Этот параграф посвящен опнсанию (настолько короткому, насколько это возможно) методов теории возмущений, введенных впервые Хорл [54]. Как мы уже видели в главе I, вполне естественно генератор $S$, введенный Хори, считать зависящим от параметра $\varepsilon$ и, следовательно, определить каноническое преобразование формулами
\[
\begin{array}{l}
y_{j}=\eta_{j}+\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{m}}{m !} D_{S}^{m-1} \frac{\partial S}{\partial \xi_{j}} \\
x_{j}=\xi_{j}-\sum_{m=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{m}}{m !} D_{S}^{m-1} \frac{\partial S}{\partial \eta_{j}} \quad(j=1, \ldots, n),
\end{array}
\]

где $y_{j}$-координаты, $x_{j}$ – импульсы, $\eta_{j}, \quad \xi_{j}$ – соответствующие иовые переменные, а $S=S(\eta, \xi, \varepsilon)$. Образ любой функции $f(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon})$ в новом фазовом пространстве $(\eta, \xi)$ с помощью генератора $S$ ошределяется формулой
\[
f(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{m}}{m !} D_{S}^{m} f(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, \varepsilon),
\]

где по определению
\[
\begin{array}{l}
D_{S}^{0} f=f, \\
D_{S}^{1} f=(f, S)=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial f}{\partial \eta_{k}} \frac{\partial S}{\partial \xi_{k}}-\frac{\partial f}{\partial \xi_{k}} \frac{\partial S}{\partial \eta_{k}}\right), \\
D_{S}^{m} f=D_{S}^{1}\left(D_{S}^{m-1} f\right) \quad(m=1,2, \ldots) .
\end{array}
\]

Очевидно, все функции, включая и $f, S$, должны быть по крайней мере бесконечно дифференцируемыми, а приведенные выше ряды должны быть сходящимися при достаточно малых $\varepsilon$.

Теперь рассмотрим исходную систему дифференциальных уравнений, определяемую гамильтонианом
\[
H=H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon),
\]

который для простоты положим аналитическим относительно $(2 n+1)$ аргумента при $(y, x) \in D$ и $0 \leqslant \varepsilon<\varepsilon_{0}$. Уравнения движения имеют вид
\[
\dot{y}=H_{x}, \quad \dot{x}=-H_{y} .
\]

Предположим, что степенной ряд
\[
H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \varepsilon)=\sum_{k=0}^{\infty} \varepsilon^{k} H_{k}(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})
\]

является таким, что система с тамильтонианом $H_{0}(y, x)$ интегрируема в смысле Лиувилля, т. е. система дифференциальных уравнений $(k=1,2, \ldots, n)$
\[
\frac{d \eta_{k}}{d \tau}=\frac{\partial H_{0}}{\partial \xi_{k}}(\boldsymbol{\eta}, \xi), \quad \frac{d \xi_{k}}{d \tau}=-\frac{\partial H_{0}}{\partial \eta_{k}}(\boldsymbol{\eta}, \xi)
\]

имеет явное решение
\[
\begin{array}{l}
\eta_{k}=\eta_{k}^{*}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}+\omega_{1} \tau, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right), \\
\xi_{k}=\xi_{k}^{*}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}, \beta_{1}+\omega_{1} \tau, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right),
\end{array}
\]

где $\alpha, \beta$ – постоянные интегрирования, а величина $\omega_{1}=\omega_{1}\left(\alpha_{1}\right)$ с помощью специального, но довольно обычного выбора вида интеграла энергии зависит только от одной из координат вектора $\alpha$, например от $\alpha_{1}$. Требование неособенности якобиана
\[
\frac{\partial\left(\boldsymbol{\eta}^{*}, \xi^{*}\right)}{\partial(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha})}
\]

при достаточно малых $\tau$ позволяет обратить выписанные выше соотношения и записать их в виде
\[
\begin{array}{cc}
\alpha_{k}=\alpha_{k}(\boldsymbol{\eta}, \xi) \quad(k=1, \ldots, n), \\
\beta_{1}+\omega_{1} \tau= & \beta_{1}^{*}(\boldsymbol{\eta}, \xi), \\
\beta_{k}=\beta_{k}(\boldsymbol{\eta}, \xi) \quad(k=2, \ldots, n) .
\end{array}
\]

