Главная > МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ (Г. Е. О. ДЖАКАЛЬЯ)
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

Рассмотрим систему, определяемую гамильтонианом
\[
H=H_{0}(x)+\mu H_{1}(y, x, \mu),
\]

где $0<\mu \leqslant 1$, а $H_{1}$ – периодическая (периода $2 \pi$ ) функция относптельно $y_{1}, \ldots, y_{n}$. Мы попытаемся проверить тот факт, что при этих условиях движение возмущенной системы, соответствующей гамильтониану (3.2.1), происходит на торе, который близок к тору, определяемому условиями $x_{k}=x_{k}^{0}=\mathrm{const}$ $(k=1, \ldots, n)$.

Вначале мы остановимся на кратком описании классических методов теории возмущений. Они заключаются в приведении гамильтониана $H$, определяемого формулой (3.2.1), с помощью последовательных канонических замен к таким формам:
\[
\begin{array}{l}
H=H_{0}^{(1)}\left(x^{\prime}\right)+\mu^{2} H_{1}^{(1)}\left(y^{\prime}, x^{\prime}, \mu\right), \\
H=H_{0}^{(2)}\left(x^{\prime \prime}\right)+\mu^{3} H_{1}^{(2)}\left(y^{\prime \prime}, x^{\prime \prime}, \mu\right) \text {, } \\
H=H_{0}^{(s)}\left(x^{(s)}\right)+\mu^{s+1} H_{1}^{(s)}\left(y^{(s)}, x^{(s)}, \mu\right), \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Такие методы, кақ было видно в предыдущих главах, цриводят к уравнениям вида
\[
\sum_{k=1}^{n} \omega_{k} \frac{\partial S}{\partial y_{k}}=F(x, y)=F(x, y+2 \pi),
\]

решение которых содержит малые (если вообще не нулевые) знаменатели, а получающиеся при этом ряды в общем случае расходятся; даже если частоты $\omega_{k}$ являются рационально независимыми. В последнем случае предполагается, что $n$ вецественных компонент вектора $\omega=\left(\omega_{l}, \ldots, \omega_{n}\right)$ удовлетворяют йескнечному числу неравенств
\[
\left|\sum_{i=1}^{n} k_{i} \omega_{i}\right| \geqslant\left\{\sum_{i=1}^{n}\left|k_{i}\right|\right\}^{-p} K,
\]

где $p=n+1$, все целые числа $k_{i}$ одновременно в нуль не обращаются, а число $K\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)>0$ выбирается соответствующим образом (см. [24]). Следовательно, для множества значений $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, имеющего ненулевую меру, в классической теорпи возмуцений все знаменатели ограничены снизу по абсолютной величине. Тем не менее, даже этого недостаточно, чтобы гарантировать сходимость рассматриваемых рядов. С другой стороны, так как мы считаем, что частоты $\omega_{k}$ являются непрерывными функциями $x_{k}^{0}$, то непрерывное изменение этих последних величин неминуемо приведет к резонансным значениям $\omega_{k}$, и выше упомянутые ряды в любом случае не могут быть непрерывными функциями $x_{k}^{0}$, т. е. начальных условий задачч. При некоторых ограничениях на $H_{1}$ можно установить сохранение условно-перподических движений, и первая теорема, относящаяся к этому вопросу, была предложена Колмогоровым [25]. При доказательстве теоремы Колмогорова Арнольд писал [6]: «Простая и новая идея, комбинация весьма классических и вполне современных методов, решение 200 -летних проблем, ясная геометрическая картина и широкие горизонты – таковы достоинства этой работы». Это действительно так, пбо ранние результаты Пуанкаре рассматривались в слишком общей форме, и думалось, что они оставляют только небольшой шанс на то, что динамическая система будет интегрируемой.

Можно только предполагать, что неинтегрируемые системы образуют плотное множество, скажем, в пространстве всех функций Гамильтона. Однако никаких предположений о плотностп интегрируемых систем в нашем распоряжении нет. Если онн, по крайней мере, также плотны, как множество рациовальных чисел на отрезке, то мы можем по-прежнему сказать, что существует крайне мало интегрируемых систем. В действительности рассматриваемая проблема похожа на задачу $n$ тел, на ограниченную задачу трех тел, на задачу о несимметричном волчке и т. д., в которых только доказана неинтегрируемость в том смысле, что в каких-то частных координатах и в каких-то частных случаях не существует общих интегралов или даже, в более специальных случаях, не существует алгебраических или аналитических интегралов (см., например, [43, $40,36,38])$.

Простейший вывод, который можно сделать из теоремы Колмогорова, заключается в том что при выполнении условия невырожденности $\left|\partial^{2} H_{0} / \partial x^{2}\right|
eq 0$ при малом аналитическом возмущенип большинство инвариантных многообразий (торов), определяемых функцией $H_{0}$, не разрушается, а лишь слегка деформируется. Термин «большинство» подразумевает нигде не плотное множество, дополнение которого имеет меру, малую вместе с $\varepsilon$.

