В этой главе мы будем иметь дело с терминологией и хорошо известными утверждениями, которые необходимы для изложения результатов в остальных главах. В задачу этой главы не входит описание гамильтоновых систем и их общих свойств. Такое описание можно найти в различных книгах и монографиях, среди которых мы хотим упомянуть ставшие классическими работы Биркгофа [5], Зигеля [65], Уинтнера [69], Абрахама [1], Мозера [56]. Мы постараемся избежать каких-либо усложнений и не будем давать определения гамильтоновых систем на многообразиях и какие-то существенные представления о них не потому, что это не важно, а потому что это не является необходимым для последующего изложения.

Сначала вспомним определения матриц Лагранжа и Пуассона. Они естественным образом возникают в методе вариаций произвольных постоянных. Пусть преобразование $\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x} \rightarrow \boldsymbol{\eta}, \xi$ принадлежит классу $C^{2}$ и является обратимым в некоторой облаети $2 n$-мерного пространства. Векторы $y, x$, так же как и векторы $\eta, \xi$, имеют размерность $n$. Пусть также $z=\operatorname{col}(y, x)$ и $\xi=$ $\left.=\operatorname{col}(\eta, \xi)^{1}\right)-2 n$-мерные векторы. Матрица Лагранжа $\mathscr{L}(\zeta)$ определяется как матрица
\[
\mathscr{L}(\zeta)=J^{\mathrm{r}} M J,
\]

где $M$ – единичная симплектическая (т. е. каноническая) матрица размерности $2 n \times 2 n$, имеющая вид
\[
M=\left(\begin{array}{ll}
O & I \\
-I & O
\end{array}\right),
\]
a $J$ – матрица Якоби преобразования $z \rightarrow \zeta$, такая, что
\[
J=\partial z / \partial \xi .
\]
1) col (y. $\boldsymbol{x})$ – вектор-столбец (прті. перев.).

Легко проверить, что
\[
\mathscr{L}(\xi)=\left(\frac{\partial y}{\partial \zeta}\right)^{\mathrm{T}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \zeta}\right)-\left(\frac{\partial \boldsymbol{x}}{\partial \xi}\right)^{\mathrm{T}}\left(\frac{\partial \boldsymbol{y}}{\partial \boldsymbol{\zeta}}\right),
\]

и, следовательно,
\[
\mathscr{L}_{. i j}(\zeta)=\left[\zeta_{i}, \zeta_{j}\right]=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial y_{k}}{\partial \zeta_{i}} \frac{\partial x_{k}}{\partial \zeta_{j}}-\frac{\partial x_{k}}{\partial \zeta_{i}} \frac{\partial y_{k}}{\partial \zeta_{j}}\right) .
\]

Очевидны следующие свойства матрицы Лагранжа:
\[
\begin{array}{c}
\mathscr{L}^{\mathrm{T}}=J^{\mathrm{T}} M^{\mathrm{T}} J=-J^{\mathrm{T}} M J=-\mathscr{L}, \\
|\mathscr{L}|=|J|^{2},
\end{array}
\]
$(|A|=\operatorname{det} A$ для любой квадратной матрицы $A$ ).
Матрица Пуассона $P(\boldsymbol{z})$ определяется формулой
\[
P(z)=J M J^{\mathrm{T}},
\]

п легко проверить, что
\[
\dot{P}(z)=\left(\frac{\partial z}{\partial \boldsymbol{\eta}}\right)\left(\frac{\partial \boldsymbol{z}}{\partial \xi}\right)^{T}-\left(\frac{\partial z}{\partial \xi}\right)^{T}\left(\frac{\partial z}{\partial \boldsymbol{\eta}}\right),
\]

так что
\[
P_{i j}(z)=\left(z_{i}, z_{j}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{\partial z_{i}}{\partial \eta_{k}} \frac{\partial z_{j}}{\partial \xi_{k}}-\frac{\partial z_{i}}{\partial \xi_{k}} \frac{\partial z_{j}}{\partial \eta_{k}}\right) .
\]

Легко установить свойства матрицы Пуассона:
\[
\begin{array}{c}
P^{\mathrm{T}}=-P \\
|P|=\left|J^{-1}\right|^{2}=1 /|J|^{2} \\
\mathscr{L}^{-1}(\zeta)=J^{-1} M^{-1}\left(J^{T}\right)^{-1}=J^{-1} M\left(J^{-1}\right)^{T}=-P(\zeta) .
\end{array}
\]

Выражения (1.1.4) и (1.1.7) называются скобками Лагража и скобками Пуассона соответственно.

