Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Рассмотрим систему, определяемую гамильтонианом где $0<\mu \leqslant 1$, а $H_{1}$ — периодическая (периода $2 \pi$ ) функция относптельно $y_{1}, \ldots, y_{n}$. Мы попытаемся проверить тот факт, что при этих условиях движение возмущенной системы, соответствующей гамильтониану (3.2.1), происходит на торе, который близок к тору, определяемому условиями $x_{k}=x_{k}^{0}=\mathrm{const}$ $(k=1, \ldots, n)$. Вначале мы остановимся на кратком описании классических методов теории возмущений. Они заключаются в приведении гамильтониана $H$, определяемого формулой (3.2.1), с помощью последовательных канонических замен к таким формам: Такие методы, кақ было видно в предыдущих главах, цриводят к уравнениям вида решение которых содержит малые (если вообще не нулевые) знаменатели, а получающиеся при этом ряды в общем случае расходятся; даже если частоты $\omega_{k}$ являются рационально независимыми. В последнем случае предполагается, что $n$ вецественных компонент вектора $\omega=\left(\omega_{l}, \ldots, \omega_{n}\right)$ удовлетворяют йескнечному числу неравенств где $p=n+1$, все целые числа $k_{i}$ одновременно в нуль не обращаются, а число $K\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)>0$ выбирается соответствующим образом (см. [24]). Следовательно, для множества значений $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, имеющего ненулевую меру, в классической теорпи возмуцений все знаменатели ограничены снизу по абсолютной величине. Тем не менее, даже этого недостаточно, чтобы гарантировать сходимость рассматриваемых рядов. С другой стороны, так как мы считаем, что частоты $\omega_{k}$ являются непрерывными функциями $x_{k}^{0}$, то непрерывное изменение этих последних величин неминуемо приведет к резонансным значениям $\omega_{k}$, и выше упомянутые ряды в любом случае не могут быть непрерывными функциями $x_{k}^{0}$, т. е. начальных условий задачч. При некоторых ограничениях на $H_{1}$ можно установить сохранение условно-перподических движений, и первая теорема, относящаяся к этому вопросу, была предложена Колмогоровым [25]. При доказательстве теоремы Колмогорова Арнольд писал [6]: «Простая и новая идея, комбинация весьма классических и вполне современных методов, решение 200 -летних проблем, ясная геометрическая картина и широкие горизонты — таковы достоинства этой работы». Это действительно так, пбо ранние результаты Пуанкаре рассматривались в слишком общей форме, и думалось, что они оставляют только небольшой шанс на то, что динамическая система будет интегрируемой. Можно только предполагать, что неинтегрируемые системы образуют плотное множество, скажем, в пространстве всех функций Гамильтона. Однако никаких предположений о плотностп интегрируемых систем в нашем распоряжении нет. Если онн, по крайней мере, также плотны, как множество рациовальных чисел на отрезке, то мы можем по-прежнему сказать, что существует крайне мало интегрируемых систем. В действительности рассматриваемая проблема похожа на задачу $n$ тел, на ограниченную задачу трех тел, на задачу о несимметричном волчке и т. д., в которых только доказана неинтегрируемость в том смысле, что в каких-то частных координатах и в каких-то частных случаях не существует общих интегралов или даже, в более специальных случаях, не существует алгебраических или аналитических интегралов (см., например, [43, $40,36,38])$. Простейший вывод, который можно сделать из теоремы Колмогорова, заключается в том что при выполнении условия невырожденности $\left|\partial^{2} H_{0} / \partial x^{2}\right| Действнтельно, в любой окрестности инвариантного тора невозмущенной системы есть инвариантный тор, на котором все траектории замкнуты, т. е. частоты $\omega_{k}$ рационально зависимы. Однако при малых возмущениях эти инвариантные торы разрушаются. В любом случае для систем с больше чем одной степенью свободы ничего существенного о поведении траекторий в течение длительного времени (асимцтотически) не известно. Для консервативной системы с двумя степенями свободы