Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике До сих пор мы имели дело с задачей построения решения в окрестности положения равновесия, начиная эти построения с линейных гармонических колебаний, соответствующих нормальным колебаниям. Теперь мы займемся более общей задачей, т. е. Изучение нелинейного осцилятора и выяснение эффектов влияния на него возмущений погребует точного знания всех особых точек фазового пространства, определения сепаратрис, седел и центров, а также областей колебательного или вращательного характера движения. Разумеется, все эти понятия широко известны, и их подробное описание можно найти, например, в работах $[64,74,54,65,28,2]$. Эти книги являются основными также и для большинства других обсуждаемых в этой главе вопросов, хотя работы Мозера [51-63] наиболее близки к излагаемым здесь вопросам. Ряд ценных замечаний относительно рассматриваемых вопросов содержится в работе Кинера [52], но, к сожалению, она малодоступна. Рассмотрим сначала автономную гамильтонову систему, определяемую гамильтонианом $H(q, p)$ в некоторой области $D$ фазового пространства. В области $D$ функция $H$ имеет конечное число особых точек (типа центр или седло). Здесь сепаратрисы определяются просто как траектории, соединяющие (в предельном смысле) две седловые точки, которые могут в конечном счете совпасть. Во внутренней по отношению к сепаратрисе области всегда существует центр. Для систем с числом степеней свободы, большим единицы, некоторые из этих понятий сразу же обобщить нельзя. В предыдущих параграфах мы описали получение решений в виде рядов (в конечном счете, только формальных), описывающих движение з окрестности устойчивого положения равновесия. Здесь мы до некоторой степени расширим задачу, получив формальные ряды, описывающие решение в окрестности центра (т. е. в колебательной области) и в окрестности вращательного движения (т. е. во вращательной области). В первом случае одна или более угловых переменных ограничены теми или иными пределами в общем интервале, меньшем чем $2 \pi$, в то время как во втором случае все угловые переменные неограничены. Мы предположим, что гамильтониан можно разбить на конечное или счетное число частей, т. е. где для простоты будем считать $H_{k}=O\left(\varepsilon^{k}\right)$, хотя наличие «малого параметра» $\varepsilon$ несущественно. Тем не менее, его использование упрощает вывод многих формул. Мы также будем рассматривать следующие предположения. a) Движение с функцией Гамильтона $H_{0}$ является интегрируемым и, следовательно, если надо, ее можно записать в виде функции только импульсов (или координат). Последнее предположение, по существу, совпадает с утверждением теоремы Колмогорова, в которой, разумеется, должна быть еще исключена линейная зависимость между частотами движения, соответствующего гамильтониану $H_{0}$. Так как эти частоты предполагаются непрерывно зависящими от амплитуд, то можно исключить такое множество начальных условий, которое приводит к различного рода «неприятностям». Вопрос теперь заключается в том, как можно описать движение в окрестности резонансной области (критической точки). Сначала мы изучим системы с одной степенью свободы, т. е. системы, которые в принципе сводятся к квадратурам. Следовательно, это рассмотрение служит только для целей дальнейшего обобщения результатов. со скалярными величинами $p, q$, а $H_{k}=O\left(\varepsilon^{k}\right), H_{k}=\sum_{ Мы также предноложим, что при $\varepsilon п ее гессиан будет отличен от нуля в окрестности некоторого решения этой системы (5.5.1). В силу сделанных предположений система (5.5.1) имеет по крайней мере два решения: максимум и минимум в области $D^{1}$ ). Пусгь точка минимума определяется координатами ( $\bar{p}, \bar{q}$ ), где Из аналитичности функции $H$ в области $D$ следует, что существует такое $\delta=\delta(H, \varepsilon)>0$, что при $\left|p-p_{0}\right| \leqslant \delta, p \in D$, и $0 \leqslant$ $\leqslant q<2 \pi$ выполнены неравенства где $s>0$, а $\Omega_{0}$ не зависит от $\varepsilon, \delta$ и $k=1, \ldots, m$. Пусть каноническое нормализующее преобразование определяется производящей функцией где функция $\Delta S$ определена в некоторой области $\Omega$ по $P$ при $0 \leqslant q<2 \pi$ и имеет порядок $O\left(\varepsilon^{r}\right)(r>0)$. Величина $r$ зависит от $s$, от порядка $\alpha$ наинизших членов в $H$, содержащих угловую переменную $q$, и от $m$. Предполагается также, что новый гамильтониан $K(P)$ может быть записан в виде где функция $\Delta K(P)$ определена в области $\Omega$ и имеет некоторый порядок $O\left(\varepsilon^{\beta}\right) \quad(\beta>0)$. Все вещественные числа $s, r, \beta$ априори неизвестны и должны быть определены по числам $\alpha, m$. разложенное в ряд Тейлора, дает так что, как и обычно, $K_{0}(P)=H_{0}(P)$. Следующее приближение в $S$ (в $\Delta S$ ) надо использовать для уничтожения $q$ в $H_{\alpha}(P, q)$, если предполагается, что все функции $H_{1}, \ldots, H_{\alpha-1}$ не зависят от $q$. В силу сделанных предположений получаем, что прл достаточно малых $\varepsilon$ функция $\Delta S$ должна удовлетворять уравнению где $\alpha \geqslant 1, m \geqslant 1$ – заданные целые числа. Кроме того, положим где Из уравнения (5.5.6) следуют соотношения так что необходимо выполнение равенства которое является решением уравнений (5.5.8) для всех $k$. В случае $\alpha=1$ и $m=1$ мы получаем классический результат $r=s=1 / 2$, т. е. разложения $S(P, q)$ п $K(P)$ ведутся по степеням квадратного корня из малого параметра $\varepsilon$. Идея разложения по степеням квадратного корня очень стара и, как уже упоминалось выше, вытекает из теории Вейерштрасса об умножении степенных рядов. Она естественным образом появилась из работ Бохлина [13] о колебательных двшжениях. В наших работах мы в основном полагали, что вблизи $p_{0}$ функция $H$ ведет себя как где $f\left(p_{0}, q\right) так как легко проверить, что $K_{0}(P)=H_{0}(P), K_{1 / 2}(P)=\theta$. Из (5.5.5) следует, что уравнение первого порядка для определения функций $S_{1 / 2}$ и $K_{1}$ пмеет вид где штрихи означают дифференцирование по $P$. где функция $\bar{q}_{1}(P)$ такова, что для всех $P \in \Omega$. Ясно, что так как функция $H$ аналитична, то $\bar{q}-\bar{q}_{1}(\bar{p})=O(\varepsilon)$ пли $\bar{q}-\bar{q}_{1}\left(p_{0}\right)=O(\varepsilon)$. Пусть так что, очевидно, функция $F_{1}(P, q)$ положительна при $P \in \Omega$ и $0 \leqslant q<2 \pi$, за исключением значений $q=\bar{q}_{1}(P)$, при которых она равна нулю. Фунћция $S_{1 / 2}$ теперь определяется из уравнения Бохлина При $q=\bar{q}_{1}(P)$ п $P=p_{0}$ нолучаем, что $\partial S_{1 / 2} / \partial q=0$. Так как в этом прибллижении то из предыдущего равенства находим, что рассматриваемая неподвижная точка является центром, если $S_{1 / 2}$ удовлетворяет равенству $\partial S_{1 / 2} / \partial P=0$ при $P=p_{0}$. где $F(P, q)>0, F\left(P, \vec{q}_{1}(P)\right)=0$, а $A=O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$ и $B$ ограничено снизу при малом $\varepsilon$. При этих условиях получаем, что, так как функция $F(P, q)$ является периодической по $q$, то она является также четной функцией этой переменной, т. е. $F(P, q)=$ $=F(P,-q)$ и, следовательно, ее можно записать в виде Пусть всегда выполнено равенство Тогда функция $\sigma$, зависящая от $P$, больше