Если рассмотреть систему $n$ обыкновенных дифферециальных уравнений второго порядка
\[
\ddot{y}=f(y, \dot{y}, t)
\]

и ее решение
\[
\boldsymbol{y}=y^{0}(t, \alpha, \beta), \quad \dot{y}=x^{0}(t, \alpha, \beta)=\frac{\partial y^{0}}{\partial t},
\]

соответствующее начальным условиям
\[
y^{0}(0, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{y}_{0}, \quad \boldsymbol{x}^{0}(0, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\dot{\boldsymbol{y}}_{0},
\]

то легко проверить, что
\[
\frac{\partial x^{0}}{\partial t}=f(y, \dot{y}, t)
\]

Для возмущенной системы (1.1.8) имеем выражение
\[
\ddot{y}=f(y, \dot{y}, t)+g(y, \dot{y}, t)
\]

и положим, что ее решение имеет вид (1.1.9), где, разумеется, $\alpha$ и $\beta$ теперь зависят от времени. Отсюда следует, что
\[
\frac{d y}{d t}=\frac{\partial y^{0}}{\partial t}+\frac{\partial y^{0}}{\partial \boldsymbol{\alpha}} \dot{\boldsymbol{\alpha}}+\frac{\partial y^{0}}{\partial \boldsymbol{\beta}} \dot{\boldsymbol{\beta}}=x^{0}(t, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})
\]
т. e.
\[
\frac{\partial y^{0}}{\partial \alpha} \dot{\alpha}+\frac{\partial \boldsymbol{y}^{0}}{\partial \boldsymbol{\beta}} \dot{\boldsymbol{\beta}}=0,
\]

тде $\alpha, \beta$ – векторы размерности $n$. Далее пмеем
\[
\frac{d \dot{\boldsymbol{y}}}{d t}=\frac{\partial \boldsymbol{x}^{0}}{\partial t}+\frac{\partial \boldsymbol{x}^{0}}{\partial \boldsymbol{\alpha}} \dot{\boldsymbol{\alpha}}+\frac{\hat{\partial} \boldsymbol{x}^{0}}{\partial \boldsymbol{\beta}} \dot{\boldsymbol{\beta}}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{y}, \dot{\boldsymbol{y}}, t)+\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}, \dot{\boldsymbol{y}}, t)
\]

и, следовательно,
\[
\frac{\partial x^{0}}{\partial \alpha} \dot{\alpha}+\frac{\partial x^{0}}{\partial \boldsymbol{\beta}} \dot{\boldsymbol{\beta}}=g\left(y^{0}(t, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}), x^{0}(t, \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}), t\right) .
\]

Система $2 n$ обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка (1.1.12) и (1.1.13) образует систему уравнений Лагранжа для вариаций произвольных постоянных. Эти уравнения можно записать в виде одной слстемы, шспользуя, например, матрицу Лагранжа $\mathscr{L}(\boldsymbol{\gamma})$, где $\boldsymbol{\gamma}=\operatorname{col}(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$. Тогда получим
\[
\mathscr{L}(\gamma) \cdot \dot{\gamma}=\left(\frac{\partial x^{0}}{\partial \gamma}\right)^{T} \boldsymbol{g}\left(y^{0}(t, \gamma), x^{0}(t, \gamma), t\right)
\]

Ясно, что из уравнений (1.1.14) можно найти $\boldsymbol{\gamma}$ при выполнении обычного условия
\[
|\mathscr{L}(\boldsymbol{\gamma})|
eq 0,
\]

означающего, что выполнено неравенство
\[
\left|\frac{\partial\left(\boldsymbol{y}^{0}, \boldsymbol{x}^{(i)}\right)}{\partial(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})}\right| \div 0
\]

которое будет удовлетворено, если считать $\boldsymbol{y}^{0}, \boldsymbol{x}^{0}$ общим решением уравнений (1.1.8) с произвольными начальными условиями $\boldsymbol{y}_{0}$, $\boldsymbol{x}_{0}$ или с постоянными интегрирования $\alpha, \beta$. Более того, мы потребуем, чтобы матрица
\[
P(\gamma)\left(\frac{\partial y^{0}}{\partial \gamma}\right)^{\mathrm{r}} g\left(y^{0}, x^{0}, t\right)
\]

удовлетворяла условиям Лицшица в некоторой области $\gamma$-пространства. Строго говоря, все вышеперечисленные утверждения носят локальный характер, однако, и это становится важным при рассмотрении каких-нибудь цриожений, эти утверждения можно распространить на некоторую область изменения переменных. Аналогичным образом функции, которые мы будем рассматривать, считаются непрерывно дифференцируемыми по $t$, вообще говоря, при всех вещественных $i$.

Матрицы Лагранжа и Пуассона удовлетворяют системе обыквовенных дифференциальных уравнений, обладающей некоторыми замечательными свойстваии. Действительно, рассмотрим систему $2 n$ дифференциальных уравнений
\[
\dot{z}=\varphi(z, t)
\]

и ее решение $\boldsymbol{z}(\gamma, t) \in C^{2}$, зависящее от $2 n$ пастоянных интегрировавия $\gamma$ и времени $t$, в некоторой области $\gamma$-пространства для всех $|t|<T$. Пусть $J=\partial z^{\prime} \partial \gamma-$ неособенная матрица Якоби преобразования $\boldsymbol{\gamma} \rightarrow \boldsymbol{z}$,которая по предположению также есть матрица класса $C^{2}$. Тогда получим
\[
\dot{J}=\frac{d}{d t} \frac{\partial z}{\partial \gamma}=\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial z}{\partial \gamma}(\gamma, t)=\frac{\partial}{\partial \gamma} \dot{z}(\gamma, t)=\frac{\partial}{\partial \gamma} \varphi(z(\gamma, t), t)=\frac{\partial \varphi}{\partial z} J
\]