Действнтельно, в любой окрестности инвариантного тора невозмущенной системы есть инвариантный тор, на котором все траектории замкнуты, т. е. частоты $\omega_{k}$ рационально зависимы. Однако при малых возмущениях эти инвариантные торы разрушаются. В любом случае для систем с больше чем одной степенью свободы ничего существенного о поведении траекторий в течение длительного времени (асимцтотически) не известно. Для консервативной системы с двумя степенями свободы многообразне, определяемое интегралом энергии, является трехмерным и содержит двумерные инвариантные торы. Это – максимальная размерность, при которой промежуток между двумя такими торами конечен и замкнут, т. е. траектории, начинающиеся в этой области, будут оставаться в ней все время. Для больших размерностей это в общем случае неверно.

Как уже упоминалось выше, для формальных рядов, получающихся при приведении гамильтониана к виду, зависящему только от переменных действие, вопрос о сходимости встает главным образом из-за появления малых знаменателей. Как отмечают Брауэр и Клеменс [14], сходимость этих рядов зависит от того, насколько быстро уменьшаются числители с увеличением порядка приближения (по мере того, как все бо́льшие числа входят в комбинации (3.2.2)). Это подразумевает, что метод последовательных приближений должен быть устроен так, чтобы увеличивалась скорость уменьшения этих числителей. Вероятно, это один из паиболее важных аспектов, описанных Колмогоровым в предложениях по доказательству его теоремы. Такой метод был создан в виде метода типа ньютоновского метода приближений, обладающего квадратичной сходимостью, в том смысле, что ошибка $n$-го приближевия $\varepsilon_{n}$ имеет порядок $\varepsilon_{n-1}^{2}$ при $n=1,2, \ldots$ п $\varepsilon_{1}<1$.

Точнее, предположим, что возмущенше $\mu H_{1}$ в (3.2.1) находится в пределах: $\left|\mu H_{1}\right|<\mu<1$ при $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ из некоторой області $D^{\prime}$. Если записать $H_{1}$ в виде
\[
H_{1}(y, x)=\sum_{k} A_{k}(x) \cdot \exp \left(i \boldsymbol{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right)
\]

где $\boldsymbol{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}=k_{1} y_{1}+\ldots+k_{n} y_{n}$, то при $|\operatorname{Im} \boldsymbol{y}| \leqslant \rho$ коэффициенты $A_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{x})$ убывают как $M \exp (-|\boldsymbol{k}| \rho)$. Принимая во внимание (3.2.2), для $\mu^{2} H_{1}^{(2)}$ можно получить оценку $M^{2} \delta_{1}^{-q}$ при $\left|\operatorname{Im} y^{\prime}\right| \leqslant \rho-\delta_{1}$. Величина $\delta_{1}$. связана с величиной $\delta_{0}$, такой, тто $M \leqslant \delta_{0}^{N}$ при $\delta_{0}>0$ достаточно малом и $N$ достаточно больпом. Следовательно, $\boldsymbol{H}_{1}^{(s)}<\delta_{s}^{N}$ при $\left|\operatorname{Im} \boldsymbol{y}^{(s)}\right|<\rho-\delta_{s}=\rho_{s}<\rho_{s-1}<\ldots<\rho$. Можно предположить, что частоты системы $\omega_{k}$ фиксированы, и проаппроксимировать решение на неизвестный тор, определяемый в пространстве, в котором частоты в точности равны заданным. В полном доказательстве теоремы, данном Арнольдом [6], частоты $\omega_{k}$ не являются фиксированными, а становятся меняющимися на каждом шаге приближения функциями действия. Упрощенный вариант теоремы Колмогорова был предложен Барраром [10]. Этот вариант сразу же приводит к некоторым следствиям в задаче представления Пуанкаре метода Линдстедта. Первоначально требовалась аналитичность функции $H$, но Мозер [33] показал достаточность существования некоторого количества производных функции $H$. Однако это требует применения процедуры сглаживания, которая будет обсуждаться в следующей главе.

Рассмотрим систему с гамильтонианом вида (везде суммирование проводится от 1 до $n$ )
\[
\begin{aligned}
H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})=H_{0} & +\sum_{k} \omega_{k} x_{k}+A(\boldsymbol{y})+ \\
& +\sum_{k} B_{k}(\boldsymbol{y}) x_{k}+\sum_{k, j} C_{k j}(\boldsymbol{y}) x_{k} x_{\boldsymbol{j}}+D(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}),
\end{aligned}
\]

где $H$-аналитическая по всем переменным п периодическая (периода $2 \pi$ ) функция перемених $y_{k}, H_{0}$ – некоторая постоянная, функция $D$ содержит степєни не ниже третьей относительно $x_{k}$, а величины $\omega_{k}$ удовлетворяют условию
\[
\left|\sum_{k} j_{k} \omega_{k}\right| \geqslant \varepsilon\left(\sum_{k}\left|j_{k}\right|\right)^{-3}
\]

прн $s=n+1$, при всех целых $j_{k}$ и при выбранной некоторым образом постоянной $\varepsilon(\omega)$.

