находим
\[
\frac{\partial}{\partial t}\left[z_{k}, z_{j}\right]=0, \quad \frac{\partial}{\partial z_{l}}\left[z_{k}, z_{j}\right]=0 .
\]

В матричных обозначениях условия (1.2.6) можно переписать в виде
\[
\mathscr{L}(z)=J^{\mathrm{T}} M J=\lambda M .
\]

Так как по предположению $|J|
eq 0$, то константа $\lambda$ не может быть равной нулю. Соотношение (1.2.7) выражает необходимое и достаточное условие каноничности преобразования. $\mathrm{G}$ другой стороны, так как $P(\boldsymbol{z})=-\mathscr{L}(\boldsymbol{z})$, то это условие может быть записано также с помощью матрицы Пуассона в виде
\[
P(z)=J M J^{\mathrm{T}}=\lambda M .
\]

Достаточность условия сразу же следует при подстановке в $(1.2 .5)$, что дает
\[
\Phi \cdot(H)=\lambda H_{z} \delta z+\mathscr{L}^{*}(t, z) \delta z=\delta(\lambda H+W),
\]

где $W(z, t)$ – функция, удовлетворяющая равенству
\[
W_{z} \delta z=\mathscr{L}^{*}(t, z) \delta z=\Phi(0)
\]

и являющаяся полным дифференциалом. При этих предположениях легко сделать следующее заключение.

Теорема (Якоби-Пуанкаре). Необходимым $и$ достатоцным условием каноничности неособенного преобразования $z \rightarrow \xi$, принадлежащего классу $C^{2}$, и того, что новый гамильтониан имеет вид
\[
K:=\lambda H+W,
\]

является условие: форма
\[
\psi=\lambda \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} d \boldsymbol{y}-\xi^{\mathrm{T}} d \boldsymbol{\eta}+W d t
\]

есть полный дифференциал.
Действительно,
\[
\psi=\left(\lambda x^{\mathrm{T}}-\xi^{\mathrm{T}} \frac{\partial \eta}{\partial y}\right) d y-\xi^{\mathrm{T}} \frac{\partial \eta}{\partial x} d x+\left(W-\xi^{\mathrm{T}} \frac{\partial \eta}{\partial t}\right) d t
\]

и условия интегрируемости для $\psi$ имеют вид
\[
\begin{aligned}
\frac{\partial}{\partial x}\left(\lambda x^{\mathrm{T}}-\xi^{\mathrm{T}} \frac{\partial \boldsymbol{\eta}}{\partial y}\right) & =\frac{\partial}{\partial y}\left(-\xi^{\mathrm{r}} \frac{\partial \eta}{\partial x}\right), \\
\frac{\partial}{\partial t}\left(\lambda x^{\mathrm{T}}-\xi^{\mathrm{T}} \frac{\partial \boldsymbol{\eta}}{\partial y}\right) & =\frac{\partial}{\partial y}\left(W-\xi^{\mathrm{r}} \frac{\partial \eta}{\partial t}\right), \\
\frac{\partial}{\partial t}\left(-\xi^{\mathrm{T}} \frac{\partial \eta}{\partial x}\right) & =\frac{\partial}{\partial x}\left(W-\xi^{\mathrm{r}} \frac{\partial \eta}{\partial t}\right),
\end{aligned}
\]

или в покомпонентной форме
\[
\begin{array}{c}
{\left[z_{k}, z_{l}\right]=0 \quad\left(z_{k}
eq x_{l}, \quad z_{k}
eq x_{k}\right),} \\
{\left[y_{k}, x_{k}\right]=\lambda, \quad\left[t, z_{k}\right]=\partial W / \partial z_{k},}
\end{array}
\]

что и завершает доказательство.
В заключение получим соотнощение Якоби – Пуанкаре. Из (1.2.12) находим
\[
\psi=\lambda x^{\mathrm{T}} d y-\xi^{\mathrm{T}} d \boldsymbol{\eta}+(K-\lambda H) d t,
\]

п, следовательно, для каноничности преобразования необходимо лом, т. е.
\[
\lambda \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} d y-\xi^{\mathrm{r}} d \boldsymbol{\eta}+(K-\lambda H) d t=d F,
\]

где все функции считаются зависящими от переменных $\boldsymbol{\eta}$, ร.
Множество всех матриц $A$, удовлетворяющих условию
\[
A^{\mathrm{T}} M A \Leftarrow M,
\]

образует группу (по отношению к умножению матриц), которая называется симплектической группой.

Случай $\lambda
eq 1$ обычно исключают из рассмотрения. Канонические (и, следовательно, симплектические) преобразования с $\lambda
eq 1$ еще и потому обычно не рассматривают, что они могут быть получены в виде произведения обычного канонического преобразования ( $\lambda=1$ ) и очень простого канонического преобразования $(\lambda
eq 1)$.
\[
\xi=-\lambda x, \quad \eta=y,
\]

для которого в этом случае
\[
J_{0}=\frac{\partial(\eta, \xi)}{\partial(y, x)}=\left(\begin{array}{cc}
I & 0 \\
O & -\lambda I
\end{array}\right)
\]

легко видеть, что
\[
J_{0}^{\mathrm{T}} M J_{0}=\lambda M .
\]

Этот простой прием описан в книге Зигеля [65].
Исключая в дальнейшем случай $\lambda
eq 1$, необходимые и достаточные условия каноничности запишем в одном из двух видов:
\[
\mathscr{L}(z)=J^{\mathrm{T}} M J=M, \quad P(z)=J M J^{\mathrm{T}}=M,
\]

где
\[
J=\frac{\hat{\sigma}(z, t)}{\partial z} .
\]

Условие Якоби-Пуанкаре запишется тогда так:
\[
\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} d \boldsymbol{y}-\boldsymbol{\xi}^{\mathrm{T}} d \boldsymbol{\eta}+(K-H) d t=d F .
\]

Если преобразование не зависит явно от времени $t$, то оно называется полностью каноническим, а если $d F=0$, то однородным ${ }^{1}$ ),

Из результатов, полученных в § 1 , мы также можем заключить, что преобразование, определяемое решением гамильтоновой системы уравнений и отображающее фазовое пространство на себя, является каноническим. Свойство сохранения объема было уже установлено выше. Тогда в более строгом виде эти утверждения можно сформулировать так.

Пусть $\dot{z}=$ М $_{z}^{\mathrm{T}}$-гамильтонова система уравнений, и пусть существует единственное решение $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{z}(\zeta, t)$, проходящее через
1) Под однородным автор, по-видимому, понимает такое каноническое преобразование, при котором координаты и импульсы не «перепутываются», т. е. координаты переходят в координаты, импульсы – в импульсы: $x=x(\xi, t), y=y(\eta, t)$. Иногда такие преобразования называют еще roчечными каноницескими преобразованиями. См., например, [44. 2], [1*], [2*] (прим. перев.).

точку $\boldsymbol{z}=\zeta$ при $t=t_{0}$. Предположим, что вектор-функция $\boldsymbol{z}(\zeta, t)$ принадлежит классу $C^{2}$ относительно $2 n+1$ переменных $\boldsymbol{z}$, $\boldsymbol{t} \boldsymbol{\theta}$ опрестности точки $z=\zeta$ и при достаточно малых $\left|t-t_{0}\right|$. Тогда отображение $\boldsymbol{\zeta} \rightarrow \boldsymbol{z}$, определяемое решением $\boldsymbol{z}=\boldsymbol{z}(\boldsymbol{\zeta}, \boldsymbol{t})$, будет сохранять объем и будет каноническим.