или
\[
\dot{J}=G J
\]

где $G=\partial \varphi / \partial z$ – неособенная матрица размерности $2 n \times 2 n$. Теперь будем считать
\[
\mathscr{L}(\boldsymbol{\gamma}, t)=J^{\mathrm{r}} M J,
\]

так что, используя (1.1.15), находим
\[
\dot{\mathscr{L}}=J^{\mathrm{r}}\left(G^{\mathrm{r}} M+M G\right) J .
\]

Лемма. Матрица Лагранжа $\mathscr{L}(\boldsymbol{\gamma}, t)$ преобразования $\boldsymbol{\gamma} \rightarrow \boldsymbol{z}$ является постоянной тогда и только тогда, когда матрица $M G$ симметрична.

Действительно, пусть матрица $M G$ симметрична, т. е.
\[
M G==(M G)^{\mathrm{r}}=-G^{\mathrm{r}} M .
\]

Тогда $G^{\mathrm{r}} M+M G=0$ и $\dot{\mathscr{L}}=0$. Обратно, пусть $\dot{\mathscr{L}}=0$. При описанных выше предположениях отсюда следует, что
\[
G^{\mathrm{T}} M+M G=0
\]

или
\[
G^{\mathrm{r}} M=-M G=M^{\mathrm{r}} G=\left(G^{\mathrm{r}} M\right)^{\mathrm{r}},
\]

что и завершает доказательство.
– Из (1.1.16) и доказанной леммы следует, что поток гамильтоновой системы сохраняется (теорема Лиув плля).

Действительно, в случае если $H=H(\boldsymbol{z})$ является гамильтонианом, имеем
\[
\dot{z}=M H_{z}^{\mathrm{T}},
\]

так что
\[
G=\frac{\partial}{\partial z}\left(M H_{z}^{\mathrm{T}}\right)=M H_{z z}
\]

и матрица $M G=-H_{z z}$, следовательно, симметрическая. Отсюда получаем $\dot{\mathscr{L}}=0$ или
\[
\frac{d}{d t}\left(J^{\mathrm{r}} M J\right)=0,
\]
т. е. $J^{\mathrm{r}} M J=$ const. Пусть $\gamma$-вектор начальных условий $\boldsymbol{z}_{0}$, а $J_{0}=I$ (единичная матрица), и, следовательно,
\[
J^{\mathrm{T}} M J=M,
\]

а также, в частности,
\[
|J|=\text { const }=1,
\]

что п доказывает теорему (случай $|J|=-1$ отбрасывается по непрерывности).

Если $2 n$-мерный вектор $z$ состоит из $n$-мерных векторов $\boldsymbol{y}$ и $\boldsymbol{x}$ (координаты и импульсы), то более точно можно записать
\[
J=\left(\begin{array}{ll}
\frac{\partial y}{\partial y_{0}} & \frac{\partial y}{\partial x_{0}} \\
\frac{\partial x}{\partial y_{0}} & \frac{\partial x}{\partial x_{0}}
\end{array}\right)
\]

и прп $t=0$
\[
J_{0}=\left(\begin{array}{cc}
I_{n}^{*} & O \\
O & I_{n}
\end{array}\right)=I_{2 n} .
\]

Отсюда следует, что отображение $z_{0} \rightarrow z$ можно представить в виде
\[
y=y_{0}+\widetilde{Y}\left(x_{0}, y_{0}, t\right), \quad x=x_{0}+\widetilde{X}\left(x_{0}, y_{0}, t\right),
\]

где $\widetilde{\boldsymbol{Y}}\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, 0\right)=\widetilde{\boldsymbol{X}}\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, 0\right)=0$, так что для достаточно малых $t$ имеем
\[
\tilde{\boldsymbol{Y}}\left(x_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, t\right)=t \boldsymbol{Y}\left(x_{0}, y_{0}, t\right), \quad \widetilde{\boldsymbol{X}}\left(x_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, t\right)=t \boldsymbol{X}\left(x_{0}, \boldsymbol{y}_{0}, t\right) .
\]

Эту ситуацию можно также рассмотреть с другой точки зрения. Так как при $t=0$ отображение $z_{0} \rightarrow z$ является тождественным, то существует такая производящая функция
\[
S=\boldsymbol{x}_{0}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}+t W\left(\boldsymbol{x}_{0}, \boldsymbol{y}, t\right),
\]

что выполняются равенства
\[
x=\boldsymbol{S}_{y}^{\mathrm{T}}=x_{0}+t W_{y_{0}}^{\mathrm{T}}, \quad y_{0}=S_{x_{0}}^{\mathrm{T}}=y+t W_{x_{0}}^{\mathrm{T}},
\]

а это эквивалентно соотношениям (1.1.18).