Следуя определению Хори, мы будем называть уравнения (2.8.5) дополнительной системой. Нетрудно понять (и это следует запомнить), что, так как система с гамильтонианом $H_{0}$ предполагается интегрируемой в смысле Лиувилля, то существует каноническое преобразование (в частности, преобразование (2.8.6), если $\alpha, \beta$ – переменные действие – угол), которое приводит $H_{0}$ к такому виду, что эта функция зависит только от новых импульсов, а в данном сучае только от $\alpha_{1}$.

Теперь рассмотрим задачу построения не зависящих от $H$ первых интегралов движения для системы (2.8.3). Для этого рассмотрим полностью каноническое преобразование (2.8.1) с генератором
\[
\varepsilon S(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, \varepsilon)=\sum_{\xi=1}^{\infty} \varepsilon^{k} S_{k}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}) .
\]

Если $K(\eta, \xi, \varepsilon)$ – новый гамильтониан, и преобразование не зависит от времени, то отсюда следует равенство
\[
H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}, \boldsymbol{\varepsilon})=K(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, \varepsilon),
\]

где в левой части этого соотношения координаты и импульсы $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}$ ) предполагаются функциями от $\boldsymbol{\eta}, \xi, \varepsilon$ вида (2.8.1). В соответствии с (2.8.2) такое преобразование получается непосредственным использованием генератора $S$, если только он является уже известной фунґцией, т. е.
\[
K(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, \varepsilon)=\sum_{m=0}^{\infty} \frac{\varepsilon^{m}}{m !} D_{S}^{m} H(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}, \varepsilon) .
\]

Если стояций справа степенной ряд относительно $\varepsilon$ является сходящимся, то мы должны считать, что существует аналогичный сходящийся ряд ІІ для $K$, т. е.
\[
K(\boldsymbol{\eta}, \xi, \varepsilon)=\sum_{m=0}^{\infty} 8^{m} K_{m}(\boldsymbol{\eta}, \xi) .
\]

Подставляя в правую часть уравнения (2.8.10) ряды (2.8.4), (2.8.8) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$, получаем
\[
\begin{array}{l}
K_{0}(\boldsymbol{\eta}, \xi)=H_{0}(\boldsymbol{\eta}, \xi), \\
K_{p}(\boldsymbol{\eta}, \xi)=\left(H_{0}, S_{p}\right)+F_{p} \quad,(p=1,2, \ldots),
\end{array}
\]

где $F_{p}$ являются функциями от $H_{0}, H_{1}, \ldots, H_{p-1}, S_{1}, \ldots, S_{p-1}$ II могут быть определены или непосредственным образом, или рекурревтно. Определение функций $F_{p}$ и тот или иной способ их определения, так же как и их сравнительные достоинства и недостатки, детальное обсуждение которых проводится при нзучении того пли иного метода, с точки зрения рассматриваемого сейчас вопроса неважны. При $p \geqslant 1$ дифференциальные уравнения в частных производных (2.8.12) представляют собой уравнения относительно $S_{p}$ с типичными для методов усреднения характеристиками, причем функции $K_{p}$ также неизвестны. Это уравнение можно переписать при фиксированном $p$ в виде
\[
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial H_{0}}{\partial \eta_{k}} \frac{\partial S_{p}}{\partial \xi_{k}}-\frac{\partial H_{0}}{\partial \xi_{k}} \frac{\partial S_{p}}{\partial \eta_{k}}\right)+F_{p} & \left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)= \\
= & K_{p}\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{n}, \xi_{1}, \ldots, \xi_{n}\right)
\end{aligned}
\]

или, используя дополнительную систему, в виде
\[
-\frac{d S_{p}}{d \tau}+F_{p}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha}, \beta_{1}+\tau, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)=K_{p}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha}, \beta_{1}+\tau, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right) .
\]