Рассмотрим далее каноническое преобразование $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \rightarrow\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)$, определяемое производящей функцией Гамильтона – Якоби
\[
S\left(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)=\sum_{k}\left(x_{k}^{\prime}+\alpha_{k}\right) y_{k}+Y(\boldsymbol{y})+\sum_{k} x_{k}^{\prime} Y_{k}(\boldsymbol{y}),
\]

где $\alpha_{k}$ – постоянные, так что
\[
\begin{array}{c}
x_{i}=S_{y_{i}}=x_{i}^{\prime}+\alpha_{i}+Y_{y_{i}}(y)+\sum_{k} x_{k}^{\prime} Y_{k y_{i}}(y), \\
y_{i}^{\prime}=S_{x_{i}}=y_{i}+Y_{i}(y) .
\end{array}
\]

Из последнего соотношения, предположив, что матрица
\[
\beta=\frac{\partial y^{\prime}}{\partial y}=I+\left\{\frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{i}}\right\}
\]

является неособенной для $y_{i}$ из некоторой окрестности точки $y_{i}^{\prime}$, можно получить
\[
y_{i}=F_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)=y_{i}^{\prime}+\tilde{Y}_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right),
\]

и, следовательно, преобразование (3.2.6) обратимо. Подставляя $x_{i}$ из (3.2.6) в (3.2.3), находим
\[
\begin{array}{l}
H=H_{0}+\sum_{k} \omega_{k} \alpha_{k}+\sum_{k} \omega_{k} x_{k}^{\prime}+a_{(0)}+A^{*}(y)+ \\
+\sum_{k} B_{k}^{*}(y) x_{k}^{\prime}+A^{(1)}\left(y^{\prime}\right)+\sum_{k} B_{k}^{(1)}\left(y^{\prime}\right) x_{k}^{\prime}+ \\
+\sum_{k, j} C_{k j}^{(1)}\left(y^{\prime}\right) x_{k}^{\prime} x_{j}^{\prime}+D^{(1)}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right), \\
\end{array}
\]

где ( $\delta_{i j}=0, i
eq j ; \delta_{i i}=1$ )
\[
\begin{array}{l}
A^{*}(y)=\sum_{k} \omega_{k} \frac{\partial Y}{\partial y_{k}}-A(y)-a_{(0)}, \\
B_{k}^{*}(\boldsymbol{y})=\sum_{j}\left[\omega_{j} \frac{\partial Y_{k}}{\partial y_{j}}+C_{k j}\left(\alpha_{j}+\frac{\partial Y}{\partial y_{j}}\right)\right]+B_{k}(\boldsymbol{y}), \\
A^{(1)}\left(y^{\prime}\right)=\sum_{k, j} C_{k j}(y)\left(\alpha_{k}+\frac{\partial Y}{\partial y_{k}}\right)\left(\alpha_{j}+\frac{\partial Y}{\partial y_{j}}\right)+D_{0}(y), \\
B_{k}^{(1)}\left(y^{\prime}\right)=\sum_{i, j} C_{i j}(y)\left(\alpha_{i}+\frac{\partial Y}{\partial y_{i}}\right) \frac{\partial Y_{k}}{\partial y_{j}}+D_{k}(y), \\
C_{i j}^{(1)}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)=C_{i j}(\boldsymbol{y})+\sum_{k, l} C_{k, l}(\boldsymbol{y}) \frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{k}} \frac{\partial Y_{j}}{\partial y_{l}}+D_{i j}(\boldsymbol{y}), \\
D^{(1)}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, x^{\prime}\right)=D\left(\boldsymbol{y}, x^{\prime}+\boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial Y}{\partial y^{\mathrm{r}}}+\sum_{j} x_{j}^{\prime} \frac{\partial Y_{j}}{\partial \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}}\right)-D_{0}(\boldsymbol{y})- \\
-\sum_{i} D_{i}(y) x_{i}^{\prime}-\sum_{i, j} D_{i j}(y) x_{i}^{\prime} x_{j}^{\prime}, \\
D_{0}(y)=D\left(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial Y}{\partial y^{\mathrm{T}}}\right), \\
D_{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{y})=\sum_{k}\left(\delta_{i k}+\frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{k}}\right) \frac{\partial D}{\partial x_{k}}\left(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial Y}{\partial \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}}\right), \\
D_{i j}(y)=\sum_{k, l}\left(\delta_{i k}+\frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{k}}\right)\left(\delta_{j l}+\frac{\partial Y_{j}}{\partial y_{l}}\right) \frac{\partial^{2} D}{\partial x_{k} \partial x_{l}}\left(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial Y}{\partial \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}}\right) . \\
\end{array}
\]

Здесь $\boldsymbol{y}$ надо заменить на $\boldsymbol{y}^{\prime}$ согласно (3.2.7). Цель введения константы $a_{(0)}$ будет объяснена ниже. Надо обратить внимание на то, что величины $A^{*}(y)$ и $B_{k}^{*}(y)$ являются величинами первого порядка относительно $\alpha_{k}, Y, Y_{k}$, которые полагаются малыми в некотором специальном смысле. С другой стороны, величины $A^{(1)}$ и $B_{k}^{(1)}$ являются величинами второго порядка по отношению к тем же переменным.

