Рассмотрим систему, определяемую гамильтонианом
\[
H=H_{0}(x)+\mu H_{1}(y, x, \mu),
\]

где $0<\mu \leqslant 1$, а $H_{1}$ – периодическая (периода $2 \pi$ ) функция относптельно $y_{1}, \ldots, y_{n}$. Мы попытаемся проверить тот факт, что при этих условиях движение возмущенной системы, соответствующей гамильтониану (3.2.1), происходит на торе, который близок к тору, определяемому условиями $x_{k}=x_{k}^{0}=\mathrm{const}$ $(k=1, \ldots, n)$.

Вначале мы остановимся на кратком описании классических методов теории возмущений. Они заключаются в приведении гамильтониана $H$, определяемого формулой (3.2.1), с помощью последовательных канонических замен к таким формам:
\[
\begin{array}{l}
H=H_{0}^{(1)}\left(x^{\prime}\right)+\mu^{2} H_{1}^{(1)}\left(y^{\prime}, x^{\prime}, \mu\right), \\
H=H_{0}^{(2)}\left(x^{\prime \prime}\right)+\mu^{3} H_{1}^{(2)}\left(y^{\prime \prime}, x^{\prime \prime}, \mu\right) \text {, } \\
H=H_{0}^{(s)}\left(x^{(s)}\right)+\mu^{s+1} H_{1}^{(s)}\left(y^{(s)}, x^{(s)}, \mu\right), \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
\end{array}
\]

Такие методы, кақ было видно в предыдущих главах, цриводят к уравнениям вида
\[
\sum_{k=1}^{n} \omega_{k} \frac{\partial S}{\partial y_{k}}=F(x, y)=F(x, y+2 \pi),
\]

решение которых содержит малые (если вообще не нулевые) знаменатели, а получающиеся при этом ряды в общем случае расходятся; даже если частоты $\omega_{k}$ являются рационально независимыми. В последнем случае предполагается, что $n$ вецественных компонент вектора $\omega=\left(\omega_{l}, \ldots, \omega_{n}\right)$ удовлетворяют йескнечному числу неравенств
\[
\left|\sum_{i=1}^{n} k_{i} \omega_{i}\right| \geqslant\left\{\sum_{i=1}^{n}\left|k_{i}\right|\right\}^{-p} K,
\]

где $p=n+1$, все целые числа $k_{i}$ одновременно в нуль не обращаются, а число $K\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)>0$ выбирается соответствующим образом (см. [24]). Следовательно, для множества значений $\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}$, имеющего ненулевую меру, в классической теорпи возмуцений все знаменатели ограничены снизу по абсолютной величине. Тем не менее, даже этого недостаточно, чтобы гарантировать сходимость рассматриваемых рядов. С другой стороны, так как мы считаем, что частоты $\omega_{k}$ являются непрерывными функциями $x_{k}^{0}$, то непрерывное изменение этих последних величин неминуемо приведет к резонансным значениям $\omega_{k}$, и выше упомянутые ряды в любом случае не могут быть непрерывными функциями $x_{k}^{0}$, т. е. начальных условий задачч. При некоторых ограничениях на $H_{1}$ можно установить сохранение условно-перподических движений, и первая теорема, относящаяся к этому вопросу, была предложена Колмогоровым [25]. При доказательстве теоремы Колмогорова Арнольд писал [6]: «Простая и новая идея, комбинация весьма классических и вполне современных методов, решение 200 -летних проблем, ясная геометрическая картина и широкие горизонты – таковы достоинства этой работы». Это действительно так, пбо ранние результаты Пуанкаре рассматривались в слишком общей форме, и думалось, что они оставляют только небольшой шанс на то, что динамическая система будет интегрируемой.

Можно только предполагать, что неинтегрируемые системы образуют плотное множество, скажем, в пространстве всех функций Гамильтона. Однако никаких предположений о плотностп интегрируемых систем в нашем распоряжении нет. Если онн, по крайней мере, также плотны, как множество рациовальных чисел на отрезке, то мы можем по-прежнему сказать, что существует крайне мало интегрируемых систем. В действительности рассматриваемая проблема похожа на задачу $n$ тел, на ограниченную задачу трех тел, на задачу о несимметричном волчке и т. д., в которых только доказана неинтегрируемость в том смысле, что в каких-то частных координатах и в каких-то частных случаях не существует общих интегралов или даже, в более специальных случаях, не существует алгебраических или аналитических интегралов (см., например, [43, $40,36,38])$.

Простейший вывод, который можно сделать из теоремы Колмогорова, заключается в том что при выполнении условия невырожденности $\left|\partial^{2} H_{0} / \partial x^{2}\right|
eq 0$ при малом аналитическом возмущенип большинство инвариантных многообразий (торов), определяемых функцией $H_{0}$, не разрушается, а лишь слегка деформируется. Термин «большинство» подразумевает нигде не плотное множество, дополнение которого имеет меру, малую вместе с $\varepsilon$.

Действнтельно, в любой окрестности инвариантного тора невозмущенной системы есть инвариантный тор, на котором все траектории замкнуты, т. е. частоты $\omega_{k}$ рационально зависимы. Однако при малых возмущениях эти инвариантные торы разрушаются. В любом случае для систем с больше чем одной степенью свободы ничего существенного о поведении траекторий в течение длительного времени (асимцтотически) не известно. Для консервативной системы с двумя степенями свободы многообразне, определяемое интегралом энергии, является трехмерным и содержит двумерные инвариантные торы. Это – максимальная размерность, при которой промежуток между двумя такими торами конечен и замкнут, т. е. траектории, начинающиеся в этой области, будут оставаться в ней все время. Для больших размерностей это в общем случае неверно.

