Главная > МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (Г. Е. О. ДЖАКАЛЬЯ)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Мы завершим эту главу кратким обсуждением задачи о нелинейной связи осцилляторов. Это описание основано на результатах, полученных в работе Хори [46], и служит заключительным примером использования методов теории возмущений, основанных на рядах Ли для консервативных систем. Рассматриваемая система описывается уравнениями
x¨1+ω12x1=εx22,x¨2+ω22x2=2εx1x2,

где ω1,ω2,ε — положительные вещественные постоянные. Существование третьего интеграла для этой системы уравнений исследовалось в нескольких работах Контопулоса и др. [19-22].

В гамильтоновой форме уравнения (5.9.1) можно переписать так:
xk˙=Fyk,yk˙=Fxk(k=1,2),

где
F=F0(x,y)+F1(x),F0=12(y12+y22+ω12x12+ω22x22),F1=εx1x22.

Расматриваемая теория строится до членов второго порядка включительно. Для канонического преобразования (x,y)(ξ,η), определяемого по формулам
xj=ξj+S1ηj+S2ηj+12(S1ηj,S1),yj=ηjS1ξjS2ξj12(S1ξj,S1),

где мы пренебрегли членами порядка O(ε3), генератор Ли — Хори S(ξ,η,ε) представи́м в виде степенного ряда по ε
S=S1+S2+

С точностью до членов того же порядка отображение функции f(ξ,η) с помощью генератора S задается формулой
f(x,y)=f(ξ,η)+(f,S1)+(f,S2)+12((f,S1),S1).

Это соотношение, как указывалось в главе II, может быть использовано для получения формулы
Φ(ξ,η)=F(x,y),

где Ф- новый (преобразованный) гамильтониан. Заметим, что в этом примере обозначения x и ξ приняты для координат, а обозначения y и η — для импульсов.
Так как
Φ0=F0=12(η12+η22+ω12ξ12+ω22ξ22),

то решение дополнительной системы имеет вид ( j=1,2 )
ξj=cjcos(ωjτ+cj),ηj=cjωjsin(ωjτ+cj).

Нерезонансный случай. Пусть ω1 и ω2 — линейно независимы на множестве целых чисел. Тогда решение соответствующих уравнений имеет вид
Φ1=limT1T0TF1(ξ(τ),η(τ))dτ=F1s,S1=[F1(ξ(τ),η(τ))Φ1]dτ,Φ2=12(F1+Φ1,S1)s,S2={12(F1+Φ1,S1)Φ2}dτ,Φ3=12(F1+Φ1,S2)s+12(F2+Φ2,S1)s++112((F1Φ1,S1),S1)s

и дает генератор S до членов второго порядка включительно, а новый гамильтониан до членов гретьего порядка.
В нашем случае находим
S1=εω12(ω124ω22)[(ω122ω22)η1ξ222ω12ξ1ξ2η22η1η22]Φ1=0S2=ε22ω12(ω124ω22){ξ1η1ω22ω12[(2ω12+ω22)ξ223η22]++ξ2η2[ω12(4ω22ω12)ω22(ω12ω22)ξ12ω12+2ω22ω22(ω12ω22)η12++5ω128ω228ω22ξ22+3ω1228ω24η22]}Φ2=ε22ω12(ω124ω22)[(ω2238ω12)(ξ22+η22ω22)2++ω12(ξ12+η12ω12)(ξ22+η22ω12)],Φ3=0.

В соответствии с общими результатами, установленными в главе II, следующие величины являются интегралами движения для дифференциальных уравнений, соответствующих гамильтониану Φ(ξ,η):
Φ(ξ,η)= const ,Φ0(ξ,η)= const. 

Легко проверить, что из (5.9.16) следует ( j=1,2 )
ξj2+1ωj2ηj2=cj2= const. 