Целью метода является уничтожение величин $A^{*}, B_{k}^{*}$, с помощью соответствующего выбора $Y, \alpha_{k}, Y_{k}(k=1, \ldots, n)$. Это можно сделать следующим образом. Введем величины
\[
z_{j}=e^{i y_{j}} .
\]

Тогда, в силу сделанных относительно $H$ предположений, в частности, имеем
\[
A(y)=\sum_{k} a_{k} e^{i\left(k^{\mathrm{T}} y\right)}=\sum_{k} a_{k} z^{(k)}
\]

тде $\boldsymbol{k}=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right),\left(\boldsymbol{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right)=k_{1} y_{1}+\ldots+k_{n} y_{n}, z^{(k)}=z_{1}^{k_{1}} \ldots z_{n}^{k_{n}} \cdot$ В силу тех же предположений, имеем
\[
Y(y)=\sum_{k
eq 0} Y^{(k)} z^{(k)}, \quad Y_{j}(y)=\sum_{k
eq 0} Y_{j}^{(k)} z^{(k)} .
\]

Считая $A^{*}(y)=0$, пз первого соотношения (3.2.9) находим $\sum_{j} \omega_{j} \frac{\partial Y}{\partial y_{j}}=\sum_{j} i \omega_{j} z_{j} \frac{\partial Y}{\partial z_{j}}=\sum_{j} i \omega_{j} \sum_{\boldsymbol{k}
eq 0} Y^{(k)} k_{j} z^{(k)}=$
\[
=\sum_{\boldsymbol{k}
eq 0} i\left(\boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{k}\right) Y^{(k)} z^{(k)}=\sum_{\boldsymbol{k}
eq \boldsymbol{\theta}} a_{k} z^{(k)},
\]

или
\[
Y^{(k)}=-i\left(\omega^{\mathrm{T}} k\right)^{-1} a_{k}
\]

что и дает определение $Y$ и $a_{(0)}$. Теперь из второго соотношения (3.2.9), определив
\[
B_{k}=\sum_{l} B_{k}^{(l)} z^{(l)}, \quad C_{k j}=\sum_{l} C_{k j}^{(l)} z^{(l)}
\]

и
\[
P_{k}(y)=\sum_{j} C_{k j} \frac{\partial Y}{\partial y_{j}}=\sum_{l} P_{k}^{(l)} z^{(l)},
\]

находим, что $\alpha_{j} \mathbf{~ и} Y_{j}^{(k)}$ определяются уравнениями
\[
\sum_{k} C_{j k}^{(0)} \alpha_{k}+P_{j}^{(0)}+B_{j}^{(0)}=0
\]

II
\[
i\left(\omega^{\mathrm{T}} k\right) Y_{j}^{(k)}+P_{j}^{(k)}+B_{j}^{(k)}+\sum_{l} C_{j l}^{(k)} \alpha_{l}=0
\]

соответственно. Разумеется, надо предположить выполненными некоторые условия, а именно:

a) величины ( $\omega^{\mathrm{T}} \boldsymbol{k}$ ) не должны обращаться в нуль (для того чтобы выражения (3.2.12) имели смысл).
б) определитель $\left\{C_{j k}^{(0)}\right\}$ не допжен быть равен нулю, чтобы уравнения (3.2.13) имели решение относительно вектора $\alpha=$ $=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$;
в) для получения констант $Y_{j}^{(k)}$ из уравнения должно быть выполнено условие (a).

Также очевидно, что если $A(y), B_{k}(y), C_{k j}(y)$ имеют конечное тригонометрическое представление в виде полиномов Фурье (относительно $y$ ), то производящая функция $S$, определяемая формулой (3.2.5), также является полиномом Фурье относительно $\boldsymbol{y}$. Описанную процедуру можно повторить п после ирименения последовательных канонических преобразований; в пределе исходной гамильтониан примет вид
\[
H=\sum_{k} \omega_{k} X_{k}+\sum_{k, j} K_{k j}(\boldsymbol{Y}) X_{k} X_{\boldsymbol{j}}+\Delta(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X})
\]

где в $\Delta$ содержатся члены не ниже третьего порядка относительно компонент $X_{k}$ вектора $\boldsymbol{X}$. В этом случае система допускает репение $(k=1, \ldots, n)$
\[
X_{k}=0, \quad Y_{k}=\omega_{k}\left(t-t_{k}\right) .
\]

Тегерь можно с́формулировать теорему Колмогорова в следующем упрощенном виде.

Теорема (Колмогоров). Пусть гамильтониан системь $H$, имеющий вид (3.2.3), аналитичен в области $D_{0}:\left|x_{k}\right| \leqslant r_{0}$, $\left|\operatorname{Im} y_{k}\right| \leqslant \rho_{0}$ и удовлетворяет в этой области следующим условиям:
a) для всех целых ненулевых одновременно чисел $j_{h}$, выбранной каким-нибудь образом постоянной $\varepsilon=\varepsilon(\omega)$ и $s=n+1$ выполнены неравенства
\[
\left|\sum_{k=1}^{n} j_{k} \omega_{k}\right| \geqslant \varepsilon\left\{\sum_{k=1}^{n}\left|j_{k}\right|\right\}^{-s} ;
\]
б) матрица $\left\{C_{j k}^{(0)}\right\}$ – неособенная.