Как уже упоминалось выше, для формальных рядов, получающихся при приведении гамильтониана к виду, зависящему только от переменных действие, вопрос о сходимости встает главным образом из-за появления малых знаменателей. Как отмечают Брауэр и Клеменс [14], сходимость этих рядов зависит от того, насколько быстро уменьшаются числители с увеличением порядка приближения (по мере того, как все бо́льшие числа входят в комбинации (3.2.2)). Это подразумевает, что метод последовательных приближений должен быть устроен так, чтобы увеличивалась скорость уменьшения этих числителей. Вероятно, это один из паиболее важных аспектов, описанных Колмогоровым в предложениях по доказательству его теоремы. Такой метод был создан в виде метода типа ньютоновского метода приближений, обладающего квадратичной сходимостью, в том смысле, что ошибка $n$-го приближевия $\varepsilon_{n}$ имеет порядок $\varepsilon_{n-1}^{2}$ при $n=1,2, \ldots$ п $\varepsilon_{1}<1$.

Точнее, предположим, что возмущенше $\mu H_{1}$ в (3.2.1) находится в пределах: $\left|\mu H_{1}\right|<\mu<1$ при $\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}$ из некоторой області $D^{\prime}$. Если записать $H_{1}$ в виде
\[
H_{1}(y, x)=\sum_{k} A_{k}(x) \cdot \exp \left(i \boldsymbol{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right)
\]

где $\boldsymbol{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}=k_{1} y_{1}+\ldots+k_{n} y_{n}$, то при $|\operatorname{Im} \boldsymbol{y}| \leqslant \rho$ коэффициенты $A_{\boldsymbol{k}}(\boldsymbol{x})$ убывают как $M \exp (-|\boldsymbol{k}| \rho)$. Принимая во внимание (3.2.2), для $\mu^{2} H_{1}^{(2)}$ можно получить оценку $M^{2} \delta_{1}^{-q}$ при $\left|\operatorname{Im} y^{\prime}\right| \leqslant \rho-\delta_{1}$. Величина $\delta_{1}$. связана с величиной $\delta_{0}$, такой, тто $M \leqslant \delta_{0}^{N}$ при $\delta_{0}>0$ достаточно малом и $N$ достаточно больпом. Следовательно, $\boldsymbol{H}_{1}^{(s)}<\delta_{s}^{N}$ при $\left|\operatorname{Im} \boldsymbol{y}^{(s)}\right|<\rho-\delta_{s}=\rho_{s}<\rho_{s-1}<\ldots<\rho$. Можно предположить, что частоты системы $\omega_{k}$ фиксированы, и проаппроксимировать решение на неизвестный тор, определяемый в пространстве, в котором частоты в точности равны заданным. В полном доказательстве теоремы, данном Арнольдом [6], частоты $\omega_{k}$ не являются фиксированными, а становятся меняющимися на каждом шаге приближения функциями действия. Упрощенный вариант теоремы Колмогорова был предложен Барраром [10]. Этот вариант сразу же приводит к некоторым следствиям в задаче представления Пуанкаре метода Линдстедта. Первоначально требовалась аналитичность функции $H$, но Мозер [33] показал достаточность существования некоторого количества производных функции $H$. Однако это требует применения процедуры сглаживания, которая будет обсуждаться в следующей главе.

Рассмотрим систему с гамильтонианом вида (везде суммирование проводится от 1 до $n$ )
\[
\begin{aligned}
H(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})=H_{0} & +\sum_{k} \omega_{k} x_{k}+A(\boldsymbol{y})+ \\
& +\sum_{k} B_{k}(\boldsymbol{y}) x_{k}+\sum_{k, j} C_{k j}(\boldsymbol{y}) x_{k} x_{\boldsymbol{j}}+D(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}),
\end{aligned}
\]

где $H$-аналитическая по всем переменным п периодическая (периода $2 \pi$ ) функция перемених $y_{k}, H_{0}$ – некоторая постоянная, функция $D$ содержит степєни не ниже третьей относительно $x_{k}$, а величины $\omega_{k}$ удовлетворяют условию
\[
\left|\sum_{k} j_{k} \omega_{k}\right| \geqslant \varepsilon\left(\sum_{k}\left|j_{k}\right|\right)^{-3}
\]

прн $s=n+1$, при всех целых $j_{k}$ и при выбранной некоторым образом постоянной $\varepsilon(\omega)$.