Принцип усреднения в данном методе может быть сформули рован как условие независимости функций $K_{p}$ от $\tau$. Если, как обычно, предположить, что гамильтониан $H(y, x, \varepsilon)$ является $2 \pi$-периодической функцией относительно каждой из переменных $y$, и учесть, что система с гамильтонианом $H_{0}$ интегрируема в смысле Лиувилл, то переменные $y^{*}$ и $x^{*}$ будут условно-периодическими (или периодическими) функциями $\tau$,- классический результат, следующий из общей теории переменных действие угол. Мы обобщим введенное ранее понятие среднего условно-периодической функции, определив ${ }^{1}$ )
\[
\begin{aligned}
K_{p}^{\prime}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} F_{p}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha}, \beta_{1}\right. & \left.+\tau, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right) d \tau= \\
& =K_{p}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha},-, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)=K_{p}(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\xi}) .(2.8 .15)
\end{aligned}
\]

где последнее преобразование в (2.8.15) осуществлено с помощью (2.8.7). Отсюда следует, что
\[
\frac{d S_{p}}{d \tau}=F_{p}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha}, \beta_{1}+\tau, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)-K_{p}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha},-, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)
\]

или
\[
S_{p}=\int\left(F_{p}^{\prime}-K_{p}^{\prime}\right) d \tau=S_{p}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha}, \beta_{1}+\tau, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)=S_{p}(\boldsymbol{\eta}, \xi),
\]

где опять для преобразования использовано соотношенпе (2.8.7). Из определения $K_{p}^{\prime}$ также ясно, что предел
\[
\lim _{\tau \rightarrow \infty} S_{p}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha}, \beta_{1}-\tau, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)
\]

конечен, и в силу удомянутого выше предположения функция $S_{p}^{\prime}$ – условно-периодическая (или периодическая) по отношению $\kappa \tau$ и не имеет постоянного члена. По индукции (или ћаким-нибудь иным способом) можно показать, что эта процедура пригодна для любого значения $p=1,2, \ldots$ Это п доказывает существование формальных рядов
\[
S=S_{0}(\boldsymbol{\eta}, \xi)+\varepsilon S_{1}(\boldsymbol{\eta}, \xi)+\ldots,
\]

с помощью которых гамильтониан приводится к виду
\[
K=K_{0}(\boldsymbol{\eta}, \xi)+\varepsilon K_{1}(\boldsymbol{\eta}, \xi)+\ldots,
\]

где новый гамильтониан обладает тем свойством, что если $\eta, \xi$ заменить на решение дополнительной системы, то $K$ пе будет явно зависеть от $\tau$ и, следовательно,
\[
\frac{\partial K^{\prime}}{\partial \tau}=\frac{d K^{\prime}}{d \tau}=0
\]

где $K^{\prime}$ определяется формальным рядом
\[
K^{\prime}=K_{0}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha},-, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right)+\varepsilon K_{1}^{\prime}\left(\boldsymbol{\alpha},-, \beta_{2}, \ldots, \beta_{n}\right) \div \ldots
\]
1) Далее \”-» означает, что функция не зависнт явно от соответствующего аргумента. (Прим. перев.).

Очевндно, можно написать
\[
\begin{aligned}
\frac{d K^{\prime}}{d \tau}=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial K}{\partial \eta_{k}} \frac{d \eta_{k}}{d \tau}+\frac{\partial K}{\partial \xi_{k}} \frac{d \xi_{k}}{d \tau}\right)= & \sum_{k=1}^{n}\left(-\dot{\xi}_{k} \frac{d \eta_{k}}{d \tau}+\dot{\eta}_{k} \frac{d \dot{\xi}_{k}}{d \tau}\right)= \\
= & \sum_{k=1}^{n}\left(-\frac{\partial K_{0}}{\partial \xi_{k}} \dot{\xi}_{k}-\frac{\partial K_{0}}{\partial \eta_{k}} \dot{\eta}_{k}\right)=-\frac{d K_{0}}{d t}
\end{aligned}
\]

