Мы завершим эту главу кратким обсуждением задачи о нелинейной связи осцилляторов. Это описание основано на результатах, полученных в работе Хори [46], и служит заключительным примером использования методов теории возмущений, основанных на рядах Ли для консервативных систем. Рассматриваемая система описывается уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\ddot{x}_{1}+\omega_{1}^{2} x_{1}=\varepsilon x_{2}^{2}, \\
\ddot{x}_{2}+\omega_{2}^{2} x_{2}=2 \varepsilon x_{1} x_{2},
\end{array}
\]

где $\omega_{1}, \omega_{2}, \varepsilon$ – положительные вещественные постоянные. Существование третьего интеграла для этой системы уравнений исследовалось в нескольких работах Контопулоса и др. [19-22].

В гамильтоновой форме уравнения (5.9.1) можно переписать так:
\[
\dot{x_{k}}=F_{y_{k}}, \quad \dot{y_{k}}=-F_{x_{k}} \quad(k=1,2),
\]

где
\[
\begin{aligned}
F & =F_{0}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})+F_{1}(\boldsymbol{x}), \\
F_{0} & =\frac{1}{2}\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\omega_{1}^{2} x_{1}^{2}+\omega_{2}^{2} x_{2}^{2}\right), \\
F_{1} & =-\varepsilon x_{1} x_{2}^{2} .
\end{aligned}
\]

Расматриваемая теория строится до членов второго порядка включительно. Для канонического преобразования $(x, y) \rightarrow(\xi, \eta)$, определяемого по формулам
\[
\begin{array}{l}
x_{j}=\xi_{j}+\frac{\partial S_{1}}{\partial \eta_{j}}+\frac{\partial S_{2}}{\partial \eta_{j}}+\frac{1}{2}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \eta_{j}}, S_{1}\right), \\
y_{j}=\eta_{j}-\frac{\partial S_{1}}{\partial \xi_{j}}-\frac{\partial S_{2}}{\partial \xi_{j}}-\frac{1}{2}\left(\frac{\partial S_{1}}{\partial \xi_{j}}, S_{1}\right),
\end{array}
\]

где мы пренебрегли членами порядка $O\left(\varepsilon^{3}\right)$, генератор Ли – Хори $S(\xi, \eta, \varepsilon)$ представи́м в виде степенного ряда по $\varepsilon$
\[
S=S_{1}+S_{2}+\ldots
\]

С точностью до членов того же порядка отображение функции $f(\xi, \eta)$ с помощью генератора $S$ задается формулой
\[
f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=f(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})+\left(f, S_{1}\right)+\left(f, S_{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\left(f, S_{1}\right), S_{1}\right) .
\]

Это соотношение, как указывалось в главе II, может быть использовано для получения формулы
\[
\Phi(\xi, \eta)=F(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}),
\]

где Ф- новый (преобразованный) гамильтониан. Заметим, что в этом примере обозначения $\boldsymbol{x}$ и $\boldsymbol{\xi}$ приняты для координат, а обозначения $\boldsymbol{y}$ и $\boldsymbol{\eta}$ – для импульсов.
Так как
\[
\Phi_{0}=F_{0}=\frac{1}{2}\left(\eta_{1}^{2}+\eta_{2}^{2}+\omega_{1}^{2} \xi_{1}^{2}+\omega_{2}^{2} \xi_{2}^{2}\right),
\]

то решение дополнительной системы имеет вид ( $j=1,2$ )
\[
\xi_{j}=c_{j} \cos \left(\omega_{j} \tau+c_{j}^{\prime}\right), \quad \eta_{j}=-c_{j} \omega_{j} \sin \left(\omega_{j} \tau+c_{j}^{\prime}\right) .
\]