Тогда для достаточно малых в $D_{0}$ функций $|A(y)| u\left|B_{k}(y)\right|$ существует каноническое преобрсзование $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \rightarrow(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X})$, имеюцеее вид
\[
\begin{array}{l}
x_{k}=X_{k}+E_{k}(\boldsymbol{Y})+\sum_{j} E_{k j}(\boldsymbol{Y}) X_{j}, \\
y_{k}=Y_{k}+N_{k}(\boldsymbol{Y}),
\end{array}
\]

такое, что функции $E_{k}, E_{k j^{\prime}} N_{k} 2 \pi$-периодичны по каждой компо10 г. Е. О. Джакальнненте $Y_{j}$ и аналитичны в области $\Delta_{0}$, определяемой неравенствами $\left|X_{k}\right|<\frac{3}{4} r_{0},\left|\operatorname{Im} Y_{k}\right|<\frac{3}{4} \rho_{0}$. Преобразование (3.2.19) отображает $\Delta_{0}$ в $D_{0}$, а в $\Delta_{0}$ гамильтониан $H$ имеет вид (3.2.15).

Доказательство этой теоремы состоит в основном в проверке того, что црименение последовательности канонических преобразований вида (3.2.6) образует сходящийся процесс последовательных приближений при переходе от (3.2.3) к (3.2.15), а в итоге получается аналитическое каноническое преобразование. Теорема получается в результате доказательства ряда основных лемм, установленных Арнольдом $[6,7]$. Здесь мы ограничимся упоминанием только двух главных лемм.

Лемма 1. Если $n$ ненулевьх частот удовлетворяют условиям $(3.2 .17)$, если
\[
F(z)=\sum_{(k)
eq 0} f_{(k)} z^{(k)},
\]

и если $S$ удовлетворлет уравнению
\[
\sum_{j=1}^{n} \omega_{j} \frac{\partial S}{\partial y_{j}} \equiv i \sum_{j=1}^{n} \omega_{j} z_{j} \frac{\partial S}{\partial z_{j}}=F(z),
\]

то его решение
\[
S=-\sum_{(k)
eq 0} \frac{f_{(k)} z^{(k)}}{\left(k^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\omega}\right)}
\]

удовлетворяет для выбранной соответствующим образом постоянной С следующим соотношениям:
\[
\begin{array}{c}
\|S\|_{\Gamma(\rho-h)} \leqslant \frac{C}{\varepsilon h^{s+n}}\|F\|_{\Gamma(\rho)}, \\
\left\|\frac{\partial S}{\partial y_{k}}\right\|_{\Gamma(\rho-h)}=\left\|z_{k} \frac{\partial S}{\partial z_{k}}\right\|_{\Gamma(\rho-h)} \leqslant \frac{C}{\varepsilon h^{s+n+1}}\|F\|_{\Gamma(\rho)},
\end{array}
\]

где норма || || является верхей гринью абсолютной величины функции в кольце
\[
\Gamma(\rho)=\left\{e^{-\rho} \leqslant\left|z_{k}\right| \leqslant e^{\rho}\right\}=\left\{\left|\operatorname{Im} y_{k}\right| \leqslant \rho\right\}
\]

для всех $k=1, \ldots, n и 0<h<\rho$.
Доказательство леммы опирается на условие иррациональности (3.2.17), которое дает верхнюю границу для делителей, т.е.
\[
\left|\left(\omega^{\mathrm{x}} k\right)\right|^{-1} \leqslant \frac{\theta}{\varepsilon}\left\{\sum_{j=1}^{n}\left|k_{j}\right|\right\}^{s},
\]

где $\theta$-константа, зависящая от $n$ и $s$. Наиболее утомительная часть доказательства заключается в правильной оценке величин $f_{(\boldsymbol{k})} /\left(\boldsymbol{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\omega}\right)$ в кольде $\Gamma(\rho)$ и последующей оденке функции $S$ и ее производных. Необходимые соотношения получены Арнольдом в виде основной леммы [6].
Лемма 2. Рассмотрим величины
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon_{0}=\max \left(\|A\|_{\Gamma\left(\rho_{0}\right)} ; \quad\left\|B_{k}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}\right)}\right) \\
\varepsilon_{1}=\max \left(\left\|A^{(1)}\right\| \Gamma\left(\rho_{1}\right) ; \quad\left\|B_{k}^{(1)}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{1}\right)}\right), \quad(k=1, \ldots, n), \\
r_{1}=r_{0}-2 h, \quad \rho_{1}=\rho_{0}-4 h
\end{array}
\]
$u$
\[
0<h<r_{0} / 2,0<h<\rho_{0} / 4 .
\]
$П у с т ь$
\[
\Gamma(r, \rho)=\left\{\left|x_{k}\right| \leqslant r,\left|\operatorname{Im}\left(y_{k}\right)\right| \leqslant \rho ; k=1, \ldots, n\right\},
\]
$\|F(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})\|_{\Gamma(r, \rho)}=\sup |F(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})|$ для всех $\quad(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \in \Gamma(r, \rho)$.
Рассмотрим оценки
\[
\begin{array}{c}
\max \left|C_{k j}^{*}\right| \leqslant 2 N, \\
\|D(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})\|_{\Gamma\left(r_{0}, \rho_{0}\right)} \leqslant 2 M, \quad\left\|C_{k j}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}\right)} \leqslant 2 M,
\end{array}
\]

где $C_{k j}^{*}-$ элементы матрицы, обратной $к$ матрице $\left\{C_{k j}^{(0)}\right\}$. Пусть выполнено (3.2.4) и $h<\varepsilon, t=s+n+1,1 / 2 \leqslant r_{0} \leqslant 1$.