нуля. Функция такова, что и она, следовательно, может быть записана в виде где Будем предполагать, что Исключая тогда случай $A=0$, получим где $R=A / B$. Мы также предположим, что $A>0$. Случай $A<0$ соответствует аналогичной формуте с заменой $A$ па $|A|$ и соответствующей заменой знаков. Так как в последнем случае требуется выполнение точного равенства, то он имеет значение только в предельном цриближении к $S$, и то, если ряд для $S$ сходится. Если $\sigma<1$, то функция $\Psi(P, q)$ не может достичь своего предельного значения (единицы), т. е. существуют такие значения $q=q_{1}, q=q_{2}$, что и в рассмотренном выше случае $q_{1}=-q_{2}$. Значения $q_{1}$ и $q_{2}$ являются граничными точками колебаний. Если $\sigma>1$, то функдия $\Psi(P, q)$ принимает все возможные значения, угол $q$ неограничен и $q$ имеет (в среднем) постоянный знак. Теперь введем модуль $k=\min \left(\sigma, \sigma^{-1}\right)$ п эллиптический интеграл $u$, определяемый формулой или где $\operatorname{sn} u=\operatorname{sn}(u, k)$ – эллиптическая функция Якоби sn с модулем $k$ и амплитудой $\varphi$, которая определяется формулой или формулой В обоих случаях максимальное значение амплитуды равно $\pi / 2$ и совпадает с $q=q_{1}$ или $q=q_{2}$ (колебания) или с $q=\pi / 2$ (вращения). Переменная $u$ совершает полный оборот с периодом $4 K$, где $K$ – полный эллиптический интеграл первого рода $u\left(\frac{\pi}{2}, k\right)$. Модуль $k$ зависит от $P$. или в случае колебаний и вращений соответственно. Знаки плюс или минус, разумеется, несущественны, так как функция сп $u$ изменяет знак через каждую половину периода $2 K$, при вещественных значениях $u$ функция dn $u$ всегда положительна. Рассмотрим случай, когда $\Psi$ – четная функция и $q_{2}=-q_{1}$, т. е. имеются симметричные колебания относите.тьно колебательного центра. Отсюда следует, что и В обоих случаях мы можем написать где $\left|B_{j}\right|<B_{0} \quad(j \geqslant 1), B_{0} \approx \sigma^{2}$ в случае котейаний п $B_{0} \approx 1$ в случае вращений. Мы также находим, что где $C_{0}(L)=\sigma$ и $C_{0}(C)=1$. Кроме того, $\left|C_{j}\right|<C_{0}$ при $j \geqslant 1$. Выражение для $\cos q$ зависит от типа движения. В общем случае мы имеем В случае колебаний $B_{0} \approx \sigma^{2}=k^{2}$, так что добавляя и вычитая величину $\sigma^{2} \operatorname{sn}^{2} u$, находим и все коаффициенты $\left|B_{0}-\sigma^{2}\right|,\left|B_{1}\right|, \ldots$ малы по сравнению с единицей. Так как $k=\sigma<1$, то из выпнсанных выше рядов мы получим сходящееся выражение где $\left|D_{j}\right|<1$. где коэффициенты $\left|B_{0}-1\right|,\left|B_{1}\right|, \ldots$ малы по сравнению с единицей. Следовательно, где $\left|E_{i j}\right|<1$. В случае колебаний находим где $F_{0} \approx \sigma$. Отсюда следует выражение которое в общем случае состоит из эллиптических интегралов, представленных сходящимися рядами Фурье относительно $\sin (j \pi u / 2 K)$ плюс линейный член по $u$. Аналогичный характер пмеет связь между $q_{L}$ п $u$, т. е. где $F_{0} \approx \sigma$. Существенно, что переменная $p$ находится из соотношения и в случае колебаниї так что $p$ колеблется около среднего значения п минимального значеншя при $u=2 K$. где $G_{00} \approx 1$ и $\left|G_{i j}\right|<1$ для всех других индексов. Следовательно, имеем выражение которое также состоит из эллиптиеских интегралов, предетавляемых рядами Фурье по $u$. В этом случае находим п среднее значение $p$ определяется формулой где Максимальное значение $p$ соответствует величине $u=0,2 K, 4 K$ $(q=0)$, а минимальное – $u=\bar{K}, 3 K\left(q=q_{1}\right.$ или $\left.q=q_{2}\right)$.
|
1 |
Оглавление
|