Этот параграф посвящен опнсанию (настолько короткому, насколько это возможно) методов теории возмущений, введенных впервые Хорл [54]. Как мы уже видели в главе I, вполне естественно генератор $S$, введенный Хори, считать зависящим от параметра $\epsilon$ и, следовательно, определить каноническое преобразование формулами
$$\begin{array}{l}{y}_j={\eta }_j+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^m}{m!}{D}_S^{m-1}\frac{\partial S}{\partial {\xi }_j}\\ x_j={\xi }_j-\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^m}{m!}{D}_S^{m-1}\frac{\partial S}{\partial {\eta }_j}(j=1,\dots ,n),\end{array}$$

где $y_j$-координаты, $x_j$ — импульсы, ${\eta }_j,{\xi }_j$ — соответствующие иовые переменные, а $S=S(\eta ,\xi ,\epsilon )$. Образ любой функции $f(\mathit{y},\mathit{x},\mathit{\epsilon })$ в новом фазовом пространстве $(\eta ,\xi )$ с помощью генератора $S$ ошределяется формулой
$$f(\mathit{y},\mathit{x},\epsilon )=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^m}{m!}{D}_S^{m}f(\mathit{\eta },\mathit{\xi },\epsilon ),$$

где по определению
$$\begin{array}{l}{D}_S^{0}f=f,\\ D_S^{1}f=(f,S)=\sum _{k=1}^n(\frac{\partial f}{\partial {\eta }_k}\frac{\partial S}{\partial {\xi }_k}-\frac{\partial f}{\partial {\xi }_k}\frac{\partial S}{\partial {\eta }_k}),\\ D_S^{m}f=D_S^1\left(D_S^{m-1}f\right)(m=1,2,\dots ).\end{array}$$

Очевидно, все функции, включая и $f,S$, должны быть по крайней мере бесконечно дифференцируемыми, а приведенные выше ряды должны быть сходящимися при достаточно малых $\epsilon$.

Теперь рассмотрим исходную систему дифференциальных уравнений, определяемую гамильтонианом
$$H=H(\mathit{y},\mathit{x},\epsilon ),$$

который для простоты положим аналитическим относительно $(2n+1)$ аргумента при $(y,x)\in D$ и $0⩽\epsilon <{\epsilon }_0$. Уравнения движения имеют вид
$$\dot{y}=H_x,\dot{x}=-H_y.$$

Предположим, что степенной ряд
$$H(\mathit{y},\mathit{x},\epsilon )=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^k{H}_k(\mathit{y},\mathit{x})$$

является таким, что система с тамильтонианом $H_0(y,x)$ интегрируема в смысле Лиувилля, т. е. система дифференциальных уравнений $(k=1,2,\dots ,n)$
$$\frac{d{\eta }_k}{d\tau }=\frac{\partial H_0}{\partial {\xi }_k}(\mathit{\eta },\xi ),\frac{d{\xi }_k}{d\tau }=-\frac{\partial H_0}{\partial {\eta }_k}(\mathit{\eta },\xi )$$

имеет явное решение
$$\begin{array}{l}{\eta }_k={\eta }_k^{\ast }({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1+{\omega }_1\tau ,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n),\\ {\xi }_k={\xi }_k^{\ast }({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,{\beta }_1+{\omega }_1\tau ,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n),\end{array}$$

где $\alpha ,\beta$ — постоянные интегрирования, а величина ${\omega }_1={\omega }_1\left({\alpha }_1\right)$ с помощью специального, но довольно обычного выбора вида интеграла энергии зависит только от одной из координат вектора $\alpha$, например от ${\alpha }_1$. Требование неособенности якобиана
$$\frac{\partial ({\mathit{\eta }}^{\ast },{\xi }^{\ast })}{\partial (\mathit{\beta },\mathit{\alpha })}$$