многообразне, определяемое интегралом энергии, является трехмерным и содержит двумерные инвариантные торы. Это — максимальная размерность, при которой промежуток между двумя такими торами конечен и замкнут, т. е. траектории, начинающиеся в этой области, будут оставаться в ней все время. Для больших размерностей это в общем случае неверно. Как уже упоминалось выше, для формальных рядов, получающихся при приведении гамильтониана к виду, зависящему только от переменных действие, вопрос о сходимости встает главным образом из-за появления малых знаменателей. Как отмечают Брауэр и Клеменс [14], сходимость этих рядов зависит от того, насколько быстро уменьшаются числители с увеличением порядка приближения (по мере того, как все бо́льшие числа входят в комбинации (3.2.2)). Это подразумевает, что метод последовательных приближений должен быть устроен так, чтобы увеличивалась скорость уменьшения этих числителей. Вероятно, это один из паиболее важных аспектов, описанных Колмогоровым в предложениях по доказательству его теоремы. Такой метод был создан в виде метода типа ньютоновского метода приближений, обладающего квадратичной сходимостью, в том смысле, что ошибка $n$-го приближевия $\varepsilon_{n}$ имеет порядок $\varepsilon_{n-1}^{2}$ при $n=1,2, \ldots$ п $\varepsilon_{1}<1$. Точнее, предположим, что возмущенше $\mu H_{1}$ в (3.2.1) находится в пределах: $\left|\mu H_{1}\right|<\mu<1$ при $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ из некоторой області $D^{\prime}$. Если записать $H_{1}$ в виде где $\boldsymbol{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}=k_{1} y_{1}+\ldots+k_{n} y_{n}$, то при $|\operatorname{Im} \boldsymbol{y}| \leqslant \rho$ коэффициенты $A_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{x})$ убывают как $M \exp (-|\boldsymbol{k}| \rho)$. Принимая во внимание (3.2.2), для $\mu^{2} H_{1}^{(2)}$ можно получить оценку $M^{2} \delta_{1}^{-q}$ при $\left|\operatorname{Im} y^{\prime}\right| \leqslant \rho-\delta_{1}$. Величина $\delta_{1}$. связана с величиной $\delta_{0}$, такой, тто $M \leqslant \delta_{0}^{N}$ при $\delta_{0}>0$ достаточно малом и $N$ достаточно больпом. Следовательно, $\boldsymbol{H}_{1}^{(s)}<\delta_{s}^{N}$ при $\left|\operatorname{Im} \boldsymbol{y}^{(s)}\right|<\rho-\delta_{s}=\rho_{s}<\rho_{s-1}<\ldots<\rho$. Можно предположить, что частоты системы $\omega_{k}$ фиксированы, и проаппроксимировать решение на неизвестный тор, определяемый в пространстве, в котором частоты в точности равны заданным. В полном доказательстве теоремы, данном Арнольдом [6], частоты $\omega_{k}$ не являются фиксированными, а становятся меняющимися на каждом шаге приближения функциями действия. Упрощенный вариант теоремы Колмогорова был предложен Барраром [10]. Этот вариант сразу же приводит к некоторым следствиям в задаче представления Пуанкаре метода Линдстедта. Первоначально требовалась аналитичность функции $H$, но Мозер [33] показал достаточность существования некоторого количества производных функции $H$. Однако это требует применения процедуры сглаживания, которая будет обсуждаться в следующей главе. Рассмотрим систему с гамильтонианом вида (везде суммирование проводится от 1 до $n$ ) где $H$-аналитическая по всем переменным п периодическая (периода $2 \pi$ ) функция перемених $y_{k}, H_{0}$ — некоторая постоянная, функция $D$ содержит степєни не ниже третьей относительно $x_{k}$, а величины $\omega_{k}$ удовлетворяют условию прн $s=n+1$, при всех целых $j_{k}$ и при выбранной некоторым образом постоянной $\varepsilon(\omega)$. Рассмотрим далее каноническое преобразование $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \rightarrow\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)$, определяемое производящей функцией Гамильтона — Якоби где $\alpha_{k}$ — постоянные, так что Из последнего соотношения, предположив, что матрица является неособенной для $y_{i}$ из некоторой окрестности точки $y_{i}^{\prime}$, можно получить и, следовательно, преобразование (3.2.6) обратимо. Подставляя $x_{i}$ из (3.2.6) в (3.2.3), находим где ( $\delta_{i