Нерезонансный случай. Пусть $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$ – линейно независимы на множестве целых чисел. Тогда решение соответствующих уравнений имеет вид
\[
\begin{aligned}
\Phi_{1} & =\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} F_{1}(\xi(\tau), \eta(\tau)) d \tau=F_{1 s}, \\
S_{1} & =\int\left[F_{1}(\xi(\tau), \eta(\tau))-\Phi_{1}\right] d \tau, \\
\Phi_{2} & =\frac{1}{2}\left(F_{1}+\Phi_{1}, S_{1}\right)_{s}, \\
S_{2} & =\int\left\{\frac{1}{2}\left(F_{1}+\Phi_{1}, S_{1}\right)-\Phi_{2}\right\} d \tau, \\
\Phi_{3}=\frac{1}{2}\left(F_{1}+\Phi_{1}, S_{2}\right)_{s}+\frac{1}{2}\left(F_{2}\right. & \left.+\Phi_{2}, S_{1}\right)_{s}+ \\
& +\frac{1}{12}\left(\left(F_{1}-\Phi_{1}, S_{1}\right), S_{1}\right)_{s}
\end{aligned}
\]

и дает генератор $S$ до членов второго порядка включительно, а новый гамильтониан до членов гретьего порядка.
В нашем случае находим
\[
\begin{array}{l}
S_{1}=\frac{\varepsilon}{\omega_{1}^{2}\left(\omega_{1}^{2}-4 \omega_{2}^{2}\right)}\left[\left(\omega_{1}^{2}-2 \omega_{2}^{2}\right) \eta_{1} \xi_{2}^{2}-2 \omega_{1}^{2} \xi_{1} \xi_{2} \eta_{2}-2 \eta_{1} \eta_{2}^{2}\right] \text {, } \\
\Phi_{1}=0 \text {, } \\
S_{2}=\frac{\varepsilon^{2}}{2 \omega_{1}^{2}\left(\omega_{1}^{2}-4 \omega_{2}^{2}\right)}\left\{\frac{\xi_{1} \eta_{1}}{\omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}}\left[\left(2 \omega_{1}^{2}+\omega_{2}^{2}\right) \xi_{2}^{2}-3 \eta_{2}^{2}\right]+\right. \\
+\xi_{2} \eta_{2}\left[\frac{\omega_{1}^{2}\left(4 \omega_{2}^{2}-\omega_{1}^{2}\right)}{\omega_{2}^{2}\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right)} \xi_{1}^{2}-\frac{\omega_{1}^{2}+2 \omega_{2}^{2}}{\omega_{2}^{2}\left(\omega_{1}^{2}-\omega_{2}^{2}\right)} \eta_{1}^{2}+\right. \\
\left.\left.+\frac{5 \omega_{1}^{2}-8 \omega_{2}^{2}}{8 \omega_{2}^{2}} \xi_{2}^{2}+\frac{3 \omega_{1}^{2}-{ }_{2}}{8 \omega_{2}^{4}} \eta_{2}^{2}\right]\right\} \text {, } \\
\Phi_{2}=\frac{\varepsilon^{2}}{2 \omega_{1}^{2}\left(\omega_{1}^{2}-4 \omega_{2}^{2}\right)}\left[\left(\omega_{2}^{2}-\frac{3}{8} \omega_{1}^{2}\right)\left(\xi_{2}^{2}+\frac{\eta_{2}^{2}}{\omega_{2}^{2}}\right)^{2}+\right. \\
\left.+\omega_{1}^{2}\left(\xi_{1}^{2}+\frac{\eta_{1}^{2}}{\omega_{1}^{2}}\right)\left(\xi_{2}^{2}+\frac{\eta_{2}^{2}}{\omega_{1}^{2}}\right)\right], \\
\Phi_{3}=0 . \\
\end{array}
\]

В соответствии с общими результатами, установленными в главе II, следующие величины являются интегралами движения для дифференциальных уравнений, соответствующих гамильтониану $\Phi(\xi, \eta):$
\[
\Phi(\xi, \boldsymbol{\eta})=\text { const }, \quad \Phi_{0}(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})=\text { const. }
\]