при достаточно малых $\tau$ позволяет обратить выписанные выше соотношения и записать их в виде
$$\begin{array}{c}{\alpha }_k={\alpha }_k(\mathit{\eta },\xi )(k=1,\dots ,n),\\ {\beta }_1+{\omega }_1\tau =& {\beta }_1^{\ast }(\mathit{\eta },\xi ),\\ {\beta }_k={\beta }_k(\mathit{\eta },\xi )(k=2,\dots ,n).\end{array}$$

Следуя определению Хори, мы будем называть уравнения (2.8.5) дополнительной системой. Нетрудно понять (и это следует запомнить), что, так как система с гамильтонианом $H_0$ предполагается интегрируемой в смысле Лиувилля, то существует каноническое преобразование (в частности, преобразование (2.8.6), если $\alpha ,\beta$ — переменные действие — угол), которое приводит $H_0$ к такому виду, что эта функция зависит только от новых импульсов, а в данном сучае только от ${\alpha }_1$.

Теперь рассмотрим задачу построения не зависящих от $H$ первых интегралов движения для системы (2.8.3). Для этого рассмотрим полностью каноническое преобразование (2.8.1) с генератором
$$\epsilon S(\mathit{\eta },\mathit{\xi },\epsilon )=\sum _{\xi =1}^{\mathrm{\infty }}{\epsilon }^k{S}_k(\mathit{\eta },\mathit{\xi }).$$

Если $K(\eta ,\xi ,\epsilon )$ — новый гамильтониан, и преобразование не зависит от времени, то отсюда следует равенство
$$H(\mathit{y},\mathit{x},\mathit{\epsilon })=K(\mathit{\eta },\mathit{\xi },\epsilon ),$$

где в левой части этого соотношения координаты и импульсы $(\mathit{y},\mathit{x}$ ) предполагаются функциями от $\mathit{\eta },\xi ,\epsilon$ вида (2.8.1). В соответствии с (2.8.2) такое преобразование получается непосредственным использованием генератора $S$, если только он является уже известной фунґцией, т. е.
$$K(\mathit{\eta },\mathit{\xi },\epsilon )=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^m}{m!}{D}_S^{m}H(\mathit{\eta },\mathit{\xi },\epsilon ).$$

Если стояций справа степенной ряд относительно $\epsilon$ является сходящимся, то мы должны считать, что существует аналогичный сходящийся ряд ІІ для $K$, т. е.
$$K(\mathit{\eta },\xi ,\epsilon )=\sum _{m=0}^{\mathrm{\infty }}{8}^m{K}_m(\mathit{\eta },\xi ).$$

Подставляя в правую часть уравнения (2.8.10) ряды (2.8.4), (2.8.8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\epsilon$, получаем
$$\begin{array}{l}{K}_0(\mathit{\eta },\xi )=H_0(\mathit{\eta },\xi ),\\ K_p(\mathit{\eta },\xi )=(H_0,S_p)+F_p,(p=1,2,\dots ),\end{array}$$

где $F_p$ являются функциями от $H_0,H_1,\dots ,H_{p-1},S_1,\dots ,S_{p-1}$ II могут быть определены или непосредственным образом, или рекурревтно. Определение функций $F_p$ и тот или иной способ их определения, так же как и их сравнительные достоинства и недостатки, детальное обсуждение которых проводится при нзучении того пли иного метода, с точки зрения рассматриваемого сейчас вопроса неважны. При $p⩾1$ дифференциальные уравнения в частных производных (2.8.12) представляют собой уравнения относительно $S_p$ с типичными для методов усреднения характеристиками, причем функции $K_p$ также неизвестны. Это уравнение можно переписать при фиксированном $p$ в виде
$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^n(\frac{\partial H_0}{\partial {\eta }_k}\frac{\partial S_p}{\partial {\xi }_k}-\frac{\partial H_0}{\partial {\xi }_k}\frac{\partial S_p}{\partial {\eta }_k})+F_p& ({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)=\\ =& K_p({\eta }_1,\dots ,{\eta }_n,{\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\end{array}$$

