Хейл получил условия, определяющие существование периодических решений, и условия их устойчивости. Исходное предположение при этом заключается в гипотезе существования преобразования
\[
x=y+\varepsilon u(t, y, \varepsilon)
\]

при достаточно общих условиях, которое приводит уравнение (2.10.1) к виду
\[
\dot{y}=\varepsilon f_{0}(y)+\varepsilon F(t, y, \varepsilon),
\]

где $F(t, y, 0)=0$. Ясно, что блнзкое к тождественному преоб̈разование (2.10.3) приводит к системе (2.10.4), отличающейся от (2.10.2) членами порядка не ниже $O\left(\varepsilon^{2}\right)$. Опибка, оцененная Кинером, в действительности язляется только уточнением этой основной ошибки.

Мозер [84] ${ }^{1}$ ) изучил с современной точки зрения топологию кеплеровского движения, особы точки фазового пространства и ввел понятие усреднения на многообразии, пзбежав явного пспользования операций с коорднатами. Его существенные результаты основаны на применении специальных методов к векторному полю, задаваемому кеплеровским двнжением. Процедура регуляризации, использованная Мозером при изучении орбит, близких к началу координат ( $r=0$ ), была введена Леви-Чивита и хорошо известна под названшем преобразование обращения. Обычно при изученип глобального поведения траекторий оно не исдользуется, так как добавляе? новые особенности в тех точках, где скорость частицы равна нулю.

Предположив, что правые части дифференциальных уравнений являются периодическими функциями времени, Ларичева [66] получила значительно более лучшую оценку ошибки усредненных уравнений небесномеханического движения, чем ошибка, оцененная Боголюбовым и Митропольским [8]. В своей рабоге «Теория орбит вблизи сжатой планеты» Кинер [64] дал оттичное описание методов усреднения, а также, для частного примера, описание теори периодических поверхностей Дилиберто и ее связи с методами усреднения. В этом тастном случае, как и ожидалось, существуют двумерные торы, так как предполагается, что поле планеты имеет цилиндрическую симметрию. Кинер также применил метод, развитый Хейлом в книге «Нелинейные колебания» [49], для получения условий периодичности орбит и, кроме того, построил их приближения.

Что касается применения метода Пуанкаре к гамильтоновым системам, когда гамильтониан представляется степенным рядом
1) См. также [13*] (прим. перев.).

по координатам и импульсам (как в примере из начала шестого параграфа), то он был описан в работе Джакальи [37]. Эта проблема сначала естественным образом возникла в теории малых колебаний, а затем в небесной механике при использовании переменных Пуанкаре и в задаче о резонансе. На этом пути получено некоторое обобщение понятия нормализации Биркгофа, связанное, во-первых, с предположением о том, что имеются произвольные комбинации координат и импульсов, и, во-вторых, с тем, что дается более систематическое изложение самой процедуры нормализации. Однако применение Депри [31] рядов Ли в аналогичной проблеме показывает, что возможно более сложное и эффективное использование этого метода. Как было показано в работе Джакальи [41] при исследовании колебательных случаев в әллиптической ограниченной задаче трех тел, в этом случае характеристические показатели лучше всего получать, используя метод Чезари, развитый в его работе [14]. Очевидно, после того, как получены выражения для характеристических показателей в впде рядов по малому параметру до некоторого порядка, нетрудно будет использовать преобразование Ляпунова, сводящее задачу к ннтегрированию линейной системы, коәффициенты которой являғотся постоянными при учете членов того же порядка по малому параметру. В этом случае проблема малых делителей из метода Пуанкаре переходит в задачу о параметрическом резонансе.

Построение интегралов движения с помощью метода последовательных приближений к условню Пуассона, предпринятое во многих работах Контопулоса, очень хорошо показывает изменение вида этих интегралов (или квазиинтегралов) при пересечении резонансных зон. Так как в предельном случае резонансные точки также плотны в фазовом пространстве, как множество рациональных чисел на отрезке, то можно ожидать очень запутанного п сложного поведения этих интегралов, пзменяющих свой вид бесконечно много раз на каждом конечном интервале частот, определяемом малым параметром и (или) начальными условиями. В действительности этот факт не будет мешать сходимости для фиксированных наборов частот, образующих множество ненулевой меры. Однако такие интегралы не могут быть аналитическими, а никакие их представления в виде рядов не могут быть равномерно сходящимися или непрерывными. Bсе проведенные здесь рассмотрения и высказанные предположения весьма тесно соприкасаются с теориями Мозера и Колмогорова.