Легко проверить, что из (5.9.16) следует ( $j=1,2$ )
\[
\xi_{j}^{2}+\frac{1}{\omega_{j}^{2}} \eta_{j}^{2}=c_{j}^{2}=\text { const. }
\]

Следовательно, решение уравнений, соответствующих гамильтониану $\Phi$, имеет вид
\[
\xi_{j}=c_{j} \cos \left(\omega_{j}^{*} t+c_{j}^{\prime}\right), \quad \eta_{j}=-c_{j} \omega_{j} \sin \left(\omega_{j}^{*} t+c_{j}^{\prime}\right),
\]

где «исправленные» частоты $\omega_{j}^{*}$ с точностью до членов порядка $O\left(\varepsilon^{4}\right)$ определяются формулами
\[
\begin{array}{c}
\left(\omega_{1}^{*}\right)^{2}=\omega_{1}^{2}\left\{1+\frac{\varepsilon^{2} c_{2}^{2}}{\omega_{1}^{2}\left(\omega_{1}^{2}-4 \omega_{2}^{2}\right)}\right\} \\
\left(\omega_{2}^{*}\right)^{2}=\omega_{2}^{2}\left\{1+\frac{\varepsilon^{2}}{\omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}\left(\omega_{1}^{2}-4 \omega_{2}^{2}\right)}\left[\omega_{1}^{2} c_{1}^{2}+\left(2 \omega_{2}^{2}-\frac{3}{4} \omega_{1}^{2}\right) c_{2}^{2}\right]\right\}
\end{array}
\]

Связь между переменными $(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ ) и ( $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}$ ) легко устанавливается с помощью формул (5.9.6). Формула, соответствующая формуле (5.9.7), при обратном преобразовании имеет вид
\[
f(\xi, \boldsymbol{\eta})=f(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})-\left(f, S_{1}\right)-\left(f, S_{2}\right)+\frac{1}{2}\left(\left(f, S_{1}\right), S_{1}\right)+\ldots
\]

где невыписанные члены имеют порядок $O\left(\varepsilon^{3}\right)$. Применение формулы (5.9.20) к функции
\[
f=\xi_{1}^{2}+\frac{1}{\omega_{1}^{2}} \eta_{1}^{2}=c_{1}^{2}=\text { const }
\]

дает с той же точностью третий интеграл, полученный в работө Контопулоса [22]:
\[
x_{1}^{2}+\frac{1}{\omega_{1}^{2}} y_{1}^{2}+\ldots=c_{1}^{2}=\text { const. }
\]

Использование в тех же целях функции
\[
f=\xi_{2}^{2}+\frac{1}{\omega_{2}^{2}} \eta_{2}^{2}
\]

не дает нового интеграла, не зависящего от $c_{1}^{2}$ и интеграла энергии ( $\Phi$ или $F$ ).

Резонансный случай. Из (5.9.15) и (5.9.19) ясно, что в рассматриваемых нами приближениях надо исключить случаи
\[
\omega_{1}^{2}=4 \omega_{2}^{2}, \quad \omega_{1}^{2}=\omega_{2}^{2} .
\]

