Рассмотрим $n$-мерное векторное пространство и неособенное вещественное аналитическое преобразование точки $x$ в точку $y$ этого пространства, определяемое формулами
\[
\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}+\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{m}}{m !} y_{m}(x)
\]

где $\boldsymbol{y}_{m}-n$-мерные векторы, а $\varepsilon$ – параметр, не зависящий от $\boldsymbol{x}$. При $\varepsilon=0$ преобразование (1.7.1) будет тождественным, а при достаточно малых $\varepsilon$ и при условии сходимости рядов (1.7.1) это преобразование будет близко к тождественному. Однако мы будем считать выражения вида (1.7.1) лишь формальными рядами и применять ₹ ним все правила операций со сходяцимися рядами (см., например, [11]).

Одной из целей всех последующих выкладок является создание простого алгоритма преобразования произвольной векторной функции $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\varepsilon})$ после применения преобразования фазовых переменных по формулам (1.7.1). Результат мы хотим получить в виде степенного ряда по $\varepsilon$, т. е. хотим найти коэффициенты в разложении
\[
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{y}(\boldsymbol{x}, \varepsilon), \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \boldsymbol{F}_{n}(\boldsymbol{x}) .
\]

Ясно, что для того, чтобы ряды (1.7.2) существовали, векторная функция $\boldsymbol{F}$ должна быть вещественной и аналитической по $\varepsilon$ при $\varepsilon=0$. Предположим также, что она является вещественной аналитической функцией по $y$. Хори [35, 36] и Кэмел [37] независимо развили два разных алгоритма, главная цель которых состоит в решении при помощи формальных рядов задач нелинейных колебаний. Описание применений этих алгоритмов будет приведено в следующей главе. Здесь мы ограничимся описанием упомянутых выше формальных разложений.

По цредположению функцию $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \varepsilon)$ можно разложить в ряда
\[
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon})=\left.\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !}\left(\frac{\partial^{n} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon})}{\partial \varepsilon^{n}}\right)\right|_{\varepsilon=0}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \boldsymbol{F}_{n}(\boldsymbol{x}),
\]

а также в ряд
\[
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{y}, \varepsilon), \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \boldsymbol{F}^{(n)}(y),
\]

где
\[
\boldsymbol{F}^{(n)}=\left.\frac{d^{n}}{d \varepsilon^{n}} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \varepsilon)\right|_{\varepsilon=0}=\left.\left(\frac{\partial}{\partial \varepsilon}+\frac{\partial x}{\partial \varepsilon} \frac{\partial}{\partial x}\right)^{n} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{y}, \varepsilon), \varepsilon)\right|_{\varepsilon=0},
\]

а преобразование $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(\boldsymbol{y}, \varepsilon)$ является обратным к преобразованию (1.7.1) и оно предполагается существующим.
Обращая (1.7.1), мы можем также записать
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \boldsymbol{X}^{(n)}(\boldsymbol{y})
\]

так что
\[
\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \varepsilon}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \boldsymbol{X}^{(n+1)}(\boldsymbol{y}) .
\]

Выражение для $\partial x / \partial \varepsilon$ ясно указывает, что переменные $\boldsymbol{y}$ прт этом считаются постоянными. Выражение (1.7.6) можно записать так:
\[
\frac{\partial x}{\partial \varepsilon}=T(x, \varepsilon),
\]

где
\[
T(x, \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} X^{(n+1)}(y)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} T_{n+1}(x) .
\]

Тогда имеем
\[
\frac{d}{d \varepsilon}=\frac{\partial}{\partial \varepsilon}+\frac{\partial x}{\partial \varepsilon} \frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial \varepsilon}+T(x, \varepsilon) \frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial \varepsilon}+L_{T},
\]

где оператор $L_{\boldsymbol{T}}$, определяемый выражением
\[
L_{\boldsymbol{T}}=\boldsymbol{T}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon}) \frac{\partial}{\partial \boldsymbol{x}},
\]