j}=0, i Здесь $\boldsymbol{y}$ надо заменить на $\boldsymbol{y}^{\prime}$ согласно (3.2.7). Цель введения константы $a_{(0)}$ будет объяснена ниже. Надо обратить внимание на то, что величины $A^{*}(y)$ и $B_{k}^{*}(y)$ являются величинами первого порядка относительно $\alpha_{k}, Y, Y_{k}$, которые полагаются малыми в некотором специальном смысле. С другой стороны, величины $A^{(1)}$ и $B_{k}^{(1)}$ являются величинами второго порядка по отношению к тем же переменным. Целью метода является уничтожение величин $A^{*}, B_{k}^{*}$, с помощью соответствующего выбора $Y, \alpha_{k}, Y_{k}(k=1, \ldots, n)$. Это можно сделать следующим образом. Введем величины Тогда, в силу сделанных относительно $H$ предположений, в частности, имеем тде $\boldsymbol{k}=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right),\left(\boldsymbol{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right)=k_{1} y_{1}+\ldots+k_{n} y_{n}, z^{(k)}=z_{1}^{k_{1}} \ldots z_{n}^{k_{n}} \cdot$ В силу тех же предположений, имеем Считая $A^{*}(y)=0$, пз первого соотношения (3.2.9) находим $\sum_{j} \omega_{j} \frac{\partial Y}{\partial y_{j}}=\sum_{j} i \omega_{j} z_{j} \frac{\partial Y}{\partial z_{j}}=\sum_{j} i \omega_{j} \sum_{\boldsymbol{k} или что и дает определение $Y$ и $a_{(0)}$. Теперь из второго соотношения (3.2.9), определив и находим, что $\alpha_{j} \mathbf{~ и} Y_{j}^{(k)}$ определяются уравнениями II соответственно. Разумеется, надо предположить выполненными некоторые условия, а именно: a) величины ( $\omega^{\mathrm{T}} \boldsymbol{k}$ ) не должны обращаться в нуль (для того чтобы выражения (3.2.12) имели смысл). Также очевидно, что если $A(y), B_{k}(y), C_{k j}(y)$ имеют конечное тригонометрическое представление в виде полиномов Фурье (относительно $y$ ), то производящая функция $S$, определяемая формулой (3.2.5), также является полиномом Фурье относительно $\boldsymbol{y}$. Описанную процедуру можно повторить п после ирименения последовательных канонических преобразований; в пределе исходной гамильтониан примет вид где в $\Delta$ содержатся члены не ниже третьего порядка относительно компонент $X_{k}$ вектора $\boldsymbol{X}$. В этом случае система допускает репение $(k=1, \ldots, n)$ Тегерь можно с́формулировать теорему Колмогорова в следующем упрощенном виде. Теорема (Колмогоров). Пусть гамильтониан системь $H$, имеющий вид (3.2.3), аналитичен в области $D_{0}:\left|x_{k}\right| \leqslant r_{0}$, $\left|\operatorname{Im} y_{k}\right| \leqslant \rho_{0}$ и удовлетворяет в этой области следующим условиям: Тогда для достаточно малых в $D_{0}$ функций $|A(y)| u\left|B_{k}(y)\right|$ существует каноническое преобрсзование $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \rightarrow(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X})$, имеюцеее вид такое, что функции $E_{k}, E_{k j^{\prime}} N_{k} 2 \pi$-периодичны по каждой компо10 г. Е. О. Джакальнненте $Y_{j}$ и аналитичны в области $\Delta_{0}$, определяемой неравенствами $\left|X_{k}\right|<\frac{3}{4} r_{0},\left|\operatorname{Im} Y_{k}\right|<\frac{3}{4} \rho_{0}$. Преобразование (3.2.19) отображает $\Delta_{0}$ в $D_{0}$, а в $\Delta_{0}$ гамильтониан $H$ имеет вид (3.2.15). Доказательство этой теоремы состоит в основном в проверке того, что црименение последовательности канонических преобразований вида (3.2.6) образует сходящийся процесс последовательных приближений при переходе от (3.2.3) к (3.2.15), а в итоге получается аналитическое каноническое преобразование. Теорема получается в результате доказательства ряда основных лемм, установленных Арнольдом $[6,7]$. Здесь мы ограничимся упоминанием только двух главных лемм. Лемма 1. Если $n$ ненулевьх частот удовлетворяют условиям $(3.2 .17)$, если и если $S$ удовлетворлет уравнению то его решение удовлетворяет для выбранной соответствующим образом постоянной С следующим соотношениям: где норма || || является верхей гринью абсолютной величины функции в кольце для всех $k=1, \ldots, n и 0<h<\rho$. где $\theta$-константа, зависящая от $n$ и $s$. Наиболее утомительная часть доказательства