или, используя дополнительную систему, в виде
$$-\frac{d{S}_p}{d\tau }+F_p^{\prime }(\mathit{\alpha },{\beta }_1+\tau ,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)=K_p^{\prime }(\mathit{\alpha },{\beta }_1+\tau ,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n).$$

Принцип усреднения в данном методе может быть сформули рован как условие независимости функций $K_p$ от $\tau$. Если, как обычно, предположить, что гамильтониан $H(y,x,\epsilon )$ является $2\pi$-периодической функцией относительно каждой из переменных $y$, и учесть, что система с гамильтонианом $H_0$ интегрируема в смысле Лиувилл, то переменные $y^{\ast }$ и $x^{\ast }$ будут условно-периодическими (или периодическими) функциями $\tau$,- классический результат, следующий из общей теории переменных действие угол. Мы обобщим введенное ранее понятие среднего условно-периодической функции, определив ${}^1$ )
$$\begin{array}{rl}{K}_p^{\prime }=\underset{T\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{T}{\int }_0^T{F}_p^{\prime }(\mathit{\alpha },{\beta }_1& +\tau ,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)d\tau =\\ & =K_p^{\prime }(\mathit{\alpha },-,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)=K_p(\mathit{\eta },\mathit{\xi }).(2.8.15)\end{array}$$

где последнее преобразование в (2.8.15) осуществлено с помощью (2.8.7). Отсюда следует, что
$$\frac{d{S}_p}{d\tau }=F_p^{\prime }(\mathit{\alpha },{\beta }_1+\tau ,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)-K_p^{\prime }(\mathit{\alpha },-,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)$$

или
$$S_p=\int (F_p^{\prime }-K_p^{\prime })d\tau =S_p^{\prime }(\mathit{\alpha },{\beta }_1+\tau ,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)=S_p(\mathit{\eta },\xi ),$$

где опять для преобразования использовано соотношенпе (2.8.7). Из определения $K_p^{\prime }$ также ясно, что предел
$$\underset{\tau \to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_p^{\prime }(\mathit{\alpha },{\beta }_1-\tau ,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)$$

конечен, и в силу удомянутого выше предположения функция $S_p^{\prime }$ — условно-периодическая (или периодическая) по отношению $\kappa \tau$ и не имеет постоянного члена. По индукции (или ћаким-нибудь иным способом) можно показать, что эта процедура пригодна для любого значения $p=1,2,\dots$ Это п доказывает существование формальных рядов
$$S=S_0(\mathit{\eta },\xi )+\epsilon S_1(\mathit{\eta },\xi )+\dots ,$$

с помощью которых гамильтониан приводится к виду
$$K=K_0(\mathit{\eta },\xi )+\epsilon K_1(\mathit{\eta },\xi )+\dots ,$$

где новый гамильтониан обладает тем свойством, что если $\eta ,\xi$ заменить на решение дополнительной системы, то $K$ пе будет явно зависеть от $\tau$ и, следовательно,
$$\frac{\partial K^{\prime }}{\partial \tau }=\frac{d{K}^{\prime }}{d\tau }=0$$

где $K^{\prime }$ определяется формальным рядом
$$K^{\prime }=K_0^{\prime }(\mathit{\alpha },-,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)+\epsilon K_1^{\prime }(\mathit{\alpha },-,{\beta }_2,\dots ,{\beta }_n)÷\dots$$
1) Далее \»-» означает, что функция не зависнт явно от соответствующего аргумента. (Прим. перев.).