Следовательно, решение уравнений, соответствующих гамильтониану Φ, имеет вид
ξj=cjcos(ωjt+cj),ηj=cjωjsin(ωjt+cj),

где «исправленные» частоты ωj с точностью до членов порядка O(ε4) определяются формулами
(ω1)2=ω12{1+ε2c22ω12(ω124ω22)}(ω2)2=ω22{1+ε2ω12ω22(ω124ω22)[ω12c12+(2ω2234ω12)c22]}

Связь между переменными (x,y ) и ( ξ,η ) легко устанавливается с помощью формул (5.9.6). Формула, соответствующая формуле (5.9.7), при обратном преобразовании имеет вид
f(ξ,η)=f(x,y)(f,S1)(f,S2)+12((f,S1),S1)+

где невыписанные члены имеют порядок O(ε3). Применение формулы (5.9.20) к функции
f=ξ12+1ω12η12=c12= const 

дает с той же точностью третий интеграл, полученный в работө Контопулоса [22]:
x12+1ω12y12+=c12= const. 

Использование в тех же целях функции
f=ξ22+1ω22η22

не дает нового интеграла, не зависящего от c12 и интеграла энергии ( Φ или F ).

Резонансный случай. Из (5.9.15) и (5.9.19) ясно, что в рассматриваемых нами приближениях надо исключить случаи
ω12=4ω22,ω12=ω22.

В действительности по мере получения приближенпй высших порядков будут появляться делители вида nω1mω2, где целые числа n,m увеличиваются вместе с порядком строящейся теории. Каю указывалось в предыдущих параграфах, даже не надо, чтобы эти делители обращались в нуль, а для неприменимости теории достаточно, чтобы они были достаточно малыми. Например, первое из соотношений (5.9.15) показывает, что если ω124ω22=O(ε), то функция S1 больше не будет величиной первого порядка малости, как это предполагается с самого начала. В таких случаях аргумент (критический), соответствующий малому делителю, надо оставить в функции Ф, если она выражается через решение дополнительной системы (5.9.9).
Если ω124ω22, то такой подход приводит к выражениям
Φ1=ε4ω1ω22[ω1ξ1(ω22ξ22η22)+2ω2η1ξ2η2],S1=ε4ω12ω22(ω1+2ω2)[ω22(3ω1+4ω2)η1ξ22++(ω1+4ω2)η1η22+2ω12ω2ξ1ξ2η2],Φ2=ε232ω12ω22(ω1+2ω2)[4ω12ω2(ξ12+η12ω12)(ξ22+η22ω22)++ω22(5ω1+8ω2)(ξ22+η22ω22)2].

Этих соотношений достаточно для последующего построения третьего интеграла п подтверждения результатов, полученных в работе Контопулоса [21].

Теперь, как и предлагается в методе Линдстедта, можно ввести такое каноническое преобразование, после применения которого одна из координат не будет входить в гамильтониан, а именно, та координата, которая соответствует некритическому аргументу. Следовательно, при использовании дополнительной спстемы новые координаты надо определить по формулам
q1=2(ω2τ+c2)(ω1τ+c1),q2=(ω2τ+c2).

Второе из этих соотношений выбрано таким образом, что q2 не будет входить в гамильтониан, а соответствующий импульс будет совпадать с найденным Контопулосом третьим интегралом для резонансного случая. Вообще говоря, за q2 можно принять любую линейную комбинацию величин ω1τ+c1 и ω2τ+c2 (не кратную только критическому аргументу q1 ). Импульсы, соответствующие координатам q1,q2, определенным по формулам (5.9.22), записываются так:
p1=ω12c12,p2=ω1c12+ω22c22,

а сами переменные q1,q2,p1,p2 легко выражаются через ξ,η с помощцью формул (5.9.9).

Легко видеть, что гамильтониан, записанный в переменных q,p, не содержит q2, так что p2 — константа, т. е.
ω1(ξ12+η12ω12)+ω22(ξ22+η22ω22)=p2= const. 