заключается в правильной оценке величин $f_{(\boldsymbol{k})} /\left(\boldsymbol{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\omega}\right)$ в кольде $\Gamma(\rho)$ и последующей оденке функции $S$ и ее производных. Необходимые соотношения получены Арнольдом в виде основной леммы [6]. где $C_{k j}^{*}-$ элементы матрицы, обратной $к$ матрице $\left\{C_{k j}^{(0)}\right\}$. Пусть выполнено (3.2.4) и $h<\varepsilon, t=s+n+1,1 / 2 \leqslant r_{0} \leqslant 1$. Тогда при выполнении этих условий существуют константы $C_{k}$ $(k=1, \ldots, s)$, зависящие только от $N, M, n$ и такие, что, если $\varepsilon_{0} \leqslant h^{2 t+3} / C_{0}$, то выполненьи слео́ующие условия: где функции $F_{i}, G_{i}$ аналитичны при $\boldsymbol{y}^{\prime} \in \Gamma\left(\rho_{1}\right), \boldsymbol{a}$ Детальное доказательство этой леммы приведено в работе Баррара [10]. Сначала используется лемма 1 для оценок где $C^{\prime}, C^{\prime \prime}, C^{\prime \prime \prime}$ — постоянные, зависящие только от $N, M, n$. После оценок величин $\boldsymbol{Y}, P_{k}, \alpha_{k}$ в $\Gamma\left(\rho_{0}-h\right)$ проводятся оценки $Y_{k}$ (из (3.2.14)) в $\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)$, получающиеся из леммы 1 в виде где опять постоянные $C^{1 \mathrm{v}}, C^{\mathrm{v}}$ зависят только от $N, M, n$. Затем используется теорема Руше для того, чтобы показать, что Тогда преобразование (3.2.26) будет иметь обратное где и оно отображает $\Gamma\left(\rho_{1}\right)$ в $\Gamma\left(\rho_{\mathrm{c}}-2 h\right)$. Легко также видеть, тто функции $f_{i}\left(y^{\prime}\right)$ являются $2 \pi$-периодическими по каждой из переменных $y_{k}^{\prime}$, так что утверждение (a) леммы получается введением величины $C_{0}=\max \left(C^{\prime}, C^{\prime \prime}, C^{\prime \prime \prime}, C^{1 \mathrm{v}}, C^{\mathrm{v}}, n+2\right)$, и, следовательно все величины в кольце $\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)$ меньше, чем $h /(n+2)$. Аналогично, если $y^{\prime} \in \Gamma\left(\rho_{1}\right)$, то из утверждения (а) следует: $y \in \Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)$. Все остальные оценки из утверждения (б) леммы 2 также следуют из простого использования формулы Коши и неравенства Шварда. Доказательство теоремы Колмогорова. Предыдущие леммы сразу же приводят к доказательству теоремы. Действительно, гамильтониан $H$, записанный через $y, x$ из $\Gamma\left(r_{0}, \rho_{0}\right)$, переходит в гамильтониан такого же вида, но зависящий от $\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}$ из $\Gamma\left(r_{0}-2 h, \rho_{0}-4 h\right)$. Затем эта операция (определенная в лемме 1 и удовлетворяющая оценкам из леммы 2) повторяется. Введем определения На $m$-м шаге гамильтониан $H$ определен в пространстве переменных $\left(y^{(m)}, \boldsymbol{x}^{(m)}\right) \in \Gamma\left(r_{m}, \rho_{m}\right)$, и по утверждению леммы 2 Основной вопрос заключается в проверке справедливости леммы 2 на каждом шаге повторного использования преобразования, определяемого в лемме 1. Опять за деталями доказательства мы отсылаем читателя к работе Баррара [10]. Основой служат оценки леммы 2 , полутающеся из условия Выбор удобной величины $L>1$, удовлетворяющей неравенствам дает $\left|\varepsilon_{m}\right|<a^{2 m}$ и что заменяет условия $\varepsilon_{0} \leqslant h^{2 t+3} / C_{0}$ и $\varepsilon_{1} \leqslant C_{1} / h^{3 t+3}$ из леммы 2 . Неравенство (3.2.32) будет удовлетворено, если положить $h_{m}=$ $=\delta / 2^{m}$ и $L \geqslant\left(2^{3 t+3} / \delta^{3 t+3}\right) \max \left(C_{0}, C_{1}\right)$ или $L>1$ в любом случае. Для исходного гамильтониана (3.2.3) предположим выполненными. оценки и для выбора соответствующего масштаба положим $r_{0}=1$, Выбрав достаточно малое $\delta>0$, можно показать, что $\varepsilon_{m} \rightarrow 0$ в в $\Gamma\left(\frac{3}{4} r_{0}, \frac{3}{4} \rho_{0}\right)$ при $m \rightarrow \infty$. Осталось доказать, что предельное преобразование, получающееся итерациями леммы 1 , удовлетворяет требованиям теоремы Колмогорова (уравнения (3.2.17) и (3.2.15)). Результирующее преобразование очевидно является каноническим, так как В доказательстве Арнольда используются более строгие методы оценок, в то время как итерации функции Гамильтона $H$, с щомощью которых здесь определены все операции из леммы 1 , аналогичны итерациям Ньютона и, таким образом, обладают квадратичной сходимостью. При обобщении теоремы Колмогорова на случай вырожденных систем, которое предложил Арнольд, предполагается, что в использованных выше обозначениях исходный гамильтониан имеет вид где $\mu$ — малый параметр, например, порядка $\varepsilon$ (см. уравнение (3.2.4)). Другой случай, также крайне трудный для изучения, соответствует условию $\operatorname{det}\left\{C_{k j}\right\}=0$. Возможно, что первый случай может быть изучен аналогично вышеизложенному случаю путем доказательства таких же лемм и теорем, но скорость сходимости будет значительно ниже, чем в общем случае. Общая теория Мозера [35] предполагает общирные знания многих теоретических результатов алгебры и дифференциальной геометрии. Подход Мозера к невырожденному случаю значительно проще, особенно если рассматривать только аналитические возмущения, чего на самом деле не делается. По этой причине Мозер вынужден использовать очень сложные методы сглаживания, но, разумеется, шолучаются и более общие результаты. Формулировка теоремы Колмогорова, используемая Арнольдом [6], также оказывается более общей, чем рассмотренная выше. Рассматривается гамильтониан (3.2.1), аналитичный в некоторой области $D$ фазового пространства, скажем $D=\left\{\left|\operatorname{Im} y_{k}\right| \leqslant\right.$ $\left.\leqslant \rho, x_{k} \in G\right\} \quad(k=1, \ldots, n)$, где $G$ — открытое множество в $R^{n} u$ функция Гамильтона 2л-периодична по каждой из переменных $y_{k}$. Основное предположение заключается в условии необращения в нуль определителя $\left|\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}\right|$ в области D. Tогда показывается, что для каждого $K>0$ существует $M\left(K, \rho, G, H_{0}\right)>0$ такое, что если $\left|\mu H_{1}\right| \leqslant M$ в $D$, то траектории, определяемые гамильтонианом $H$, таковы, что где $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{\omega}}, \boldsymbol{g}_{\boldsymbol{\omega}}$ — аналитические функции с периодом $2 \pi$ по каждой из переменных $\eta_{k}(k=1, \ldots, n)$, а $\boldsymbol{\omega}$ — параметр, определяющий тор $T_{\omega}$. которые удовлетворяют неравенствам для всех наборов целых чисел $m_{k}$, не обращающихся одновременно в нуль. Эти условия в основном тание же, что и выписанные нами выше, а условие на $H_{0}$ переходит в условие на определитель квадратичной части функции $H$ (относительно $x_{k}, x_{i}$ ), которая имеет вид (3.2.3). В самом деле, такое условие весьма похоже на условие, введенное Арнольдом при обобщении теоремы Колмогорова на вырожденные стучаи, т. е. на случаи, когда $\left|\partial^{2} H_{0} / \partial x_{j} \partial x_{k}\right|=0$. Что касается функции (3.2.3), то вырождение будет иметь место, например, когда одна из компонент вектора $x$ не входит ни в сумму $\sum \omega_{k} x_{k}$, ни в квадратичную часть $\sum C_{k j} x_{k} x_{j}$. Очевидно, что первнй случай делает невозможным условие (3.2.4), в то время как во втором случае система уравнений (3.2.13) для оцределения $\alpha_{k}$ оказывается особенной. Как мы знаем из теории неявных функций, это приводит к разложениям по дробным степеням малого параметра, здесь- $\mu$. Проще говоря, теорема Колмогорова утверждает, что если функция $H_{0}$ невырождена, то при достаточно малых аналитических возмущениях множество ненулевой меры инвариантных торов, определяемых $H_{0}$, не разрушается, а лишь слегка деформируется. Однако дереход с одного тора на другой не может быть получен непрерывным преобразованием, так как необходимо пересекать зоны рациональной зависимости частот $\omega_{k}$. Необходимо, однако отметить, что условие, налагаемое на $H_{0}$, можно сделать менее жестким и только предположить, что ${ }^{1}$ )
|
1 |
Оглавление
|