Если соответствующим образом подобрать значения границ временно́го интервала, то можно показать, что при достаточно общих условиях простейший метод последовательных преближений решения рядами является сходящимся. В действительности цзвестен следующий результат (см. [71]).

Рассмотрим сначала систему $n$ уравнений относительно $x_{1}, \ldots$ …, $x_{n}$, зависящую от параметра $\varepsilon$ :
\[
F_{i}(x, \varepsilon)=0 \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $\boldsymbol{x}$ – набор переменных $x_{1}, \ldots, x_{n}$. Далее предположим, что
a)
\[
F_{i}(0,0)=0 \quad(i=1, \ldots, n) ;
\]
\[
J=\operatorname{det} \frac{\partial\left(F_{1}, \ldots, F_{n}\right)}{\partial\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)}
eq 0 \text { при } x=0, \quad \varepsilon=0 \text {. }
\]
B)
\[
\frac{\partial F_{i}}{\partial \varepsilon}
eq 0 \text { для всех } i \text { при } x=0 .
\]

Отсюда следует, что функщии $F_{i}$ можно разложить в степенньге ряды по $\boldsymbol{x}$ и вблизи точки $\boldsymbol{x}=0, \varepsilon=0$. Тогда, как легко доказать, при условии аналитичности функций $F_{i}$ по всем аргументам в некоторой области переменных $x$, $\varepsilon$ ряды
\[
x_{j}=\sum_{s=1}^{\infty} \varepsilon^{\hat{s}} a_{j s},
\]

полученные методом последовательных приближений, равномерно сходятся по $\varepsilon$. Величины $a_{j s}$ получаются подстановкой выражений для $x_{j}$ в разложения функций $F_{i}$ и приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях $\varepsilon$. Доказательство әтого утверждения можно провести, взяв за основу любую стандартную книгу по математическому анализу (см., например, [45]). Для дальнейшего рассмотрим подробнєе некоторые детали. Разложение функций $F_{i}(x, \varepsilon)$ пмеет вид
\[
\begin{aligned}
F_{i}(x, \varepsilon)=\left(\frac{\partial F_{i}}{\partial \varepsilon}\right)_{0} \varepsilon+\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}\right)_{0} x_{j} & \\
& +\frac{1}{2} \sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{n}\left(\frac{\partial^{2} F_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}\right)_{0} x_{j} x_{h}+\ldots=0
\end{aligned}
\]

Для стандартизации записей введем обозначение $x_{0} \equiv \varepsilon$. Тогда приведенное разложение можно записать так:
\[
\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}\right)_{0} x_{j} \equiv b_{0}^{(i)} x_{0}+\sum_{k, j=0}^{n} b_{j k}^{(i)} x_{j} x_{k}+\sum_{l, k, j=0}^{n} b_{l k j}^{(i)} x_{j} x_{k} x_{l}+\ldots
\]

При подстановке рядов (2.2.2) в ряды (2.2.3) сравнение коэффи; циентов при одинаковых степенях $\varepsilon$ (или $x_{0}$ ) дает
\[
\begin{array}{l}
\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}\right)_{0} a_{j 1}=b_{0}^{(i)}, \\
\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}\right)_{0} a_{j 2}=\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=0}^{n} b_{j k}^{(i)} a_{j 1} a_{k 1}, \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot\left(b_{j_{0} j_{1} \ldots j_{k}}, a_{r s}\right) \\
\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}\right)_{0} a_{j p}=\Phi_{i p} \\
(r, s=1, \ldots n) .
\end{array}
\]

Следовательно, на каждом шаге коәффициенты $a_{j p}$ вычисляются по данной системе $n$ уравнений, правые части которых известны, если найдены все предыдущие прпближения $a_{j 1}, \ldots, a_{j p}$. Определитель этой системы не равен нулю по предположению б). С формальной точки зрения уравнения (2.2.4) полностью аналогичны набору линейных неоднородных уравнений в частных производных, которые встречаются в методе усреднения Линдстедта – Пуанкаре, а также при асимптотическом решении с цомощью рядов Ли.