II, учитьвая (2.8.19), пмеем $d K_{0} / d t=0$, так что
\[
K_{0}(\eta, \xi)=J_{0}=\text { const. }
\]

Итаг, в итоге применения преобразования Ли мы получили следующий результат: новый гамильтониан не зависит от дополнительного времени $\tau$ и, следовательно, найден новый (формальный) интеграл движения, имеющий вид (2.8.20). Справедливость этого формального результата в неформальном смысле может быть проверена только анализом сходимости метода. Так как была показана эквивалентность метода Ли и метода Цейшеля (см. [63.1]) и так как при условии сходимости метода Колмогорова (при переменных частотах) сходится метод Цейшеля (см. [81]), то сходимость метода преобразований Ли при достаточно малых и несколько раз дифференцируемых возмущениях может быть отсюда получена косвенным образом. Как и раныше, такая сходимость не может быть равномерной по отношению к $\varepsilon$ II к начальным условиям. Преимущество излагаемого здесь метода заключается в том, что в него входят только квадратуры, а в методе Пуанкаре, в противоположность этому, мы имеем дело, вообщце говоря, с уравнениями в частных производных. Не мевее важным преимуществом является то, что мы получили преобразование в явном виде (см. (2.8.1)), можем записать любую функиию переменных $\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}$ через переменные $\boldsymbol{\eta}$, $\xi$ непосредственным использованием генератора $S$ (см. (2.8.2)), а сам метод $u$ получаюшиеся в результате его применения величинь инвариантны относительно канонических преобразований, что непосредственно следует из инвариантности скобок Пуассона относительно таких преобразований.
Напомним, что каноническое преобразование
\[
Q=\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, \tau), \quad \boldsymbol{P}=\boldsymbol{P}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, \tau),
\]

получаемое с помощью генератора Ли $S(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, \tau)$, может быть определено как решение системы уравнений
\[
\frac{d \boldsymbol{Q}}{d \tau}=\left(\frac{\partial S}{\partial \boldsymbol{P}}\right)^{\boldsymbol{T}}, \quad \frac{d \boldsymbol{P}}{d \tau}==-\left(\frac{\partial S}{\partial \boldsymbol{Q}}\right)^{\mathrm{T}}
\]

с начальными условиями (при $\tau=0$ )
\[
\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, 0)=\boldsymbol{q}, \quad \boldsymbol{P}(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}, 0)=\boldsymbol{p},
\]

где $\tau$ – некоторый параметр. Предполагается, что правые части соотношений (2.8.21) принадлежат классу $C^{2}$ относите.тьно всех $2 n+1$ переменных в некоторой области фазового пространства I при $\tau$, ограниченном некоторым интервалом, скажем, $|\tau| \leqslant \tau_{0}$.

Для генератора $W(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, \tau)$ из метода Пуанкаре это же каноническое преобразование определяется формулами
\[
\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{q}+\left(\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{P}}\right)^{\mathrm{T}}, \quad \boldsymbol{p}=\boldsymbol{P}+\left(\frac{\partial W}{\partial \boldsymbol{q}}\right)^{\mathrm{T}}
\]

при условии
\[
W(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, 0) \equiv 0,
\]

которое эквивалентно начальным условиям (2.8.23). Ғаи уже быто установлено,
\[
S(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, \tau)=\frac{\partial W(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, \tau)}{\partial \tau},
\]

где $Q$ определяется первой из формул (2.8.24). Вводя разложения
\[
\begin{array}{l}
W(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P}, \tau)=\sum_{\eta=0}^{\infty} W_{n}(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}) \tau^{n}, \\
S(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, \tau)=\sum_{n=0}^{\infty} S_{n+1}(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}) \tau^{n}
\end{array}
\]

I приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $\tau$ в (2.8.25), получаем связь между функциями $W_{k}$ п $S_{j}$, которая и оыла установлена выше.