Очевндно, можно написать
$$\begin{array}{rl}\frac{d{K}^{\prime }}{d\tau }=\sum _{k=1}^n(\frac{\partial K}{\partial {\eta }_k}\frac{d{\eta }_k}{d\tau }+\frac{\partial K}{\partial {\xi }_k}\frac{d{\xi }_k}{d\tau })=& \sum _{k=1}^n(-{\dot{\xi }}_k\frac{d{\eta }_k}{d\tau }+{\dot{\eta }}_k\frac{d{\dot{\xi }}_k}{d\tau })=\\ =& \sum _{k=1}^n(-\frac{\partial K_0}{\partial {\xi }_k}{\dot{\xi }}_k-\frac{\partial K_0}{\partial {\eta }_k}{\dot{\eta }}_k)=-\frac{d{K}_0}{dt}\end{array}$$

II, учитьвая (2.8.19), пмеем $d{K}_0/dt=0$, так что
$$K_0(\eta ,\xi )=J_0=\text{ const. }$$

Итаг, в итоге применения преобразования Ли мы получили следующий результат: новый гамильтониан не зависит от дополнительного времени $\tau$ и, следовательно, найден новый (формальный) интеграл движения, имеющий вид (2.8.20). Справедливость этого формального результата в неформальном смысле может быть проверена только анализом сходимости метода. Так как была показана эквивалентность метода Ли и метода Цейшеля (см. [63.1]) и так как при условии сходимости метода Колмогорова (при переменных частотах) сходится метод Цейшеля (см. [81]), то сходимость метода преобразований Ли при достаточно малых и несколько раз дифференцируемых возмущениях может быть отсюда получена косвенным образом. Как и раныше, такая сходимость не может быть равномерной по отношению к $\epsilon$ II к начальным условиям. Преимущество излагаемого здесь метода заключается в том, что в него входят только квадратуры, а в методе Пуанкаре, в противоположность этому, мы имеем дело, вообщце говоря, с уравнениями в частных производных. Не мевее важным преимуществом является то, что мы получили преобразование в явном виде (см. (2.8.1)), можем записать любую функиию переменных $\mathit{y},\mathit{x}$ через переменные $\mathit{\eta }$, $\xi$ непосредственным использованием генератора $S$ (см. (2.8.2)), а сам метод $u$ получаюшиеся в результате его применения величинь инвариантны относительно канонических преобразований, что непосредственно следует из инвариантности скобок Пуассона относительно таких преобразований.
Напомним, что каноническое преобразование
$$Q=\mathit{Q}(\mathit{q},\mathit{p},\tau ),\mathit{P}=\mathit{P}(\mathit{q},\mathit{p},\tau ),$$

получаемое с помощью генератора Ли $S(\mathit{Q},\mathit{P},\tau )$, может быть определено как решение системы уравнений
$$\frac{d\mathit{Q}}{d\tau }={\left(\frac{\partial S}{\partial \mathit{P}}\right)}^{\mathit{T}},\frac{d\mathit{P}}{d\tau }==-{\left(\frac{\partial S}{\partial \mathit{Q}}\right)}^{\mathrm{T}}$$

с начальными условиями (при $\tau =0$ )
$$\mathit{Q}(\mathit{q},\mathit{p},0)=\mathit{q},\mathit{P}(\mathit{q},\mathit{p},0)=\mathit{p},$$

где $\tau$ — некоторый параметр. Предполагается, что правые части соотношений (2.8.21) принадлежат классу $C^2$ относите.тьно всех $2n+1$ переменных в некоторой области фазового пространства I при $\tau$, ограниченном некоторым интервалом, скажем, $|\tau |⩽{\tau }_0$.

Для генератора $W(\mathit{q},\mathit{P},\tau )$ из метода Пуанкаре это же каноническое преобразование определяется формулами
$$\mathit{Q}=\mathit{q}+{\left(\frac{\partial W}{\partial \mathit{P}}\right)}^{\mathrm{T}},\mathit{p}=\mathit{P}+{\left(\frac{\partial W}{\partial \mathit{q}}\right)}^{\mathrm{T}}$$

при условии
$$W(\mathit{q},\mathit{P},0)\equiv 0,$$

которое эквивалентно начальным условиям (2.8.23). Ғаи уже быто установлено,
$$S(\mathit{Q},\mathit{P},\tau )=\frac{\partial W(\mathit{q},\mathit{P},\tau )}{\partial \tau },$$