Тогда при выполнении этих условий существуют константы $C_{k}$ $(k=1, \ldots, s)$, зависящие только от $N, M, n$ и такие, что, если $\varepsilon_{0} \leqslant h^{2 t+3} / C_{0}$, то выполненьи слео́ующие условия:
a) Преобразование (3.2.6) может быть записано в виде
\[
\begin{array}{l}
y_{i}=y_{i}^{\prime}+f_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)=F_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right), \\
x_{i}=x_{i}^{\prime}+g_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)+\sum_{j} g_{i j}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right) x_{j}^{\prime}=G_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right),
\end{array}
\]

где функции $F_{i}, G_{i}$ аналитичны при $\boldsymbol{y}^{\prime} \in \Gamma\left(\rho_{1}\right), \boldsymbol{a}$
\[
\left\|f_{i}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{1}\right)} \leqslant 2 h, \quad\left\|g_{i}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{1}\right)} \leqslant \frac{2 h}{n+2}, \quad\left\|g_{i j}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{1}\right)} \leqslant \frac{2 h}{n+2},
\]
$u$ отсюда следует, что преобразование (3.2.25) отображает $\Gamma\left(r_{1}, \rho_{1}\right)$ в $\Gamma\left(r_{0}-h, \rho_{0}-2 h\right)$. Кроме того, $\varepsilon_{1} \leqslant \frac{C_{1}}{h^{3 t+3}} \varepsilon_{0}^{2}$.
б) Новый гамильтониан определен для всех $\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}$ из $^{\Gamma}\left(r_{1}, \rho_{1}\right)$, $u$
\[
\begin{aligned}
\left\|C_{i j}^{(1)}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{1}\right)} & \leqslant\left\|C_{i j}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}\right)}+h C_{2}, \\
\left\|D^{(1)}\left(y^{\prime}, x^{\prime}\right)\right\|_{\Gamma\left(r_{1}, \rho_{1}\right)} & \leqslant \mid D(y, x) \|_{\Gamma\left(r_{0},\left[\rho_{0}\right)\right.}+h C_{3}, \\
\left|C_{i j}^{(1)}(0)-C_{i j}(0)\right| & \leqslant\left(\frac{C_{4}}{\rho_{i}}+C_{5}\right) h .
\end{aligned}
\]

Детальное доказательство этой леммы приведено в работе Баррара [10]. Сначала используется лемма 1 для оценок
\[
\begin{array}{c}
\max \left\|\frac{\partial \boldsymbol{Y}}{\partial y_{k}}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}-h\right)} \leqslant \frac{C^{\prime} \varepsilon_{0}}{h^{t+1}}, \\
\left\|P_{k}(y)\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}-h\right)} \leqslant \frac{C^{\prime \prime} \varepsilon_{0}}{h^{t+1}}, \quad\left|\alpha_{k}\right| \leqslant \frac{C^{\prime \prime \prime} \varepsilon_{0}}{h^{t+1}},
\end{array}
\]

где $C^{\prime}, C^{\prime \prime}, C^{\prime \prime \prime}$ – постоянные, зависящие только от $N, M, n$. После оценок величин $\boldsymbol{Y}, P_{k}, \alpha_{k}$ в $\Gamma\left(\rho_{0}-h\right)$ проводятся оценки $Y_{k}$ (из (3.2.14)) в $\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)$, получающиеся из леммы 1 в виде
\[
\begin{array}{l}
\max \left\|Y_{k}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)} \leqslant \frac{C^{\mathrm{I}} \varepsilon_{0}}{h^{2 t+1}}, \\
\max \left\|\frac{\partial Y_{k}}{\partial y_{j}}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)} \leqslant \frac{C^{\mathrm{V}_{\varepsilon_{0}}}}{h^{2 t+2}},
\end{array}
\]

где опять постоянные $C^{1 \mathrm{v}}, C^{\mathrm{v}}$ зависят только от $N, M, n$. Затем используется теорема Руше для того, чтобы показать, что
\[
\max \left\|Y_{h}\right\|_{\Gamma_{\left(\rho_{0}-2 h\right)}}<2 h .
\]

Тогда преобразование (3.2.26) будет иметь обратное

где
\[
y_{i}=y_{i}^{\prime}+f_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)
\]
\[
\left\|f_{i}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)}<2 h,
\]

и оно отображает $\Gamma\left(\rho_{1}\right)$ в $\Gamma\left(\rho_{\mathrm{c}}-2 h\right)$. Легко также видеть, тто функции $f_{i}\left(y^{\prime}\right)$ являются $2 \pi$-периодическими по каждой из переменных $y_{k}^{\prime}$, так что утверждение (a) леммы получается введением величины $C_{0}=\max \left(C^{\prime}, C^{\prime \prime}, C^{\prime \prime \prime}, C^{1 \mathrm{v}}, C^{\mathrm{v}}, n+2\right)$, и, следовательно все величины
\[
\max \left\|\frac{\partial Y}{\partial y_{k}}\right\|, \quad \max \left\|\frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{k}}\right\|, \quad \alpha_{k}
\]

в кольце $\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)$ меньше, чем $h /(n+2)$. Аналогично, если $y^{\prime} \in \Gamma\left(\rho_{1}\right)$, то из утверждения (а) следует: $y \in \Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)$. Все остальные оценки из утверждения (б) леммы 2 также следуют из простого использования формулы Коши и неравенства Шварда.