В работе Мерсмана [73] алгоритм Депри получен формальным предположением $\tau=\varepsilon$. Если считать, что теперь обозначение $S$ соответствует генератору Ли из уравнения (1.5.7), то для сохранения используемых там обозначений в уравнении (2.8.25) $S_{n}$ надо заменить на $S_{n+1} / n$ ! и тогда можно получить
\[
\begin{aligned}
S_{1} & =W_{1}, \\
S_{2} & =2 W_{2}-\sum_{i} \frac{\partial W_{1}}{\partial Q_{i}} \frac{\partial W_{1}}{\partial P_{i}}, \\
S_{3} & =6 W_{3}-2 \sum_{i}\left[\frac{\partial W_{1}}{\partial Q_{i}} \frac{\partial W_{2}}{\partial P_{i}}+\frac{\partial W_{2}}{\partial Q_{i}} \frac{\partial W_{1}}{\partial P_{i}}\right]+ \\
& +\sum_{i, j}\left[\frac{\partial^{2} W_{1}}{\partial Q_{i} \partial Q_{j}} \frac{\partial W_{1}}{\partial P_{i}} \frac{\partial W_{1}}{\partial P_{j}}+2 \frac{\partial^{2} W_{1}}{\partial Q_{i} \partial P_{j}} \frac{\partial W_{1}}{\partial P_{i}} \frac{\partial W_{1}}{\partial Q_{j}}\right]
\end{aligned}
\]

и т. д. Алгоритм Хори также получается из (2.8.25), если заменить $S(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, \tau)$ на $S(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P})$ и затем положнть $\tau=1$, т. е. разложения из уравнения (2.8.25), соответствующие разложениям (2.8.26), имеют вид
\[
\begin{array}{c}
W(\boldsymbol{q}, \boldsymbol{P})=\sum_{n=1}^{\infty} W_{n}(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}), \\
S(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P})=S_{\mathbf{1}}(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}) .
\end{array}
\]

Их подстановка в (2.8.25) (или сразу же в получающиеся из (1.6.10) разложения) дает
\[
\begin{array}{l}
W=S_{1}+\frac{1}{2} \sum_{i} \frac{\partial S_{1}}{\partial Q_{i}} \frac{\partial S_{1}}{\partial P_{i}}+ \\
+\frac{1}{6} \sum_{i, j}\left[\frac{\partial^{2} S_{1}}{\partial Q_{i} \partial Q_{j}} \frac{\partial S_{1}}{\partial P_{i}} \frac{\partial S_{1}}{\partial P_{j}}+\frac{\partial^{2} S_{1}}{\partial Q_{i} \partial P_{j}} \frac{\partial S_{1}}{\partial P_{i}} \frac{\partial S_{1}}{\partial Q_{j}}+\frac{\partial^{2} S_{1}}{\partial P_{i} \partial Q_{j}} \frac{\partial S_{1}}{\partial Q_{i}} \frac{\partial S_{1}}{\partial P_{j}}\right]+\ldots
\end{array}
\]

Затем в функциях $W$ и $S$ вводится параметр $\varepsilon$, так что
\[
W=W(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, \varepsilon), \quad S_{1}=U(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}, \varepsilon),
\]

и рассматриваются формальные ряды
\[
W=\sum_{n=1}^{\infty} W_{n}(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}) \varepsilon^{n}, \quad U=\sum_{n=1}^{\infty} U_{n}(\boldsymbol{Q}, \boldsymbol{P}) \varepsilon^{n} .
\]

Тем или иным образом обращая соотношения (2.8.27), находим
\[
\begin{array}{l}
S_{1}=W-\frac{1}{2} \sum_{i} \frac{\partial W}{\partial Q_{i}} \frac{\partial W}{\partial P_{i}}+ \\
+\frac{1}{12} \sum_{i, j}\left[\frac{\partial^{2} W}{\partial Q_{i} \partial Q_{j}} \frac{\partial W}{\partial P_{i}} \frac{\partial W}{\partial P_{j}}+4 \frac{\partial^{2} W}{\partial Q_{i}{ }^{\partial P} P_{j}} \frac{\partial W}{\partial P_{i}} \frac{\partial W}{\partial Q_{j}}+\frac{\partial^{2} W}{\partial P_{i} \partial P_{j}} \frac{\partial W}{\partial Q_{i}} \frac{\partial W}{\partial Q_{j}}\right]+\ldots
\end{array}
\]