где $Q$ определяется первой из формул (2.8.24). Вводя разложения
$$\begin{array}{l}W(\mathit{q},\mathit{P},\tau )=\sum _{\eta =0}^{\mathrm{\infty }}{W}_n(\mathit{Q},\mathit{P}){\tau }^n,\\ S(\mathit{Q},\mathit{P},\tau )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{S}_{n+1}(\mathit{Q},\mathit{P}){\tau }^n\end{array}$$

I приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\tau$ в (2.8.25), получаем связь между функциями $W_k$ п $S_j$, которая и оыла установлена выше.

В работе Мерсмана [73] алгоритм Депри получен формальным предположением $\tau =\epsilon$. Если считать, что теперь обозначение $S$ соответствует генератору Ли из уравнения (1.5.7), то для сохранения используемых там обозначений в уравнении (2.8.25) $S_n$ надо заменить на $S_{n+1}/n$ ! и тогда можно получить
$$\begin{array}{rl}{S}_1& =W_1,\\ S_2& =2W_2-\sum _i\frac{\partial W_1}{\partial Q_i}\frac{\partial W_1}{\partial P_i},\\ S_3& =6W_3-2\sum _i[\frac{\partial W_1}{\partial Q_i}\frac{\partial W_2}{\partial P_i}+\frac{\partial W_2}{\partial Q_i}\frac{\partial W_1}{\partial P_i}]+\\ & +\sum _{i,j}[\frac{{\partial }^2{W}_1}{\partial Q_i\partial Q_j}\frac{\partial W_1}{\partial P_i}\frac{\partial W_1}{\partial P_j}+2\frac{{\partial }^2{W}_1}{\partial Q_i\partial P_j}\frac{\partial W_1}{\partial P_i}\frac{\partial W_1}{\partial Q_j}]\end{array}$$

и т. д. Алгоритм Хори также получается из (2.8.25), если заменить $S(\mathit{Q},\mathit{P},\tau )$ на $S(\mathit{Q},\mathit{P})$ и затем положнть $\tau =1$, т. е. разложения из уравнения (2.8.25), соответствующие разложениям (2.8.26), имеют вид
$$\begin{array}{c}W(\mathit{q},\mathit{P})=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{W}_n(\mathit{Q},\mathit{P}),\\ S(\mathit{Q},\mathit{P})=S_{\mathbf{1}}(\mathit{Q},\mathit{P}).\end{array}$$

Их подстановка в (2.8.25) (или сразу же в получающиеся из (1.6.10) разложения) дает
$$\begin{array}{l}W=S_1+\frac{1}{2}\sum _i\frac{\partial S_1}{\partial Q_i}\frac{\partial S_1}{\partial P_i}+\\ +\frac{1}{6}\sum _{i,j}[\frac{{\partial }^2{S}_1}{\partial Q_i\partial Q_j}\frac{\partial S_1}{\partial P_i}\frac{\partial S_1}{\partial P_j}+\frac{{\partial }^2{S}_1}{\partial Q_i\partial P_j}\frac{\partial S_1}{\partial P_i}\frac{\partial S_1}{\partial Q_j}+\frac{{\partial }^2{S}_1}{\partial P_i\partial Q_j}\frac{\partial S_1}{\partial Q_i}\frac{\partial S_1}{\partial P_j}]+\dots \end{array}$$

Затем в функциях $W$ и $S$ вводится параметр $\epsilon$, так что
$$W=W(\mathit{Q},\mathit{P},\epsilon ),S_1=U(\mathit{Q},\mathit{P},\epsilon ),$$

и рассматриваются формальные ряды
$$W=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{W}_n(\mathit{Q},\mathit{P}){\epsilon }^n,U=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{U}_n(\mathit{Q},\mathit{P}){\epsilon }^n.$$