Преобразование этого выражения с помощью формулы (5.9.20) дает третий интеграл Контопулоса в этом резонансном случае:
ω1(x12+y12ω12)+ω22(x22+y22ω22)++2εω1ω2(ω1+2ω2)[ω2(ω1+ω2)x1x22+x1y22y1x2y2]+=p2= const. 

Хори в упомянутой выше работе получил полностью эквивалентный результат, положив ω12=4ω22 (точное равенство) )1 ).

Другой резонансный случай, рассмотренный Контопулосом [22], а также описанный здесь,— это случай ω12ω22 ). В этом случае критический аргумент, приводящий к появлению малого (или нулевого) делителя в общей теории, имеет вид (ω1τ+c1) (ω2τ+c2). Сохраняя этот аргумент (и кратные ему аргументы) в функции Φ2 (функция Φ1 остается такой же, как и в
i) См. также [34,35], где рассиотрены и другие резонансные случаи (прим. перев.).
2) Здесь и в [22] рассмотрен только один из двух возможных случаев, так называемый случай простых әлементарных делителей определяющей матрицы невозмущенной (линейной) системы. Некоторые замечания о наличии третьего интеграла в этом и более сложном случае непростых әлементарных делителей можно найти в работе [36*] (прим. ред.).

нерезонансном случае), получаем
Φ2=ε22ω12(ω124ω22){(ω2238ω12)(ξ22+η22ω22)2++ω12(ξ12+η12ω12)(ξ22+η22ω22)+12ω1(ω1+2ω2)[(ξ121ω12η12)××(ξ221ω22η22)+4ω1ω2ξ1η1ξ2η2]}.

Как и в предыдущем случае, после введения соответствующего набора новых переменных
q1=(ω2τ+c2)(ω1τ+c1),q2=(ω2τ+c2),p1=12ω1c12,p2=12ω1c12+12ω2c22

новый гамильтониан не будет содержать координаты q2, так что импульс p2 будет постоянным. Следовательно,
12ω1(ξ12+1ω12η12)+12ω2(ξ22+1ω22η22)=p2= const, 

или, используя (5.9.20),
ω12(x12+1ω12y12)+ω22(x22+1ω22y22)εω1ω2ω124ω22[ω2(ω122ω1ω22ω22)x1x22++2(ω1ω2)(x1y22y1x2y2)]+O(ε2)=p2= const. 

Опять можно показать, что эта формула точно совпадает с результатами, полученными Контопулосом в случае ω12ω22.

В обоих рассмотренных здесь резонансных случаях легко видеть, тто новый гамильтониан, записанный в переменных q,p, имеет ту же главную часть, что и в идеальной резонансной проблеме. А именно, для резонанса ω124ω22 имеем
H=(ω12ω2)p1+ω2p2ε2ω1ω2(p22p1)p1cosq1,

а для резонанса ω12ω22
H=(ω1ω2)p1+ω2p2+ε4ω12ω22(ω124ω22)[(8ω223ω12)p22+

+2(3ω12+4ω1ω28ω22)p1p2(3ω12+8ω1ω28ω22)p12++4ω2(ω1+2ω2)(p2p1)p1cos2q1].

В обопх стучаях видно, что при точном резонансе
H0/p1=0.

Однако во втором случае можно допустить, что эта производная является малой величиной порядка O(ε), и тогда по-прежнему можно получить решение в виде формальных рядов по степеням ε. В первом случае величина наименьшего порядка может быть малой величиной порядка O(ε1/2), и в этом случае репение надо строить по степеням ε1/2, о чем и говорилось в предыдущем параграфе.

Системы дифференциальных уравнений тиша системы (5.9.1) очень широко изучаются в литературе, и сравнение классических методов решения с формальным подходом, основанным на рядах Лі, может оказаться весьма плодотворным. Сходимость рядов этого последнего подхода является, вероятно, наиболее интересной частью проблемы.

1
Оглавление
email@scask.ru