Рассмотрим далее каноническое преобразование $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \rightarrow\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)$, определяемое производящей функцией Гамильтона – Якоби
\[
S\left(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right)=\sum_{k}\left(x_{k}^{\prime}+\alpha_{k}\right) y_{k}+Y(\boldsymbol{y})+\sum_{k} x_{k}^{\prime} Y_{k}(\boldsymbol{y}),
\]

где $\alpha_{k}$ – постоянные, так что
\[
\begin{array}{c}
x_{i}=S_{y_{i}}=x_{i}^{\prime}+\alpha_{i}+Y_{y_{i}}(y)+\sum_{k} x_{k}^{\prime} Y_{k y_{i}}(y), \\
y_{i}^{\prime}=S_{x_{i}}=y_{i}+Y_{i}(y) .
\end{array}
\]

Из последнего соотношения, предположив, что матрица
\[
\beta=\frac{\partial y^{\prime}}{\partial y}=I+\left\{\frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{i}}\right\}
\]

является неособенной для $y_{i}$ из некоторой окрестности точки $y_{i}^{\prime}$, можно получить
\[
y_{i}=F_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)=y_{i}^{\prime}+\tilde{Y}_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right),
\]

и, следовательно, преобразование (3.2.6) обратимо. Подставляя $x_{i}$ из (3.2.6) в (3.2.3), находим
\[
\begin{array}{l}
H=H_{0}+\sum_{k} \omega_{k} \alpha_{k}+\sum_{k} \omega_{k} x_{k}^{\prime}+a_{(0)}+A^{*}(y)+ \\
+\sum_{k} B_{k}^{*}(y) x_{k}^{\prime}+A^{(1)}\left(y^{\prime}\right)+\sum_{k} B_{k}^{(1)}\left(y^{\prime}\right) x_{k}^{\prime}+ \\
+\sum_{k, j} C_{k j}^{(1)}\left(y^{\prime}\right) x_{k}^{\prime} x_{j}^{\prime}+D^{(1)}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right), \\
\end{array}
\]

где ( $\delta_{i j}=0, i
eq j ; \delta_{i i}=1$ )
\[
\begin{array}{l}
A^{*}(y)=\sum_{k} \omega_{k} \frac{\partial Y}{\partial y_{k}}-A(y)-a_{(0)}, \\
B_{k}^{*}(\boldsymbol{y})=\sum_{j}\left[\omega_{j} \frac{\partial Y_{k}}{\partial y_{j}}+C_{k j}\left(\alpha_{j}+\frac{\partial Y}{\partial y_{j}}\right)\right]+B_{k}(\boldsymbol{y}), \\
A^{(1)}\left(y^{\prime}\right)=\sum_{k, j} C_{k j}(y)\left(\alpha_{k}+\frac{\partial Y}{\partial y_{k}}\right)\left(\alpha_{j}+\frac{\partial Y}{\partial y_{j}}\right)+D_{0}(y), \\
B_{k}^{(1)}\left(y^{\prime}\right)=\sum_{i, j} C_{i j}(y)\left(\alpha_{i}+\frac{\partial Y}{\partial y_{i}}\right) \frac{\partial Y_{k}}{\partial y_{j}}+D_{k}(y), \\
C_{i j}^{(1)}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)=C_{i j}(\boldsymbol{y})+\sum_{k, l} C_{k, l}(\boldsymbol{y}) \frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{k}} \frac{\partial Y_{j}}{\partial y_{l}}+D_{i j}(\boldsymbol{y}), \\
D^{(1)}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, x^{\prime}\right)=D\left(\boldsymbol{y}, x^{\prime}+\boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial Y}{\partial y^{\mathrm{r}}}+\sum_{j} x_{j}^{\prime} \frac{\partial Y_{j}}{\partial \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}}\right)-D_{0}(\boldsymbol{y})- \\
-\sum_{i} D_{i}(y) x_{i}^{\prime}-\sum_{i, j} D_{i j}(y) x_{i}^{\prime} x_{j}^{\prime}, \\
D_{0}(y)=D\left(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial Y}{\partial y^{\mathrm{T}}}\right), \\
D_{\boldsymbol{i}}(\boldsymbol{y})=\sum_{k}\left(\delta_{i k}+\frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{k}}\right) \frac{\partial D}{\partial x_{k}}\left(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial Y}{\partial \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}}\right), \\
D_{i j}(y)=\sum_{k, l}\left(\delta_{i k}+\frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{k}}\right)\left(\delta_{j l}+\frac{\partial Y_{j}}{\partial y_{l}}\right) \frac{\partial^{2} D}{\partial x_{k} \partial x_{l}}\left(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{\alpha}+\frac{\partial Y}{\partial \boldsymbol{y}^{\mathrm{T}}}\right) . \\
\end{array}
\]

Здесь $\boldsymbol{y}$ надо заменить на $\boldsymbol{y}^{\prime}$ согласно (3.2.7). Цель введения константы $a_{(0)}$ будет объяснена ниже. Надо обратить внимание на то, что величины $A^{*}(y)$ и $B_{k}^{*}(y)$ являются величинами первого порядка относительно $\alpha_{k}, Y, Y_{k}$, которые полагаются малыми в некотором специальном смысле. С другой стороны, величины $A^{(1)}$ и $B_{k}^{(1)}$ являются величинами второго порядка по отношению к тем же переменным.