Тем или иным образом обращая соотношения (2.8.27), находим
$$\begin{array}{l}{S}_1=W-\frac{1}{2}\sum _i\frac{\partial W}{\partial Q_i}\frac{\partial W}{\partial P_i}+\\ +\frac{1}{12}\sum _{i,j}[\frac{{\partial }^{2}W}{\partial Q_i\partial Q_j}\frac{\partial W}{\partial P_i}\frac{\partial W}{\partial P_j}+4\frac{{\partial }^{2}W}{\partial Q_i{}^{\partial P}{P}_j}\frac{\partial W}{\partial P_i}\frac{\partial W}{\partial Q_j}+\frac{{\partial }^{2}W}{\partial P_i\partial P_j}\frac{\partial W}{\partial Q_i}\frac{\partial W}{\partial Q_j}]+\dots \end{array}$$

Подставляя разложения (2.8.28) и ириравнивая члены одинакового шорядка по $\epsilon$, из (2.8.27) находим
$$\begin{array}{l}{W}_1=U_1,\\ W_2=U_2+\frac{1}{2}\sum _i\frac{\partial U_1}{\partial Q_i}\frac{\partial U_1}{\partial P_i},\end{array}$$

а из $(2.8.29)$
$$\begin{array}{l}{U}_1=W_1\\ U_2=W_2-\frac{1}{2}\sum _i\frac{\partial W_1}{\partial Q_i}\frac{\partial W_1}{\partial P_i}\end{array}$$

п т. д. Выписанные соотношения позволяют перевести описанный в начале параграфа метод теории возмущений Хори [54] в метод, введенный Депри.

В качестве примера рассмотрим уравнение Дюффинга без демпфирования, т. е. уравнение
$$\ddot{u}+u+\epsilon \gamma u^2=\epsilon B\cos \omega t,$$

где $\epsilon ⩾0,\gamma ⩾0,B$ и $\omega eq0$ — постоянные параметры. Рассмотрим случай, когда $\omega$ не является рациональным и, более того, когда для любых целых чисел $peq0,q$ соотношение
$$|p\omega -q|⩾K(p){\epsilon }^{1/2}$$

удовлетворяется для выбранной некоторым образом функции $K(p)$, скажем, для $K(p)=p^{5/2-\sigma }$, где целое число $\sigma ⩾4$. Если соотношение (2.8.33) не выполнено, то мы будем иметь дело с резонансным случаем, который рассматривается в последней главе книти.
Введя каноническое преобразование
$$u=\sqrt{2p_1}\sin q_1,\dot{u}=\sqrt{2p_1}\cos q_1,$$

уравнение (2.8.32) можно записать в виде
$${\stackrel{\circ }{q}}_1=\frac{\partial H}{\partial p_1},\dot{p_1}=-\frac{\partial H}{\partial q_1},$$

где
$$H=p_1+\epsilon \gamma p_1^2\sin 4q_1-\epsilon B\sqrt{2p_1}\sin q_1\cos \omega t.$$

Введя далее координату $q_2=\omega t$ и сопряженный ей импульс $p_2$, систему можно привести к виду ( $j=1,2$ )
$${\dot{q}}_j=\frac{\partial K}{\partial p_j},{\dot{p}}_j=-\frac{\partial K}{\partial q_j},$$
$$\begin{array}{rl}K=p_1+\omega p_2+\epsilon (\gamma p_1^2\sin 4q_1-B& \sqrt{2p_1}\sin q_1\cos q_2)=(2.8.35)\\ & =K_0(p_1,p_2)+\epsilon K_1(q_1,q_2,p_1,-).\end{array}$$

Дополнительная система определяется гамильтонианом $K_0$, и ее решение имеет вид
$$q_1^0=\tau +{\beta }_1,q_2^0=\omega \tau +{\beta }_2,p_1^0={\alpha }_1,p_2^0={\alpha }_2,$$

где ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\beta }_1,{\beta }_2$ — постоянные. Пусть новый гамильтониан имеет вид
$$K^{\ast }=K_0^{\ast }+\epsilon K_1^{\ast }+{\epsilon }^2{K}_2^{\ast }+\cdots ,$$

а генератор Ли —
$$\epsilon S=\epsilon S_1+{\epsilon }^2{S}_2+\dots ,$$

с условием, что функция $K^{\ast }$ не должна зависеть от $\tau$ и, следовательно, $K_0^{\ast }$ — интеграл движения. Обозначим новые координаты и импульсы через $q_1^{\ast },q_2^{\ast },p_1^{\ast },p_2^{\ast }$.
Из уравнения
$$-\frac{d{S}_1}{d\tau }+K_1(q_1^0,q_2^0,p_1^0,-)=K_1^{\ast }$$

при условии, что $\omega$ не является целым, получаем
$$\begin{array}{c}{K}_1^{\ast }-\frac{3}{8}\gamma p_1^2,\\ S_1=-\frac{1}{4}\gamma p_1^{{\ast }^2}\sin 2q_1^{\ast }+\frac{1}{32}{p}_1^{{\ast }^2}\sin 4q_1^{\ast }+\\ +\frac{B\sqrt{2p_1^{\ast }}}{2(1+\omega )}\cos (q_1^{\ast }+q_2^{\ast })+\frac{B\sqrt{2p_1^{\ast }}}{2(1-\omega )}\cos (q_1^{\ast }-q_2^{\ast }).\end{array}$$

Используя уравнение
$$-\frac{d{S}_2}{d\tau }+\frac{1}{2}(K_1+K_1^{\ast },S_1)+K_2=K_2^{\ast }$$

и то, что в нашем случае $K_2=0$, второе приближение получаем в виде
$$\begin{array}{c}{K}_2^{\ast }=\frac{17}{64}{\gamma }^2{p}_1^{\ast 3}+\frac{B^2}{8(1-{\omega }^2)},\\ S_2=-\frac{1}{2}[\frac{21}{32}{\gamma }^2{p}_1^{\ast \ast }+\frac{B^2}{4(1-{\omega }^2)}]\sin 2q_1^{\ast }-\frac{3}{128}{\gamma }^2{p}_1^{{\ast }^{\ast }}\sin 4q_1^{\ast }-\\ -\frac{7}{192}{\gamma }^2{p}_1^{{\ast }^3}\sin 6q_1^{\ast }—\frac{B^2}{8\omega (1-{\omega }^2)}\sin 2q_2^{\ast }+\\ +\frac{B\gamma (13-{\omega }^2)}{32(1-{\omega }^2)(1+\omega )}{\left(2p_1^{\ast }\right)}^{3/2}\sin (q_1^{\ast }+q_2^{\ast })+\end{array}$$

$$\begin{array}{l}+\frac{B\gamma (13-{\omega }^2)}{32(1-{\omega }^2)(1-\omega )}{\left(2p_1^{\ast }\right)}^{3/2}\sin (q_1^{\ast }-q_2^{\ast })-\\ -\frac{B\gamma (21-5{\omega }^2)}{128(1-{\omega }^2)(3+\omega )}{\left(2p_1^{\ast }\right)}^{3/2}\cos (3q_1^{\ast }+q_2^{\ast })-\\ -\frac{B\gamma (21-5{\omega }^2)}{128(1-{\omega }^2)(3-\omega )}{\left(2p_1^{\ast }\right)}^{3/2}\cos (3q_1^{\ast }-q_2^{\ast })+\\ +\frac{B\gamma {\left(2p_1^{\ast }\right)}^{3/2}}{128(5+\omega )}\cos (5q_1^{\ast }+q_2^{\ast })+\frac{B\gamma {\left(2p_1^{\ast }\right)}^{3/2}}{128(5-\omega )}\cos (5q_1^{\ast }-q_2^{\ast })-\\ -\frac{B^2}{16(1+\omega {)}^2}\sin (2q_1^{\ast }+2q_2^{\ast })-\frac{B^2}{16(1-\omega {)}^2}\sin (2q_1^{\ast }-2q_2^{\ast }).\end{array}$$