В действительности по мере получения приближенпй высших порядков будут появляться делители вида $n \omega_{1}-m \omega_{2}$, где целые числа $n, m$ увеличиваются вместе с порядком строящейся теории. Каю указывалось в предыдущих параграфах, даже не надо, чтобы эти делители обращались в нуль, а для неприменимости теории достаточно, чтобы они были достаточно малыми. Например, первое из соотношений (5.9.15) показывает, что если $\omega_{1}^{2}-4 \omega_{2}^{2}=O(\varepsilon)$, то функция $S_{1}$ больше не будет величиной первого порядка малости, как это предполагается с самого начала. В таких случаях аргумент (критический), соответствующий малому делителю, надо оставить в функции Ф, если она выражается через решение дополнительной системы (5.9.9).
Если $\omega_{1}^{2} \approx 4 \omega_{2}^{2}$, то такой подход приводит к выражениям
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{1}=-\frac{\varepsilon}{4 \omega_{1} \omega_{2}^{2}}\left[\omega_{1} \xi_{1}\left(\omega_{2}^{2} \xi_{2}^{2}-\eta_{2}^{2}\right)+2 \omega_{2} \eta_{1} \xi_{2} \eta_{2}\right], \\
S_{1}=\frac{\varepsilon}{4 \omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}\left(\omega_{1}+2 \omega_{2}\right)}\left[\omega_{2}^{2}\left(3 \omega_{1}+4 \omega_{2}\right) \eta_{1} \xi_{2}^{2}+\right. \\
\left.+\left(\omega_{1}+4 \omega_{2}\right) \eta_{1} \eta_{2}^{2}+2 \omega_{1}^{2} \omega_{2} \xi_{1} \xi_{2} \eta_{2}\right], \\
\Phi_{2}=-\frac{\varepsilon^{2}}{32 \omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}\left(\omega_{1}+2 \omega_{2}\right)}\left[4 \omega_{1}^{2} \omega_{2}\left(\xi_{1}^{2}+\frac{\eta_{1}^{2}}{\omega_{1}^{2}}\right)\left(\xi_{2}^{2}+\frac{\eta_{2}^{2}}{\omega_{2}^{2}}\right)+\right. \\
\left.+\omega_{2}^{2}\left(5 \omega_{1}+8 \omega_{2}\right)\left(\xi_{2}^{2}+\frac{\eta_{2}^{2}}{\omega_{2}^{2}}\right)^{2}\right] .
\end{array}
\]

Этих соотношений достаточно для последующего построения третьего интеграла п подтверждения результатов, полученных в работе Контопулоса [21].

Теперь, как и предлагается в методе Линдстедта, можно ввести такое каноническое преобразование, после применения которого одна из координат не будет входить в гамильтониан, а именно, та координата, которая соответствует некритическому аргументу. Следовательно, при использовании дополнительной спстемы новые координаты надо определить по формулам
\[
\begin{array}{l}
q_{1}=2\left(\omega_{2} \tau+c_{2}^{\prime}\right)-\left(\omega_{1} \tau+c_{1}^{\prime}\right), \\
q_{2}=-\left(\omega_{2} \tau+c_{2}^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Второе из этих соотношений выбрано таким образом, что $q_{2}$ не будет входить в гамильтониан, а соответствующий импульс будет совпадать с найденным Контопулосом третьим интегралом для резонансного случая. Вообще говоря, за $q_{2}$ можно принять любую линейную комбинацию величин $\omega_{1} \tau+c_{1}^{\prime}$ и $\omega_{2} \tau+c_{2}^{\prime}$ (не кратную только критическому аргументу $q_{1}$ ). Импульсы, соответствующие координатам $q_{1}, q_{2}$, определенным по формулам (5.9.22), записываются так:
\[
p_{1}=\frac{\omega_{1}}{2} c_{1}^{2}, \quad p_{2}=\omega_{1} c_{1}^{2}+\frac{\omega_{2}}{2} c_{2}^{2},
\]

а сами переменные $q_{1}, q_{2}, p_{1}, p_{2}$ легко выражаются через $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta}$ с помощцью формул (5.9.9).

Легко видеть, что гамильтониан, записанный в переменных $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}$, не содержит $q_{2}$, так что $p_{2}$ – константа, т. е.
\[
\omega_{1}\left(\xi_{1}^{2}+\frac{\eta_{1}^{2}}{\omega_{1}^{2}}\right)+\frac{\omega_{2}}{2}\left(\xi_{2}^{2}+\frac{\eta_{2}^{2}}{\omega_{2}^{2}}\right)=p_{2}=\text { const. }
\]