Целью метода является уничтожение величин $A^{*}, B_{k}^{*}$, с помощью соответствующего выбора $Y, \alpha_{k}, Y_{k}(k=1, \ldots, n)$. Это можно сделать следующим образом. Введем величины
\[
z_{j}=e^{i y_{j}} .
\]

Тогда, в силу сделанных относительно $H$ предположений, в частности, имеем
\[
A(y)=\sum_{k} a_{k} e^{i\left(k^{\mathrm{T}} y\right)}=\sum_{k} a_{k} z^{(k)}
\]

тде $\boldsymbol{k}=\left(k_{1}, \ldots, k_{n}\right),\left(\boldsymbol{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{y}\right)=k_{1} y_{1}+\ldots+k_{n} y_{n}, z^{(k)}=z_{1}^{k_{1}} \ldots z_{n}^{k_{n}} \cdot$ В силу тех же предположений, имеем
\[
Y(y)=\sum_{k
eq 0} Y^{(k)} z^{(k)}, \quad Y_{j}(y)=\sum_{k
eq 0} Y_{j}^{(k)} z^{(k)} .
\]

Считая $A^{*}(y)=0$, пз первого соотношения (3.2.9) находим $\sum_{j} \omega_{j} \frac{\partial Y}{\partial y_{j}}=\sum_{j} i \omega_{j} z_{j} \frac{\partial Y}{\partial z_{j}}=\sum_{j} i \omega_{j} \sum_{\boldsymbol{k}
eq 0} Y^{(k)} k_{j} z^{(k)}=$
\[
=\sum_{\boldsymbol{k}
eq 0} i\left(\boldsymbol{\omega}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{k}\right) Y^{(k)} z^{(k)}=\sum_{\boldsymbol{k}
eq \boldsymbol{\theta}} a_{k} z^{(k)},
\]

или
\[
Y^{(k)}=-i\left(\omega^{\mathrm{T}} k\right)^{-1} a_{k}
\]

что и дает определение $Y$ и $a_{(0)}$. Теперь из второго соотношения (3.2.9), определив
\[
B_{k}=\sum_{l} B_{k}^{(l)} z^{(l)}, \quad C_{k j}=\sum_{l} C_{k j}^{(l)} z^{(l)}
\]

и
\[
P_{k}(y)=\sum_{j} C_{k j} \frac{\partial Y}{\partial y_{j}}=\sum_{l} P_{k}^{(l)} z^{(l)},
\]

находим, что $\alpha_{j} \mathbf{~ и} Y_{j}^{(k)}$ определяются уравнениями
\[
\sum_{k} C_{j k}^{(0)} \alpha_{k}+P_{j}^{(0)}+B_{j}^{(0)}=0
\]

II
\[
i\left(\omega^{\mathrm{T}} k\right) Y_{j}^{(k)}+P_{j}^{(k)}+B_{j}^{(k)}+\sum_{l} C_{j l}^{(k)} \alpha_{l}=0
\]

соответственно. Разумеется, надо предположить выполненными некоторые условия, а именно:

a) величины ( $\omega^{\mathrm{T}} \boldsymbol{k}$ ) не должны обращаться в нуль (для того чтобы выражения (3.2.12) имели смысл).
б) определитель $\left\{C_{j k}^{(0)}\right\}$ не допжен быть равен нулю, чтобы уравнения (3.2.13) имели решение относительно вектора $\alpha=$ $=\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right)$;
в) для получения констант $Y_{j}^{(k)}$ из уравнения должно быть выполнено условие (a).

Также очевидно, что если $A(y), B_{k}(y), C_{k j}(y)$ имеют конечное тригонометрическое представление в виде полиномов Фурье (относительно $y$ ), то производящая функция $S$, определяемая формулой (3.2.5), также является полиномом Фурье относительно $\boldsymbol{y}$. Описанную процедуру можно повторить п после ирименения последовательных канонических преобразований; в пределе исходной гамильтониан примет вид
\[
H=\sum_{k} \omega_{k} X_{k}+\sum_{k, j} K_{k j}(\boldsymbol{Y}) X_{k} X_{\boldsymbol{j}}+\Delta(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X})
\]

где в $\Delta$ содержатся члены не ниже третьего порядка относительно компонент $X_{k}$ вектора $\boldsymbol{X}$. В этом случае система допускает репение $(k=1, \ldots, n)$
\[
X_{k}=0, \quad Y_{k}=\omega_{k}\left(t-t_{k}\right) .
\]

Тегерь можно с́формулировать теорему Колмогорова в следующем упрощенном виде.

Теорема (Колмогоров). Пусть гамильтониан системь $H$, имеющий вид (3.2.3), аналитичен в области $D_{0}:\left|x_{k}\right| \leqslant r_{0}$, $\left|\operatorname{Im} y_{k}\right| \leqslant \rho_{0}$ и удовлетворяет в этой области следующим условиям:
a) для всех целых ненулевых одновременно чисел $j_{h}$, выбранной каким-нибудь образом постоянной $\varepsilon=\varepsilon(\omega)$ и $s=n+1$ выполнены неравенства
\[
\left|\sum_{k=1}^{n} j_{k} \omega_{k}\right| \geqslant \varepsilon\left\{\sum_{k=1}^{n}\left|j_{k}\right|\right\}^{-s} ;
\]
б) матрица $\left\{C_{j k}^{(0)}\right\}$ – неособенная.