Доказательство теоремы Колмогорова. Предыдущие леммы сразу же приводят к доказательству теоремы. Действительно, гамильтониан $H$, записанный через $y, x$ из $\Gamma\left(r_{0}, \rho_{0}\right)$, переходит в гамильтониан такого же вида, но зависящий от $\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}$ из $\Gamma\left(r_{0}-2 h, \rho_{0}-4 h\right)$. Затем эта операция (определенная в лемме 1 и удовлетворяющая оценкам из леммы 2) повторяется. Введем определения
\[
r_{m+1}=r_{m}-2 h_{m+1}, \quad \rho_{m+1}=\rho_{m}-4 h_{m+1} .
\]

На $m$-м шаге гамильтониан $H$ определен в пространстве переменных $\left(y^{(m)}, \boldsymbol{x}^{(m)}\right) \in \Gamma\left(r_{m}, \rho_{m}\right)$, и по утверждению леммы 2
\[
\varepsilon_{m}=\max \left(\left\|A^{(m)}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{m}\right)} ; \quad\left\|B_{k}^{(m)}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{m}\right)}\right) .
\]

Основной вопрос заключается в проверке справедливости леммы 2 на каждом шаге повторного использования преобразования, определяемого в лемме 1. Опять за деталями доказательства мы отсылаем читателя к работе Баррара [10]. Основой служат оценки леммы 2 , полутающеся из условия
\[
\varepsilon_{m} \leqslant \frac{h_{m+1}^{2 t+3}}{C_{0}}, \quad \varepsilon_{m+1} \leqslant \frac{C_{1}}{h_{m+1}^{3 t+3}}\left(\varepsilon_{m}\right)^{2} .
\]

Выбор удобной величины $L>1$, удовлетворяющей неравенствам
\[
L^{m+1} \geqslant \frac{\max \left(C_{0}, C_{1}\right)}{h_{m+1}^{3 t+3}}, \quad L^{2} \varepsilon_{0}=a<1,
\]

дает $\left|\varepsilon_{m}\right|<a^{2 m}$ и
\[
\varepsilon_{m}<\frac{1}{L^{m+2}}<\frac{1}{L^{m+1}} \leqslant \frac{h_{m+1}^{3 t+3}}{C_{0}},
\]

что заменяет условия $\varepsilon_{0} \leqslant h^{2 t+3} / C_{0}$ и $\varepsilon_{1} \leqslant C_{1} / h^{3 t+3}$ из леммы 2 . Неравенство (3.2.32) будет удовлетворено, если положить $h_{m}=$ $=\delta / 2^{m}$ и $L \geqslant\left(2^{3 t+3} / \delta^{3 t+3}\right) \max \left(C_{0}, C_{1}\right)$ или $L>1$ в любом случае. Для исходного гамильтониана (3.2.3) предположим выполненными. оценки
\[
\begin{array}{c}
\left|C_{k j}^{*}\right| \leqslant N, \quad\left\|C_{k j}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}\right)} \leqslant M, \\
\|D(y, x)\|_{\Gamma\left(r_{0}, \rho_{0}\right)} \leqslant M,
\end{array}
\]

и для выбора соответствующего масштаба положим $r_{0}=1$, Выбрав достаточно малое $\delta>0$, можно показать, что $\varepsilon_{m} \rightarrow 0$ в в $\Gamma\left(\frac{3}{4} r_{0}, \frac{3}{4} \rho_{0}\right)$ при $m \rightarrow \infty$.

Осталось доказать, что предельное преобразование, получающееся итерациями леммы 1 , удовлетворяет требованиям теоремы Колмогорова (уравнения (3.2.17) и (3.2.15)). Результирующее преобразование очевидно является каноническим, так как
оно является комбинацией ряда канонических преобразований. Кроме того, суммарное преобразование $T^{(m)}$ после $m$ итераций отображает $\Gamma\left(r_{m+1}, \rho_{m+1}\right)$ в $\Gamma\left(r_{m}, \rho_{m}\right)$, и область его определения содержит в себе $\Gamma\left(\frac{3}{4} r_{0}, \frac{3}{4} \rho_{0}\right)$. Поэтому $T^{(m)}$ является равномерно ограниченным, и последовательность сходится к преобразованию $T$, которое в точности равно (3.2.17).

В доказательстве Арнольда используются более строгие методы оценок, в то время как итерации функции Гамильтона $H$, с щомощью которых здесь определены все операции из леммы 1 , аналогичны итерациям Ньютона и, таким образом, обладают квадратичной сходимостью.