Преобразование этого выражения с помощью формулы (5.9.20) дает третий интеграл Контопулоса в этом резонансном случае:
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}\left(x_{1}^{2}+\frac{y_{1}^{2}}{\omega_{1}^{2}}\right)+\frac{\omega_{2}}{2}\left(x_{2}^{2}+\frac{y_{2}^{2}}{\omega_{2}^{2}}\right)+ \\
+\frac{2 \varepsilon}{\omega_{1} \omega_{2}\left(\omega_{1}+2 \omega_{2}\right)}\left[\omega_{2}\left(\omega_{1}+\omega_{2}\right) x_{1} x_{2}^{2}+x_{1} y_{2}^{2}-y_{1} x_{2} y_{2}\right]+\ldots=p_{2}=\text { const. }
\end{array}
\]

Хори в упомянутой выше работе получил полностью эквивалентный результат, положив $\omega_{1}^{2}=4 \omega_{2}^{2}$ (точное равенство) $)^{1}$ ).

Другой резонансный случай, рассмотренный Контопулосом [22], а также описанный здесь,– это случай $\omega_{1}^{2} \approx \omega_{2}^{2}$ ). В этом случае критический аргумент, приводящий к появлению малого (или нулевого) делителя в общей теории, имеет вид $\left(\omega_{1} \tau+c_{1}^{\prime}\right)$ $-\left(\omega_{2} \tau+c_{2}^{\prime}\right)$. Сохраняя этот аргумент (и кратные ему аргументы) в функции $\Phi_{2}$ (функция $\Phi_{1}$ остается такой же, как и в
i) См. также $\left[34^{*}, 35^{*}\right]$, где рассиотрены и другие резонансные случаи (прим. перев.).
2) Здесь и в [22] рассмотрен только один из двух возможных случаев, так называемый случай простых әлементарных делителей определяющей матрицы невозмущенной (линейной) системы. Некоторые замечания о наличии третьего интеграла в этом и более сложном случае непростых әлементарных делителей можно найти в работе [36*] (прим. ред.).

нерезонансном случае), получаем
\[
\begin{array}{l}
\Phi_{2}=\frac{\varepsilon^{2}}{2 \omega_{1}^{2}\left(\omega_{1}^{2}-4 \omega_{2}^{2}\right)}\left\{\left(\omega_{2}^{2}-\frac{3}{8} \omega_{1}^{2}\right)\left(\xi_{2}^{2}+\frac{\eta_{2}^{2}}{\omega_{2}^{2}}\right)^{2}+\right. \\
+\omega_{1}^{2}\left(\xi_{1}^{2}+\frac{\eta_{1}^{2}}{\omega_{1}^{2}}\right)\left(\xi_{2}^{2}+\frac{\eta_{2}^{2}}{\omega_{2}^{2}}\right)+\frac{1}{2} \omega_{1}\left(\omega_{1}+2 \omega_{2}\right)\left[\left(\xi_{1}^{2}-\frac{1}{\omega_{1}^{2}} \eta_{1}^{2}\right) \times\right. \\
\left.\left.\times\left(\xi_{2}^{2}-\frac{1}{\omega_{2}^{2}} \eta_{2}^{2}\right)+\frac{4}{\omega_{1} \omega_{2}} \xi_{1} \eta_{1} \xi_{2} \eta_{2}\right]\right\} .
\end{array}
\]

Как и в предыдущем случае, после введения соответствующего набора новых переменных
\[
\begin{array}{ll}
q_{1}=\left(\omega_{2} \tau+c_{2}^{\prime}\right)-\left(\omega_{1} \tau+c_{1}^{\prime}\right), & q_{2}=-\left(\omega_{2} \tau+c_{2}^{\prime}\right), \\
p_{1}=\frac{1}{2} \omega_{1} c_{1}^{2}, & p_{2}=\frac{1}{2} \omega_{1} c_{1}^{2}+\frac{1}{2} \omega_{2} c_{2}^{2}
\end{array}
\]

новый гамильтониан не будет содержать координаты $q_{2}$, так что импульс $p_{2}$ будет постоянным. Следовательно,
\[
\frac{1}{2} \omega_{1}\left(\xi_{1}^{2}+\frac{1}{\omega_{1}^{2}} \eta_{1}^{2}\right)+\frac{1}{2} \omega_{2}\left(\xi_{2}^{2}+\frac{1}{\omega_{2}^{2}} \eta_{2}^{2}\right)=p_{2}=\text { const, }
\]