Тогда для достаточно малых в $D_{0}$ функций $|A(y)| u\left|B_{k}(y)\right|$ существует каноническое преобрсзование $(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \rightarrow(\boldsymbol{Y}, \boldsymbol{X})$, имеюцеее вид
\[
\begin{array}{l}
x_{k}=X_{k}+E_{k}(\boldsymbol{Y})+\sum_{j} E_{k j}(\boldsymbol{Y}) X_{j}, \\
y_{k}=Y_{k}+N_{k}(\boldsymbol{Y}),
\end{array}
\]

такое, что функции $E_{k}, E_{k j^{\prime}} N_{k} 2 \pi$-периодичны по каждой компо10 г. Е. О. Джакальнненте $Y_{j}$ и аналитичны в области $\Delta_{0}$, определяемой неравенствами $\left|X_{k}\right|<\frac{3}{4} r_{0},\left|\operatorname{Im} Y_{k}\right|<\frac{3}{4} \rho_{0}$. Преобразование (3.2.19) отображает $\Delta_{0}$ в $D_{0}$, а в $\Delta_{0}$ гамильтониан $H$ имеет вид (3.2.15).

Доказательство этой теоремы состоит в основном в проверке того, что црименение последовательности канонических преобразований вида (3.2.6) образует сходящийся процесс последовательных приближений при переходе от (3.2.3) к (3.2.15), а в итоге получается аналитическое каноническое преобразование. Теорема получается в результате доказательства ряда основных лемм, установленных Арнольдом $[6,7]$. Здесь мы ограничимся упоминанием только двух главных лемм.

Лемма 1. Если $n$ ненулевьх частот удовлетворяют условиям $(3.2 .17)$, если
\[
F(z)=\sum_{(k)
eq 0} f_{(k)} z^{(k)},
\]

и если $S$ удовлетворлет уравнению
\[
\sum_{j=1}^{n} \omega_{j} \frac{\partial S}{\partial y_{j}} \equiv i \sum_{j=1}^{n} \omega_{j} z_{j} \frac{\partial S}{\partial z_{j}}=F(z),
\]

то его решение
\[
S=-\sum_{(k)
eq 0} \frac{f_{(k)} z^{(k)}}{\left(k^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\omega}\right)}
\]

удовлетворяет для выбранной соответствующим образом постоянной С следующим соотношениям:
\[
\begin{array}{c}
\|S\|_{\Gamma(\rho-h)} \leqslant \frac{C}{\varepsilon h^{s+n}}\|F\|_{\Gamma(\rho)}, \\
\left\|\frac{\partial S}{\partial y_{k}}\right\|_{\Gamma(\rho-h)}=\left\|z_{k} \frac{\partial S}{\partial z_{k}}\right\|_{\Gamma(\rho-h)} \leqslant \frac{C}{\varepsilon h^{s+n+1}}\|F\|_{\Gamma(\rho)},
\end{array}
\]

где норма || || является верхей гринью абсолютной величины функции в кольце
\[
\Gamma(\rho)=\left\{e^{-\rho} \leqslant\left|z_{k}\right| \leqslant e^{\rho}\right\}=\left\{\left|\operatorname{Im} y_{k}\right| \leqslant \rho\right\}
\]

для всех $k=1, \ldots, n и 0<h<\rho$.
Доказательство леммы опирается на условие иррациональности (3.2.17), которое дает верхнюю границу для делителей, т.е.
\[
\left|\left(\omega^{\mathrm{x}} k\right)\right|^{-1} \leqslant \frac{\theta}{\varepsilon}\left\{\sum_{j=1}^{n}\left|k_{j}\right|\right\}^{s},
\]

где $\theta$-константа, зависящая от $n$ и $s$. Наиболее утомительная часть доказательства заключается в правильной оценке величин $f_{(\boldsymbol{k})} /\left(\boldsymbol{k}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\omega}\right)$ в кольде $\Gamma(\rho)$ и последующей оденке функции $S$ и ее производных. Необходимые соотношения получены Арнольдом в виде основной леммы [6].
Лемма 2. Рассмотрим величины
\[
\begin{array}{c}
\varepsilon_{0}=\max \left(\|A\|_{\Gamma\left(\rho_{0}\right)} ; \quad\left\|B_{k}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}\right)}\right) \\
\varepsilon_{1}=\max \left(\left\|A^{(1)}\right\| \Gamma\left(\rho_{1}\right) ; \quad\left\|B_{k}^{(1)}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{1}\right)}\right), \quad(k=1, \ldots, n), \\
r_{1}=r_{0}-2 h, \quad \rho_{1}=\rho_{0}-4 h
\end{array}
\]
$u$
\[
0<h<r_{0} / 2,0<h<\rho_{0} / 4 .
\]
$П у с т ь$
\[
\Gamma(r, \rho)=\left\{\left|x_{k}\right| \leqslant r,\left|\operatorname{Im}\left(y_{k}\right)\right| \leqslant \rho ; k=1, \ldots, n\right\},
\]
$\|F(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})\|_{\Gamma(r, \rho)}=\sup |F(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})|$ для всех $\quad(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}) \in \Gamma(r, \rho)$.
Рассмотрим оценки
\[
\begin{array}{c}
\max \left|C_{k j}^{*}\right| \leqslant 2 N, \\
\|D(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x})\|_{\Gamma\left(r_{0}, \rho_{0}\right)} \leqslant 2 M, \quad\left\|C_{k j}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}\right)} \leqslant 2 M,
\end{array}
\]

где $C_{k j}^{*}-$ элементы матрицы, обратной $к$ матрице $\left\{C_{k j}^{(0)}\right\}$. Пусть выполнено (3.2.4) и $h<\varepsilon, t=s+n+1,1 / 2 \leqslant r_{0} \leqslant 1$.