Подставляя разложения (2.8.28) и ириравнивая члены одинакового шорядка по $\varepsilon$, из (2.8.27) находим
\[
\begin{array}{l}
W_{1}=U_{1}, \\
W_{2}=U_{2}+\frac{1}{2} \sum_{i} \frac{\partial U_{1}}{\partial Q_{i}} \frac{\partial U_{1}}{\partial P_{i}},
\end{array}
\]

а из $(2.8 .29)$
\[
\begin{array}{l}
U_{1}=W_{1} \\
U_{2}=W_{2}-\frac{1}{2} \sum_{i} \frac{\partial W_{1}}{\partial Q_{i}} \frac{\partial W_{1}}{\partial P_{i}}
\end{array}
\]

п т. д. Выписанные соотношения позволяют перевести описанный в начале параграфа метод теории возмущений Хори [54] в метод, введенный Депри.

В качестве примера рассмотрим уравнение Дюффинга без демпфирования, т. е. уравнение
\[
\ddot{u}+u+\varepsilon \gamma u^{2}=\varepsilon B \cos \omega t,
\]

где $\varepsilon \geqslant 0, \gamma \geqslant 0, B$ и $\omega
eq 0$ – постоянные параметры. Рассмотрим случай, когда $\omega$ не является рациональным и, более того, когда для любых целых чисел $p
eq 0, q$ соотношение
\[
|p \omega-q| \geqslant K(p) \varepsilon^{1 / 2}
\]

удовлетворяется для выбранной некоторым образом функции $K(p)$, скажем, для $K(p)=p^{5 / 2-\sigma}$, где целое число $\sigma \geqslant 4$. Если соотношение (2.8.33) не выполнено, то мы будем иметь дело с резонансным случаем, который рассматривается в последней главе книти.
Введя каноническое преобразование
\[
u=\sqrt{2 p_{1}} \sin q_{1}, \quad \dot{u}=\sqrt{2 p_{1}} \cos q_{1},
\]

уравнение (2.8.32) можно записать в виде
\[
\stackrel{\circ}{q}_{1}=\frac{\partial H}{\partial p_{1}}, \quad \dot{p_{1}}=-\frac{\partial H}{\partial q_{1}},
\]

где
\[
H=p_{1}+\varepsilon \gamma p_{1}^{2} \sin 4 q_{1}-\varepsilon B \sqrt{2 p_{1}} \sin q_{1} \cos \omega t .
\]

Введя далее координату $q_{2}=\omega t$ и сопряженный ей импульс $p_{2}$, систему можно привести к виду ( $j=1,2$ )
\[
\dot{q}_{j}=\frac{\partial K}{\partial p_{j}}, \quad \dot{p}_{j}=-\frac{\partial K}{\partial q_{j}},
\]
\[
\begin{aligned}
K=p_{1}+\omega p_{2}+\varepsilon\left(\gamma p_{1}^{2} \sin 4 q_{1}-B\right. & \left.\sqrt{2 p_{1}} \sin q_{1} \cos q_{2}\right)=\quad(2.8 .35) \\
& =K_{0}\left(p_{1}, p_{2}\right)+\varepsilon K_{1}\left(q_{1}, q_{2}, p_{1},-\right) .
\end{aligned}
\]

Дополнительная система определяется гамильтонианом $K_{0}$, и ее решение имеет вид
\[
q_{1}^{0}=\tau+\beta_{1}, \quad q_{2}^{0}=\omega \tau+\beta_{2}, \quad p_{1}^{0}=\alpha_{1}, \quad p_{2}^{0}=\alpha_{2},
\]

где $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta_{1}, \beta_{2}$ – постоянные. Пусть новый гамильтониан имеет вид
\[
K^{*}=K_{0}^{*}+\varepsilon K_{1}^{*}+\varepsilon^{2} K_{2}^{*}+\cdots,
\]