Построение интеграла Ковалевской, проведенное нами в § 6 , представляет собой редчайший случай рядов, имеющих конечное число членов, и, разумеется, уожет быть осуществлено только в исключительных ситуациях. Тем не менее, этот пример указывает на опасности, появляющиеся при попытке дать определение
$9^{*}$ интегрируемых и неинтегрируемых систем для всех возможных случаев.

Методы преобразований Ли в настоящее время весьма популярны и они действительно представляют собой настоящий прорыв в стене классических методов. По крайней мере, можно сказать, что они были неизвестны Пуанкаре,-факт, в общем-то, удивительный для методов теории возмущений. Честь введения этих новых методов принадлежит Хори. Более поздние работы и модифицированные алгоритмы надлежит рассматривать только как обработку и другие варианты одной и той же основной идеи. Одним из лучших примеров использования этих методов является работа Депри и Рома [31] об основных задачах, связанных с искусственными спутниками Земли. Кроме того, таким приме ром могут служить недавние исследования Джакальи и др. [39, 40] о движении твердого тела под влиянием центрального гравитационного поля. Различные примеры также приводят Чой и Тәпли [16].

Пример, который мы дали при решении уравнения Ван дер Поля, с точностью до членов третьего порядка рассмотрен в недавней работе Хори [55], посвященной негамильтоновым системам. Этот пример является лучшим образдом пспользования метода преобразований Ли в негамильтоновых системах. Гамильтонизацию уравнения Ван дер Поля
\[
\ddot{x}=-\varepsilon\left(\mathfrak{i}-x^{2}\right) \dot{x}-x
\]

можно провести, если положить $x=y_{1}, \dot{x}=y_{2}$, так что
\[
\dot{y}_{1}=y_{2}, \quad \dot{y}_{2}=-\varepsilon\left(1-y_{1}^{2}\right) y_{2}-y_{1},
\]

и гамильтониан пмеет вид

где
\[
H=x_{1} \dot{y_{1}}+x_{2} \dot{y_{2}}=H_{0}+H_{1},
\]
\[
\begin{array}{l}
H_{0}=x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}, \\
H_{1}=-\varepsilon\left(1-y_{1}^{2}\right) x_{2} y_{2} .
\end{array}
\]

Уравнения движения записываются так:
\[
\dot{y}_{k}=H_{x_{k}}, \quad \dot{x}_{k}=-H_{y_{k}},
\]

а дополнительная система, определяемая гамильтонианои $K=$ $=\xi_{1} \eta_{2}-\xi_{2} \eta_{1}$, имеет вид
\[
\begin{array}{ll}
\frac{d \xi_{1}}{d \tau}=\xi_{2}, & \frac{d \xi_{2}}{d \tau}=-\xi_{1}, \\
\frac{d \eta_{1}}{d \tau}=\eta_{2}, & \frac{d \eta_{2}}{d \tau}=-\eta_{1},
\end{array}
\]

и ее решение можно записать следующим образом:
\[
\begin{array}{rlrl}
\xi_{1}^{0} & =\alpha_{1} \sin \left(\tau+\beta_{1}\right), & \xi_{2}^{0}=\alpha_{1} \cos \left(\tau+\beta_{1}\right), \\
\eta_{1}^{0}=\alpha_{2} \sin \left(\tau+\beta_{2}\right), & \eta_{2}^{0}=\alpha_{2} \cos \left(\tau+\beta_{2}\right) .
\end{array}
\]

Из уравнения для приближения первого порядка
\[
-\frac{d S_{1}}{d \tau}+H_{1}=K_{1}
\]

мы получаем
\[
\begin{array}{c}
K_{1}=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} H_{1}(\tau) d \tau=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T}\left[-\varepsilon\left(1-\eta_{1}^{0^{2}}\right) \eta_{2}^{0}-\eta_{1}^{0}\right] d \tau= \\
=-\frac{\varepsilon \alpha_{1} \alpha_{2}}{2}\left(1-\frac{\alpha_{2}^{2}}{4}\right) \cos \left(\beta_{1}-\beta_{2}\right), \\
S_{1}=\int\left[H_{1}(\tau)-K_{1}\right] d \tau .
\end{array}
\]

Полное решение задачи до членов третьего порядка приведено в работе Чоя и Тәнли [16].

Наконец, для более детального и всеобъемлющего понимания методов усреднения, как с точки зрения Крылова и Боголюбова, так и с точки зрения Пуанкаре, а также для оценки отбрасываемых членов более высокого порядка, мы отсылаем читателя к носвященной классическим вопросам работе Мьюзена [87] и к обширной работе Волосова [101].