Тогда при выполнении этих условий существуют константы $C_{k}$ $(k=1, \ldots, s)$, зависящие только от $N, M, n$ и такие, что, если $\varepsilon_{0} \leqslant h^{2 t+3} / C_{0}$, то выполненьи слео́ующие условия:
a) Преобразование (3.2.6) может быть записано в виде
\[
\begin{array}{l}
y_{i}=y_{i}^{\prime}+f_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)=F_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right), \\
x_{i}=x_{i}^{\prime}+g_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)+\sum_{j} g_{i j}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right) x_{j}^{\prime}=G_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}\right),
\end{array}
\]

где функции $F_{i}, G_{i}$ аналитичны при $\boldsymbol{y}^{\prime} \in \Gamma\left(\rho_{1}\right), \boldsymbol{a}$
\[
\left\|f_{i}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{1}\right)} \leqslant 2 h, \quad\left\|g_{i}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{1}\right)} \leqslant \frac{2 h}{n+2}, \quad\left\|g_{i j}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{1}\right)} \leqslant \frac{2 h}{n+2},
\]
$u$ отсюда следует, что преобразование (3.2.25) отображает $\Gamma\left(r_{1}, \rho_{1}\right)$ в $\Gamma\left(r_{0}-h, \rho_{0}-2 h\right)$. Кроме того, $\varepsilon_{1} \leqslant \frac{C_{1}}{h^{3 t+3}} \varepsilon_{0}^{2}$.
б) Новый гамильтониан определен для всех $\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}$ из $^{\Gamma}\left(r_{1}, \rho_{1}\right)$, $u$
\[
\begin{aligned}
\left\|C_{i j}^{(1)}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{1}\right)} & \leqslant\left\|C_{i j}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}\right)}+h C_{2}, \\
\left\|D^{(1)}\left(y^{\prime}, x^{\prime}\right)\right\|_{\Gamma\left(r_{1}, \rho_{1}\right)} & \leqslant \mid D(y, x) \|_{\Gamma\left(r_{0},\left[\rho_{0}\right)\right.}+h C_{3}, \\
\left|C_{i j}^{(1)}(0)-C_{i j}(0)\right| & \leqslant\left(\frac{C_{4}}{\rho_{i}}+C_{5}\right) h .
\end{aligned}
\]

Детальное доказательство этой леммы приведено в работе Баррара [10]. Сначала используется лемма 1 для оценок
\[
\begin{array}{c}
\max \left\|\frac{\partial \boldsymbol{Y}}{\partial y_{k}}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}-h\right)} \leqslant \frac{C^{\prime} \varepsilon_{0}}{h^{t+1}}, \\
\left\|P_{k}(y)\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}-h\right)} \leqslant \frac{C^{\prime \prime} \varepsilon_{0}}{h^{t+1}}, \quad\left|\alpha_{k}\right| \leqslant \frac{C^{\prime \prime \prime} \varepsilon_{0}}{h^{t+1}},
\end{array}
\]

где $C^{\prime}, C^{\prime \prime}, C^{\prime \prime \prime}$ – постоянные, зависящие только от $N, M, n$. После оценок величин $\boldsymbol{Y}, P_{k}, \alpha_{k}$ в $\Gamma\left(\rho_{0}-h\right)$ проводятся оценки $Y_{k}$ (из (3.2.14)) в $\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)$, получающиеся из леммы 1 в виде
\[
\begin{array}{l}
\max \left\|Y_{k}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)} \leqslant \frac{C^{\mathrm{I}} \varepsilon_{0}}{h^{2 t+1}}, \\
\max \left\|\frac{\partial Y_{k}}{\partial y_{j}}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)} \leqslant \frac{C^{\mathrm{V}_{\varepsilon_{0}}}}{h^{2 t+2}},
\end{array}
\]

где опять постоянные $C^{1 \mathrm{v}}, C^{\mathrm{v}}$ зависят только от $N, M, n$. Затем используется теорема Руше для того, чтобы показать, что
\[
\max \left\|Y_{h}\right\|_{\Gamma_{\left(\rho_{0}-2 h\right)}}<2 h .
\]

Тогда преобразование (3.2.26) будет иметь обратное

где
\[
y_{i}=y_{i}^{\prime}+f_{i}\left(\boldsymbol{y}^{\prime}\right)
\]
\[
\left\|f_{i}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)}<2 h,
\]

и оно отображает $\Gamma\left(\rho_{1}\right)$ в $\Gamma\left(\rho_{\mathrm{c}}-2 h\right)$. Легко также видеть, тто функции $f_{i}\left(y^{\prime}\right)$ являются $2 \pi$-периодическими по каждой из переменных $y_{k}^{\prime}$, так что утверждение (a) леммы получается введением величины $C_{0}=\max \left(C^{\prime}, C^{\prime \prime}, C^{\prime \prime \prime}, C^{1 \mathrm{v}}, C^{\mathrm{v}}, n+2\right)$, и, следовательно все величины
\[
\max \left\|\frac{\partial Y}{\partial y_{k}}\right\|, \quad \max \left\|\frac{\partial Y_{i}}{\partial y_{k}}\right\|, \quad \alpha_{k}
\]

в кольце $\Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)$ меньше, чем $h /(n+2)$. Аналогично, если $y^{\prime} \in \Gamma\left(\rho_{1}\right)$, то из утверждения (а) следует: $y \in \Gamma\left(\rho_{0}-2 h\right)$. Все остальные оценки из утверждения (б) леммы 2 также следуют из простого использования формулы Коши и неравенства Шварда.