действует на произвольную вешественную аналитическую функцию $f(x, \varepsilon)$. В последнем выражении $\boldsymbol{T}(\boldsymbol{x}, \varepsilon)$ считается $n$-мерной вектор-строкой, а $\partial / \partial \boldsymbol{x}-n$-мерными вектор-столбцами. Теперь мы получаем
\[
\begin{array}{l}
\frac{\boldsymbol{d}}{d \varepsilon} \boldsymbol{F}(x, \varepsilon)= \frac{d}{d \varepsilon} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \boldsymbol{F}_{n}(x)= \\
=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \boldsymbol{F}_{n+1}(x)+\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \sum_{m=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{m}}{m !} T_{n+1} \frac{\partial \boldsymbol{F}_{n}(x)}{\partial x}= \\
=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \boldsymbol{F}_{n}^{(1)}(x),
\end{array}
\]

где
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{F}_{n}^{(1)}(x)=\boldsymbol{F}_{n+1}(x)+\sum_{m=0}^{n} & C_{n}^{m} \boldsymbol{T}_{n-m+1}(x) \frac{\partial \boldsymbol{F}_{m}}{\partial x}= \\
& =\boldsymbol{F}_{n+1}(x)+\sum_{p=0}^{n} C_{n}^{p} T_{p+1}(x) \frac{\partial \boldsymbol{F}_{n-p}}{\partial x}
\end{aligned}
\]

В общем случае мы получаем
\[
\frac{d^{k}}{d \varepsilon^{k}} \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \varepsilon)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \boldsymbol{F}_{n}^{(k)}(x)
\]

где
\[
\boldsymbol{F}_{n}^{(k)}(x)=\boldsymbol{F}_{n+1}^{(k-1)}(x)+\sum_{m=0}^{n} C_{n}^{m} \boldsymbol{T}_{m+1}(x) \frac{\partial \boldsymbol{F}_{n-m}^{(k-1)}}{\partial x}
\]

при $k \geqslant 1$ и $n \geqslant 0$, а
\[
\boldsymbol{F}_{n}^{(0)}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{F}_{n}(x), \quad \boldsymbol{F}_{0}^{(k)}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{F}^{(k)}(\boldsymbol{x})=\left.\boldsymbol{F}^{(k)}(\boldsymbol{y})\right|_{\boldsymbol{y}=\boldsymbol{x}} .
\]

Уравнение (1.7.14) является основой рекуррентного алгоритма получения коэффициентов $\boldsymbol{F}^{(n)}(\boldsymbol{x})$ по $\boldsymbol{F}_{n}(\boldsymbol{x})$ в рядах (1.7.4) и (1.7.3). Наименование переменных, разумеется, является условным. Соответствующие формулы получения коэффициентов $F_{n}(x)$ по коәффициентам $\boldsymbol{F}^{(n)}(\boldsymbol{x})$ имеют вид
\[
\boldsymbol{F}_{n}^{(k)}=\boldsymbol{F}_{n-1}^{(k+1)}-\sum_{m=0}^{n-1} C_{n-1}^{m} \boldsymbol{T}_{m+1}(\boldsymbol{x}) \frac{\partial \boldsymbol{F}_{n-m-1}^{(k)}}{\partial \boldsymbol{x}},
\]

где $n \geqslant 1$ и $k \geqslant 0$.
Последовательная подстановка формул (1.7.16) друг в друга, начиная с $n=1$, дает
\[
\boldsymbol{F}_{n}^{(k)}=\sum_{j=0}^{n} C_{n}^{j} N_{j}\left(\boldsymbol{F}^{(k+n-j)}\right),
\]

где $n \geqslant 1, k \geqslant 0$, а линейные операторы $N_{j}(j \geqslant 0)$ определяются формулами
\[
\begin{array}{l}
N_{0}=1, \\
N_{j}=-\sum_{m=1}^{j} C_{j-1}^{m-1} N_{j-m}\left\{T_{m}(x) \frac{\partial}{\partial x}\right\}=-\sum_{m=1}^{j} C_{j-1}^{m-1} N_{j-m} L_{m}
\end{array}
\]

при $j \geqslant 1$ п
\[
L_{m}=T_{m}(x) \frac{\partial}{\partial x} .
\]