При обобщении теоремы Колмогорова на случай вырожденных систем, которое предложил Арнольд, предполагается, что в использованных выше обозначениях исходный гамильтониан имеет вид
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{H}= & H_{0}+\sum_{k=1}^{m} \omega_{k} x_{k}+\sum_{j=m+1}^{n} \mu \omega_{j} x_{j}+ \\
& +\boldsymbol{A}(\boldsymbol{y})+\sum_{k=1}^{n} B_{k}(\boldsymbol{y}) x_{k}+\sum_{k, j=1}^{n} C_{k j}(\boldsymbol{y}) x_{k} x_{j}+D(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}),
\end{aligned}
\]

где $\mu$ – малый параметр, например, порядка $\varepsilon$ (см. уравнение (3.2.4)). Другой случай, также крайне трудный для изучения, соответствует условию $\operatorname{det}\left\{C_{k j}\right\}=0$. Возможно, что первый случай может быть изучен аналогично вышеизложенному случаю путем доказательства таких же лемм и теорем, но скорость сходимости будет значительно ниже, чем в общем случае.

Общая теория Мозера [35] предполагает общирные знания многих теоретических результатов алгебры и дифференциальной геометрии. Подход Мозера к невырожденному случаю значительно проще, особенно если рассматривать только аналитические возмущения, чего на самом деле не делается. По этой причине Мозер вынужден использовать очень сложные методы сглаживания, но, разумеется, шолучаются и более общие результаты.

Формулировка теоремы Колмогорова, используемая Арнольдом [6], также оказывается более общей, чем рассмотренная выше.

Рассматривается гамильтониан (3.2.1), аналитичный в некоторой области $D$ фазового пространства, скажем $D=\left\{\left|\operatorname{Im} y_{k}\right| \leqslant\right.$ $\left.\leqslant \rho, x_{k} \in G\right\} \quad(k=1, \ldots, n)$, где $G$ – открытое множество в $R^{n} u$ функция Гамильтона 2л-периодична по каждой из переменных $y_{k}$. Основное предположение заключается в условии необращения в нуль определителя $\left|\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}\right|$ в области D. Tогда показывается, что для каждого $K>0$ существует $M\left(K, \rho, G, H_{0}\right)>0$ такое, что если $\left|\mu H_{1}\right| \leqslant M$ в $D$, то траектории, определяемые гамильтонианом $H$, таковы, что
1) Существует инвариантное множество $D_{1}$ (вещественное), $u$ если $\operatorname{Re} D=D_{1}+D_{2}$, то mes $D_{2} \leqslant K \operatorname{mes} D$.
2) Множество $D_{1}$ состоит из инвариантных аналитических $n$-мерных торов $T_{\boldsymbol{\omega}}$, определяемых уравнениями
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\omega}}+\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{\omega}}(\boldsymbol{\eta}), \quad \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{g}_{\boldsymbol{\omega}}(\boldsymbol{\eta}),
\]

где $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{\omega}}, \boldsymbol{g}_{\boldsymbol{\omega}}$ – аналитические функции с периодом $2 \pi$ по каждой из переменных $\eta_{k}(k=1, \ldots, n)$, а $\boldsymbol{\omega}$ – параметр, определяющий тор $T_{\omega}$.
3) Движение, определяемое гамильтонианом $H$, на торе $T_{\omega}$ яеляется условно-периодическим с п частотами $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)$
\[
\omega_{k}=\dot{\eta}_{k}=\left.\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{k}}\right|_{x=x_{\omega}},
\]

которые удовлетворяют неравенствам
\[
\left|\sum_{k=1}^{n} m_{k} \omega_{k}\right| \geqslant K\left\{\sum_{k=1}^{n}\left|m_{k}\right|\right\}^{-s} \quad(s=n+1)
\]

для всех наборов целых чисел $m_{k}$, не обращающихся одновременно в нуль.

Эти условия в основном тание же, что и выписанные нами выше, а условие на $H_{0}$ переходит в условие на определитель квадратичной части функции $H$ (относительно $x_{k}, x_{i}$ ), которая имеет вид (3.2.3). В самом деле, такое условие весьма похоже на условие, введенное Арнольдом при обобщении теоремы Колмогорова на вырожденные стучаи, т. е. на случаи, когда $\left|\partial^{2} H_{0} / \partial x_{j} \partial x_{k}\right|=0$. Что касается функции (3.2.3), то вырождение будет иметь место, например, когда одна из компонент вектора $x$ не входит ни в сумму $\sum \omega_{k} x_{k}$, ни в квадратичную часть $\sum C_{k j} x_{k} x_{j}$. Очевидно, что первнй случай делает невозможным условие (3.2.4), в то время как во втором случае система уравнений (3.2.13) для оцределения $\alpha_{k}$ оказывается особенной. Как мы знаем из теории неявных функций, это приводит к разложениям по дробным степеням малого параметра, здесь- $\mu$.

Проще говоря, теорема Колмогорова утверждает, что если функция $H_{0}$ невырождена, то при достаточно малых аналитических возмущениях множество ненулевой меры инвариантных торов, определяемых $H_{0}$, не разрушается, а лишь слегка деформируется. Однако дереход с одного тора на другой не может быть получен непрерывным преобразованием, так как необходимо пересекать зоны рациональной зависимости частот $\omega_{k}$.

Необходимо, однако отметить, что условие, налагаемое на $H_{0}$, можно сделать менее жестким и только предположить, что ${ }^{1}$ )
\[
\operatorname{det}\left\|\begin{array}{ll}
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{i}} \\
\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{j}} & 0
\end{array}\right\|
eq 0 .
\]

Categories

1
Оглавление
email@scask.ru