Доказательство теоремы Колмогорова. Предыдущие леммы сразу же приводят к доказательству теоремы. Действительно, гамильтониан $H$, записанный через $y, x$ из $\Gamma\left(r_{0}, \rho_{0}\right)$, переходит в гамильтониан такого же вида, но зависящий от $\boldsymbol{y}^{\prime}, \boldsymbol{x}^{\prime}$ из $\Gamma\left(r_{0}-2 h, \rho_{0}-4 h\right)$. Затем эта операция (определенная в лемме 1 и удовлетворяющая оценкам из леммы 2) повторяется. Введем определения
\[
r_{m+1}=r_{m}-2 h_{m+1}, \quad \rho_{m+1}=\rho_{m}-4 h_{m+1} .
\]

На $m$-м шаге гамильтониан $H$ определен в пространстве переменных $\left(y^{(m)}, \boldsymbol{x}^{(m)}\right) \in \Gamma\left(r_{m}, \rho_{m}\right)$, и по утверждению леммы 2
\[
\varepsilon_{m}=\max \left(\left\|A^{(m)}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{m}\right)} ; \quad\left\|B_{k}^{(m)}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{m}\right)}\right) .
\]

Основной вопрос заключается в проверке справедливости леммы 2 на каждом шаге повторного использования преобразования, определяемого в лемме 1. Опять за деталями доказательства мы отсылаем читателя к работе Баррара [10]. Основой служат оценки леммы 2 , полутающеся из условия
\[
\varepsilon_{m} \leqslant \frac{h_{m+1}^{2 t+3}}{C_{0}}, \quad \varepsilon_{m+1} \leqslant \frac{C_{1}}{h_{m+1}^{3 t+3}}\left(\varepsilon_{m}\right)^{2} .
\]

Выбор удобной величины $L>1$, удовлетворяющей неравенствам
\[
L^{m+1} \geqslant \frac{\max \left(C_{0}, C_{1}\right)}{h_{m+1}^{3 t+3}}, \quad L^{2} \varepsilon_{0}=a<1,
\]

дает $\left|\varepsilon_{m}\right|<a^{2 m}$ и
\[
\varepsilon_{m}<\frac{1}{L^{m+2}}<\frac{1}{L^{m+1}} \leqslant \frac{h_{m+1}^{3 t+3}}{C_{0}},
\]

что заменяет условия $\varepsilon_{0} \leqslant h^{2 t+3} / C_{0}$ и $\varepsilon_{1} \leqslant C_{1} / h^{3 t+3}$ из леммы 2 . Неравенство (3.2.32) будет удовлетворено, если положить $h_{m}=$ $=\delta / 2^{m}$ и $L \geqslant\left(2^{3 t+3} / \delta^{3 t+3}\right) \max \left(C_{0}, C_{1}\right)$ или $L>1$ в любом случае. Для исходного гамильтониана (3.2.3) предположим выполненными. оценки
\[
\begin{array}{c}
\left|C_{k j}^{*}\right| \leqslant N, \quad\left\|C_{k j}\right\|_{\Gamma\left(\rho_{0}\right)} \leqslant M, \\
\|D(y, x)\|_{\Gamma\left(r_{0}, \rho_{0}\right)} \leqslant M,
\end{array}
\]

и для выбора соответствующего масштаба положим $r_{0}=1$, Выбрав достаточно малое $\delta>0$, можно показать, что $\varepsilon_{m} \rightarrow 0$ в в $\Gamma\left(\frac{3}{4} r_{0}, \frac{3}{4} \rho_{0}\right)$ при $m \rightarrow \infty$.

Осталось доказать, что предельное преобразование, получающееся итерациями леммы 1 , удовлетворяет требованиям теоремы Колмогорова (уравнения (3.2.17) и (3.2.15)). Результирующее преобразование очевидно является каноническим, так как
оно является комбинацией ряда канонических преобразований. Кроме того, суммарное преобразование $T^{(m)}$ после $m$ итераций отображает $\Gamma\left(r_{m+1}, \rho_{m+1}\right)$ в $\Gamma\left(r_{m}, \rho_{m}\right)$, и область его определения содержит в себе $\Gamma\left(\frac{3}{4} r_{0}, \frac{3}{4} \rho_{0}\right)$. Поэтому $T^{(m)}$ является равномерно ограниченным, и последовательность сходится к преобразованию $T$, которое в точности равно (3.2.17).

В доказательстве Арнольда используются более строгие методы оценок, в то время как итерации функции Гамильтона $H$, с щомощью которых здесь определены все операции из леммы 1 , аналогичны итерациям Ньютона и, таким образом, обладают квадратичной сходимостью.