а генератор Ли –
\[
\varepsilon S=\varepsilon S_{1}+\varepsilon^{2} S_{2}+\ldots,
\]

с условием, что функция $K^{*}$ не должна зависеть от $\tau$ и, следовательно, $K_{0}^{*}$ – интеграл движения. Обозначим новые координаты и импульсы через $q_{1}^{*}, q_{2}^{*}, p_{1}^{*}, p_{2}^{*}$.
Из уравнения
\[
-\frac{d S_{1}}{d \tau}+K_{1}\left(q_{1}^{0}, q_{2}^{0}, p_{1}^{0},-\right)=K_{1}^{*}
\]

при условии, что $\omega$ не является целым, получаем
\[
\begin{array}{c}
K_{1}^{*}-\frac{3}{8} \gamma p_{1}^{2}, \\
S_{1}=-\frac{1}{4} \gamma p_{1}^{*^{2}} \sin 2 q_{1}^{*}+\frac{1}{32} p_{1}^{*^{2}} \sin 4 q_{1}^{*}+ \\
+\frac{B \sqrt{2 p_{1}^{*}}}{2(1+\omega)} \cos \left(q_{1}^{*}+q_{2}^{*}\right)+\frac{B \sqrt{2 p_{1}^{*}}}{2(1-\omega)} \cos \left(q_{1}^{*}-q_{2}^{*}\right) .
\end{array}
\]

Используя уравнение
\[
-\frac{d S_{2}}{d \tau}+\frac{1}{2}\left(K_{1}+K_{1}^{*}, S_{1}\right)+K_{2}=K_{2}^{*}
\]

и то, что в нашем случае $K_{2}=0$, второе приближение получаем в виде
\[
\begin{array}{c}
K_{2}^{*}=\frac{17}{64} \gamma^{2} p_{1}^{* 3}+\frac{B^{2}}{8\left(1-\omega^{2}\right)}, \\
S_{2}=-\frac{1}{2}\left[\frac{21}{32} \gamma^{2} p_{1}^{* *}+\frac{B^{2}}{4\left(1-\omega^{2}\right)}\right] \sin 2 q_{1}^{*}-\frac{3}{128} \gamma^{2} p_{1}^{*^{*}} \sin 4 q_{1}^{*}- \\
-\frac{7}{192} \gamma^{2} p_{1}^{*^{3}} \sin 6 q_{1}^{*}–\frac{B^{2}}{8 \omega\left(1-\omega^{2}\right)} \sin 2 q_{2}^{*}+ \\
+\frac{B \gamma\left(13-\omega^{2}\right)}{32\left(1-\omega^{2}\right)(1+\omega)}\left(2 p_{1}^{*}\right)^{3 / 2} \sin \left(q_{1}^{*}+q_{2}^{*}\right)+
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
+\frac{B \gamma\left(13-\omega^{2}\right)}{32\left(1-\omega^{2}\right)(1-\omega)}\left(2 p_{1}^{*}\right)^{3 / 2} \sin \left(q_{1}^{*}-q_{2}^{*}\right)- \\
-\frac{B \gamma\left(21-5 \omega^{2}\right)}{128\left(1-\omega^{2}\right)(3+\omega)}\left(2 p_{1}^{*}\right)^{3 / 2} \cos \left(3 q_{1}^{*}+q_{2}^{*}\right)- \\
-\frac{B \gamma\left(21-5 \omega^{2}\right)}{128\left(1-\omega^{2}\right)(3-\omega)}\left(2 p_{1}^{*}\right)^{3 / 2} \cos \left(3 q_{1}^{*}-q_{2}^{*}\right)+ \\
+\frac{B \gamma\left(2 p_{1}^{*}\right)^{3 / 2}}{128(5+\omega)} \cos \left(5 q_{1}^{*}+q_{2}^{*}\right)+\frac{B \gamma\left(2 p_{1}^{*}\right)^{3 / 2}}{128(5-\omega)} \cos \left(5 q_{1}^{*}-q_{2}^{*}\right)- \\
-\frac{B^{2}}{16(1+\omega)^{2}} \sin \left(2 q_{1}^{*}+2 q_{2}^{*}\right)-\frac{B^{2}}{16(1-\omega)^{2}} \sin \left(2 q_{1}^{*}-2 q_{2}^{*}\right) .
\end{array}
\]