Таким образом, в найденном приближении новый гамильтониан имеет вид
$$K^{\ast }=p_1^{\ast }+\omega p_2^{\ast }+\frac{3}{8}\epsilon \gamma p_1^{{\ast }^2}+\frac{17}{64}{\epsilon }^2\gamma p_1^{{\ast }^3}+O\left({\epsilon }^3\right),$$

где отброшена аддитивная постоянная. С другой стороны, $K_0^{\ast }$ является интегралом движения, т. е.
$$p_1^{\ast }+\omega p_2^{\ast }=\text{ const }$$

так что функция
$$K^{\ast }-p_1^{\ast }-\omega p_2^{\ast }=\frac{3}{8}\epsilon \gamma p_1^{{\ast }^2}+\frac{17}{64}{\epsilon }^2\gamma p_1^{{\ast }^3}+O\left({\epsilon }^3\right)$$

также является интегралом, т. е: в главной своей части задача сведена к квадратурам, и за исключением только рациональных общее решение. Связь между двумя наборами переменных $\mathit{q},\mathit{p}$ и ${\mathit{q}}^{\ast },\mathit{p}$ * определяется формулами (2.8.1) или в используемых сейчас обозначениях формулами
$$\begin{array}{l}{q}_j=q_j^{\ast }+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^n}{n!}{D}_S^{n-1}\frac{\partial S}{\partial p_j^{\ast }},\\ p_j=p_j^{\ast }-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^n}{n!}{D}_S^{n-1}\frac{\partial S}{\partial q_j^{\ast }},\end{array}$$

где $j=1,2$. Ясно, что так как функция $S$ не завнсит от $p_2^{\ast }$, то $q_2=q_2^{\ast }$, т. е. преобразование не изменяет времени $(q_2^{\star }=\omega t)$. Так как мы определили
$$\epsilon S=\epsilon S_1+{\epsilon }^2{S}_2+\dots ,$$

то, если положить
$$W=\epsilon S,$$

преобразование можно записать так:
$$\begin{array}{l}{q}_j=q_j^{\ast }+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{D}_W^{n-1}\frac{\partial W}{\partial p_j^{\ast }},\\ p_j=p_j^{\ast }-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{D}_W^{n-1}\frac{\partial W}{\partial q_j^{\ast }},\end{array}$$

или с точностью до членов второго порядка по $\epsilon$
$$\begin{array}{l}{q}_j=q_j^{\ast }+\frac{\partial W_1}{\partial p_j^{\ast }}+\frac{\partial W_2}{\partial p_j^{\ast }}+\frac{1}{2}(\frac{\partial W_1}{\partial p_j^{\ast }},W_1),\\ p_j=p_j^{\ast }-\frac{\partial W_1}{\partial q_j^{\ast }}-\frac{\partial W_2}{\partial q_j^{\ast }}-\frac{1}{2}(\frac{\partial W_1}{\partial q_j^{\ast }},W_1),\end{array}$$

тде
$$W_1=\epsilon S_1,W_2=\epsilon S_2.$$

Очевидно, что если предположить сходимость метода, то все $p_{\ast }^j$ сведутся к константам, а $q_j^{\ast }-\mathbf{k}$ лиейным функциям времени (при этом $q_2^{\ast }=\omega t$ ). Частота уговой переменной $q_1^{\ast }$ является степенным рядом относительно в. С точностью до членов второго порядка имеем
$$q_j^{\ast }=(1+\frac{3}{4}\epsilon \gamma p_1^{\ast }+\frac{51}{64}{\epsilon }^2\gamma p_1^{{\ast }^2}+\dots )t+{\beta }_1^{\ast },$$
‘де $p_1^{\ast },{\beta }_1^{\ast }-$ константы.