При обобщении теоремы Колмогорова на случай вырожденных систем, которое предложил Арнольд, предполагается, что в использованных выше обозначениях исходный гамильтониан имеет вид
\[
\begin{aligned}
\boldsymbol{H}= & H_{0}+\sum_{k=1}^{m} \omega_{k} x_{k}+\sum_{j=m+1}^{n} \mu \omega_{j} x_{j}+ \\
& +\boldsymbol{A}(\boldsymbol{y})+\sum_{k=1}^{n} B_{k}(\boldsymbol{y}) x_{k}+\sum_{k, j=1}^{n} C_{k j}(\boldsymbol{y}) x_{k} x_{j}+D(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{x}),
\end{aligned}
\]

где $\mu$ – малый параметр, например, порядка $\varepsilon$ (см. уравнение (3.2.4)). Другой случай, также крайне трудный для изучения, соответствует условию $\operatorname{det}\left\{C_{k j}\right\}=0$. Возможно, что первый случай может быть изучен аналогично вышеизложенному случаю путем доказательства таких же лемм и теорем, но скорость сходимости будет значительно ниже, чем в общем случае.

Общая теория Мозера [35] предполагает общирные знания многих теоретических результатов алгебры и дифференциальной геометрии. Подход Мозера к невырожденному случаю значительно проще, особенно если рассматривать только аналитические возмущения, чего на самом деле не делается. По этой причине Мозер вынужден использовать очень сложные методы сглаживания, но, разумеется, шолучаются и более общие результаты.

Формулировка теоремы Колмогорова, используемая Арнольдом [6], также оказывается более общей, чем рассмотренная выше.

Рассматривается гамильтониан (3.2.1), аналитичный в некоторой области $D$ фазового пространства, скажем $D=\left\{\left|\operatorname{Im} y_{k}\right| \leqslant\right.$ $\left.\leqslant \rho, x_{k} \in G\right\} \quad(k=1, \ldots, n)$, где $G$ – открытое множество в $R^{n} u$ функция Гамильтона 2л-периодична по каждой из переменных $y_{k}$. Основное предположение заключается в условии необращения в нуль определителя $\left|\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}\right|$ в области D. Tогда показывается, что для каждого $K>0$ существует $M\left(K, \rho, G, H_{0}\right)>0$ такое, что если $\left|\mu H_{1}\right| \leqslant M$ в $D$, то траектории, определяемые гамильтонианом $H$, таковы, что
1) Существует инвариантное множество $D_{1}$ (вещественное), $u$ если $\operatorname{Re} D=D_{1}+D_{2}$, то mes $D_{2} \leqslant K \operatorname{mes} D$.
2) Множество $D_{1}$ состоит из инвариантных аналитических $n$-мерных торов $T_{\boldsymbol{\omega}}$, определяемых уравнениями
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_{\boldsymbol{\omega}}+\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{\omega}}(\boldsymbol{\eta}), \quad \boldsymbol{y}=\boldsymbol{\eta}+\boldsymbol{g}_{\boldsymbol{\omega}}(\boldsymbol{\eta}),
\]

где $\boldsymbol{f}_{\boldsymbol{\omega}}, \boldsymbol{g}_{\boldsymbol{\omega}}$ – аналитические функции с периодом $2 \pi$ по каждой из переменных $\eta_{k}(k=1, \ldots, n)$, а $\boldsymbol{\omega}$ – параметр, определяющий тор $T_{\omega}$.
3) Движение, определяемое гамильтонианом $H$, на торе $T_{\omega}$ яеляется условно-периодическим с п частотами $\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1}, \ldots, \omega_{n}\right)$
\[
\omega_{k}=\dot{\eta}_{k}=\left.\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{k}}\right|_{x=x_{\omega}},
\]

которые удовлетворяют неравенствам
\[
\left|\sum_{k=1}^{n} m_{k} \omega_{k}\right| \geqslant K\left\{\sum_{k=1}^{n}\left|m_{k}\right|\right\}^{-s} \quad(s=n+1)
\]

для всех наборов целых чисел $m_{k}$, не обращающихся одновременно в нуль.

Эти условия в основном тание же, что и выписанные нами выше, а условие на $H_{0}$ переходит в условие на определитель квадратичной части функции $H$ (относительно $x_{k}, x_{i}$ ), которая имеет вид (3.2.3). В самом деле, такое условие весьма похоже на условие, введенное Арнольдом при обобщении теоремы Колмогорова на вырожденные стучаи, т. е. на случаи, когда $\left|\partial^{2} H_{0} / \partial x_{j} \partial x_{k}\right|=0$. Что касается функции (3.2.3), то вырождение будет иметь место, например, когда одна из компонент вектора $x$ не входит ни в сумму $\sum \omega_{k} x_{k}$, ни в квадратичную часть $\sum C_{k j} x_{k} x_{j}$. Очевидно, что первнй случай делает невозможным условие (3.2.4), в то время как во втором случае система уравнений (3.2.13) для оцределения $\alpha_{k}$ оказывается особенной. Как мы знаем из теории неявных функций, это приводит к разложениям по дробным степеням малого параметра, здесь- $\mu$.

Проще говоря, теорема Колмогорова утверждает, что если функция $H_{0}$ невырождена, то при достаточно малых аналитических возмущениях множество ненулевой меры инвариантных торов, определяемых $H_{0}$, не разрушается, а лишь слегка деформируется. Однако дереход с одного тора на другой не может быть получен непрерывным преобразованием, так как необходимо пересекать зоны рациональной зависимости частот $\omega_{k}$.

Необходимо, однако отметить, что условие, налагаемое на $H_{0}$, можно сделать менее жестким и только предположить, что ${ }^{1}$ )
\[
\operatorname{det}\left\|\begin{array}{ll}
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{i} \partial x_{j}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{i}} \\
\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{j}} & 0
\end{array}\right\|
eq 0 .
\]