или, используя (5.9.20),
\[
\begin{array}{l}
\frac{\omega_{1}}{2}\left(x_{1}^{2}+\frac{1}{\omega_{1}^{2}} y_{1}^{2}\right)+\frac{\omega_{2}}{2}\left(x_{2}^{2}+\frac{1}{\omega_{2}^{2}} y_{2}^{2}\right)- \\
-\frac{\varepsilon}{\omega_{1} \omega_{2} \sqrt{\omega_{1}^{2}-4 \omega_{2}^{2}}}\left[\omega_{2}\left(\omega_{1}^{2}-2 \omega_{1} \omega_{2}-2 \omega_{2}^{2}\right) x_{1} x_{2}^{2}+\right. \\
\left.\quad+2\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right)\left(x_{1} y_{2}^{2}-y_{1} x_{2} y_{2}\right)\right]+O\left(\varepsilon^{2}\right)=p_{2}=\text { const. }
\end{array}
\]

Опять можно показать, что эта формула точно совпадает с результатами, полученными Контопулосом в случае $\omega_{1}^{2} \approx \omega_{2}^{2}$.

В обоих рассмотренных здесь резонансных случаях легко видеть, тто новый гамильтониан, записанный в переменных $\boldsymbol{q}, \boldsymbol{p}$, имеет ту же главную часть, что и в идеальной резонансной проблеме. А именно, для резонанса $\omega_{1}^{2} \approx 4 \omega_{2}^{2}$ имеем
\[
H=\left(\omega_{1}-2 \omega_{2}\right) p_{1}+\omega_{2} p_{2}-\frac{\varepsilon}{\sqrt{2 \omega_{1} \omega_{2}}}\left(p_{2}-2 p_{1}\right) \sqrt{p_{1}} \cos q_{1},
\]

а для резонанса $\omega_{1}^{2} \approx \omega_{2}^{2}-$
\[
H=\left(\omega_{1}-\omega_{2}\right) p_{1}+\omega_{2} p_{2}+\frac{\varepsilon}{4 \omega_{1}^{2} \omega_{2}^{2}\left(\omega_{1}^{2}-4 \omega_{2}^{2}\right)}\left[\left(8 \omega_{2}^{2}-3 \omega_{1}^{2}\right) p_{2}^{2}+\right.
\]

\[
\begin{aligned}
+2\left(3 \omega_{1}^{2}+4 \omega_{1} \omega_{2}-8 \omega_{2}^{2}\right) & p_{1} p_{2}-\left(3 \omega_{1}^{2}+8 \omega_{1} \omega_{2}-8 \omega_{2}^{2}\right) p_{1}^{2}+ \\
& \left.+4 \omega_{2}\left(\omega_{1}+2 \omega_{2}\right)\left(p_{2}-p_{1}\right) p_{1} \cos 2 q_{1}\right] .
\end{aligned}
\]

В обопх стучаях видно, что при точном резонансе
\[
\partial H_{0} / \partial p_{1}=0 .
\]

Однако во втором случае можно допустить, что эта производная является малой величиной порядка $O(\varepsilon)$, и тогда по-прежнему можно получить решение в виде формальных рядов по степеням $\varepsilon$. В первом случае величина наименьшего порядка может быть малой величиной порядка $O\left(\varepsilon^{1 / 2}\right)$, и в этом случае репение надо строить по степеням $\varepsilon^{1 / 2}$, о чем и говорилось в предыдущем параграфе.

Системы дифференциальных уравнений тиша системы (5.9.1) очень широко изучаются в литературе, и сравнение классических методов решения с формальным подходом, основанным на рядах Лі, может оказаться весьма плодотворным. Сходимость рядов этого последнего подхода является, вероятно, наиболее интересной частью проблемы.