Например, первые несколько операторов $N_{i}$ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
N_{0}=1, \\
N_{1}=-L_{1}, \\
N_{2}=-N_{1} L_{1}-L_{2}, \\
N_{3}=-N_{2} L_{1}-2 N_{1} L_{2}-L_{3}, \\
\text {. . . . . . . . . . }
\end{array}
\]

В частности, при $k=0$ уравнения (1.7.17) дают
\[
\boldsymbol{F}_{n}^{0}=\sum_{j=0}^{n} C_{n}^{j} N_{j}\left(\boldsymbol{F}^{(n-j)}\right)
\]

что можно переписать так
\[
\boldsymbol{F}_{n}=\sum_{j=0}^{n} C_{n}^{j} \boldsymbol{F}_{j, n-j}
\]

где
\[
\boldsymbol{F}_{j, k}=-\sum_{m=1}^{j} C_{j-1}^{m-1} L_{m} \boldsymbol{F}_{j-m, k} .
\]

Здесь го определению
\[
\boldsymbol{F}_{0, k}=\boldsymbol{F}^{(\boldsymbol{k})} .
\]

Формулы (1.7.20) дают возможность рекуррентного получения величин $\boldsymbol{F}^{(\boldsymbol{n})}$ через $\boldsymbol{F}_{n}$ или величин $\boldsymbol{F}_{n}$ через $\boldsymbol{F}^{(n)}$. Как было обнаружено Кәмелом, они являются наиболее простыми из всех возможных формул.

Векторное преобразование. Коэффициенты $y_{n}(x)$ в (1.7.1). теперь можно легко получить по формулам (1.7.16), примененным в специальном случае (1.7.3). Тогда получаем .
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{F}^{(0)} & =\boldsymbol{F}=\boldsymbol{y}, \\
\boldsymbol{F}^{(k)} & =0, \quad k>0, \\
\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{\theta}} & =\boldsymbol{y}_{0}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}, \\
\boldsymbol{F}_{\boldsymbol{n}}^{(0)} & =\boldsymbol{F}_{n}=\boldsymbol{y}_{n}(\boldsymbol{x}) .
\end{aligned}
\]

Действительно, формулы (1.7.16) в этом случае дают
\[
y_{n}(x)=-\sum_{m=0}^{n-1} C_{n-1}^{m} T_{m+1}(x) \frac{\partial y_{n-m-1}(x)}{\partial x}
\]

или, считая $p=m+1$,
\[
y_{n}(x)=-\sum_{p=1}^{n} C_{n-1}^{\mathrm{p}-1} T_{p}(x) \frac{\partial y_{n-p}(x)}{\partial x}
\]

или
\[
y_{n}(x)=-T_{n}(x)-\sum_{p=1}^{n-1} C_{n-1}^{p-1} T_{p}(x) \frac{\partial y_{n-p}(x)}{\partial x} .
\]

Обратное преобразование получается из (1.7.14) или непосредственно из (1.7.21).
Действительно, в обозначениях выражений (1.7.4) получаем
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}(\boldsymbol{y}, \varepsilon), \boldsymbol{\varepsilon})=\boldsymbol{x}, \\
\boldsymbol{F}^{(0)}=\boldsymbol{y}, \quad \boldsymbol{F}^{(n)}(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{X}^{(n)}(\boldsymbol{y}),
\end{array}
\]
и
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} \boldsymbol{X}^{(n)}(\boldsymbol{y}) .
\]

Рекуррентные соотношения (1.7.21) с учетом (1.7.8) дают
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{X}_{j, k}(y)=-\sum_{m=1}^{j} C_{j-1}^{m-1} T_{m}(y) \frac{\partial}{\partial y} X_{j-m, k}(y), \\
\boldsymbol{X}^{(n)}(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{T}_{n}(\boldsymbol{y})-\sum_{j=1}^{n-1} C_{n-1}^{j} \boldsymbol{X}_{j, n-j}(y),
\end{array}
\]

где
\[
\boldsymbol{X}_{0, k}=\boldsymbol{X}^{(k)}(\boldsymbol{y}) .
\]

Применения полученных выше результатов будут описаны в следующей главе, хде мы будем иметь дело с проблемой интегрирования нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.