Таким образом, в найденном приближении новый гамильтониан имеет вид
\[
K^{*}=p_{1}^{*}+\omega p_{2}^{*}+\frac{3}{8} \varepsilon \gamma p_{1}^{*^{2}}+\frac{17}{64} \varepsilon^{2} \gamma p_{1}^{*^{3}}+O\left(\varepsilon^{3}\right),
\]

где отброшена аддитивная постоянная. С другой стороны, $K_{0}^{*}$ является интегралом движения, т. е.
\[
p_{1}^{*}+\omega p_{2}^{*}=\text { const }
\]

так что функция
\[
K^{*}-p_{1}^{*}-\omega p_{2}^{*}=\frac{3}{8} \varepsilon \gamma p_{1}^{*^{2}}+\frac{17}{64} \varepsilon^{2} \gamma p_{1}^{*^{3}}+O\left(\varepsilon^{3}\right)
\]

также является интегралом, т. е: в главной своей части задача сведена к квадратурам, и за исключением только рациональных общее решение. Связь между двумя наборами переменных $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}$ и $\boldsymbol{q}^{*}, \boldsymbol{p}$ * определяется формулами (2.8.1) или в используемых сейчас обозначениях формулами
\[
\begin{array}{l}
q_{j}=q_{j}^{*}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} D_{S}^{n-1} \frac{\partial S}{\partial p_{j}^{*}}, \\
p_{j}=p_{j}^{*}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varepsilon^{n}}{n !} D_{S}^{n-1} \frac{\partial S}{\partial q_{j}^{*}},
\end{array}
\]

где $j=1,2$. Ясно, что так как функция $S$ не завнсит от $p_{2}^{*}$, то $q_{2}=q_{2}^{*}$, т. е. преобразование не изменяет времени $\left(q_{2}^{\star}=\omega t\right)$. Так как мы определили
\[
\varepsilon S=\varepsilon S_{1}+\varepsilon^{2} S_{2}+\ldots,
\]

то, если положить
\[
W=\varepsilon S,
\]

преобразование можно записать так:
\[
\begin{array}{l}
q_{j}=q_{j}^{*}+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} D_{W}^{n-1} \frac{\partial W}{\partial p_{j}^{*}}, \\
p_{j}=p_{j}^{*}-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n !} D_{W}^{n-1} \frac{\partial W}{\partial q_{j}^{*}},
\end{array}
\]

или с точностью до членов второго порядка по $\varepsilon$
\[
\begin{array}{l}
q_{j}=q_{j}^{*}+\frac{\partial W_{1}}{\partial p_{j}^{*}}+\frac{\partial W_{2}}{\partial p_{j}^{*}}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W_{1}}{\partial p_{j}^{*}}, W_{1}\right), \\
p_{j}=p_{j}^{*}-\frac{\partial W_{1}}{\partial q_{j}^{*}}-\frac{\partial W_{2}}{\partial q_{j}^{*}}-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial W_{1}}{\partial q_{j}^{*}}, W_{1}\right),
\end{array}
\]

тде
\[
W_{1}=\varepsilon S_{1}, \quad W_{2}=\varepsilon S_{2} .
\]

Очевидно, что если предположить сходимость метода, то все $p_{*}^{j}$ сведутся к константам, а $q_{j}^{*}-\mathbf{k}$ лиейным функциям времени (при этом $q_{2}^{*}=\omega t$ ). Частота уговой переменной $q_{1}^{*}$ является степенным рядом относительно в. С точностью до членов второго порядка имеем
\[
q_{j}^{*}=\left(1+\frac{3}{4} \varepsilon \gamma p_{1}^{*}+\frac{51}{64} \varepsilon^{2} \gamma p_{1}^{*^{2}}+\ldots\right) t+\beta_{1}^{*},
\]
‘де $p_{1}^{*}, \beta_{1}^{*}-$ константы.