Теперь рассмотрим случай $J=0$ и предположим, что по крайней мере один из первых миноров этого определителя не равен нулю. Далее полюжим, например, $\partial F_{i} / \partial x_{1}=0$. Тогда $(n-1)$-е уравнение (2.2.1) может быть решено относительно $x_{2}, \ldots, x_{n}$ в виде стеденных рядов по $x_{0}$ и $x_{1}$. Если результат подставить в $n$-е уравнение (2.2.1), то получится уравнение относительно $x_{0}$ и $x_{1}$. Так как коэффициент при первой степени $x_{1}$ будет равен нулю, то решение для $x_{1}$ в виде степенных рядов по $x_{0}$ должно содержать дробные степени этопо параметра. Это является прямым следствием теоремы Вейерштрасса об умножении степенных рядов. Использование уничтожающихся определителей, согласно работе [13], позволяет найти решение в случае обращения в нуль всех первых миноров порядка $n$-1. Макмиллан [71] развил этот метод дальше. Появление дробных степеней в этих случаях непосредственно приводит к появлению тробных степеней в рядах асимптотического решения, что, как будет видно ниже, связано с проблемами резонансов.
Далее, рассмотрим систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}_{i}=\varepsilon f_{i}(x, \varepsilon, t),
\]

где $i=1, \ldots, n$, а функции $f_{i}$ аналитичны по $\boldsymbol{x}, \varepsilon, t$ при $\boldsymbol{x} \in D$ ( $D$ – заданная открытая область пространства $\left.R^{n}\right), 0 \leqslant \varepsilon \leqslant 1$, $t \in R$, и регулярны при $x_{i}=\alpha_{i}(i=1, \ldots, n), \varepsilon=0$ для всех $t \in[0, T]$. Пусть функции $f_{i}$ можно разложить в стеденные ряды по $\xi_{i}=x_{i}-\alpha_{i}$ и $\varepsilon$. При $t \in[0, T],\left|x_{i}-\alpha_{i}\right| \leqslant m_{i} \quad(i=1, \ldots$ $\ldots, n)$ и $0 \leqslant \varepsilon<\varepsilon_{0} \leqslant 1$ эти рягы являются сходящимися. Представление уравиений (2.2.6) в виде рядов приводит к уравнениям
\[
\dot{\xi}_{i}=\varepsilon\left[f_{i}(\boldsymbol{\alpha}, 0, t)+\sum_{j=0}^{n}\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\right)_{0} \xi_{j}+\frac{1}{2} \sum_{j, k=0}^{n}\left(\frac{\partial^{2} f_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{k}}\right)_{0} \xi_{j} \xi_{k}+\ldots\right]
\]

где $\xi_{0}=x_{0}=\varepsilon, \alpha_{0}=0$, а нижний индекс нуль означает, что величины $x_{i}$ заменены на $\alpha_{i}$. Эти уравнения можно записать в виде
\[
\dot{\xi}_{i}=\varepsilon\left[\varphi_{0}^{(i)}+\sum_{j=0}^{n} \varphi_{j}^{(i)} \xi_{j}+\sum_{j, k=0}^{n} \varphi_{j k}^{(i)} \xi_{j} \xi_{k}+\ldots\right]
\]

где функции ф зависят от $\alpha$ п $t$.
Наша цель заключается в получении величнн $\xi_{i}$ в виде степенных рядов по $\varepsilon$, коэффиценгы которых являются функциями времени и постоянных $\alpha$, т. е.
\[
\xi_{i}=\sum_{k=0}^{\infty} \xi_{k}^{(i)} \varepsilon^{k}
\]

где
\[
\xi_{k}^{(i)}=\xi_{k}^{(i)}(\boldsymbol{\alpha}, t) \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Если (2.2.8) подставить в (2.2.7) и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях $\varepsilon$ в обеих частях уравнений, то в результате придем $\kappa$ системе дифференциальных уравнений
\[
\begin{array}{l}
\dot{\xi}_{1}^{(i)}=\varphi_{0}^{(i)}, \\
\dot{\xi}_{2}^{(i)}=\sum_{j=1}^{n} \varphi_{j}^{(i)} \xi_{1}^{(j)}, \\
\dot{\xi}_{3}^{(i)}=\sum_{j=1}^{n} \varphi_{j}^{(i)} \xi_{2}^{(j)}+\sum_{j, k=1}^{n} \varphi_{j k}^{(i)} \xi_{1}^{(j)} \xi_{1}^{(k)}, \\
\cdots \cdot \cdots \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\dot{\xi}_{p}^{(i)}=\sum_{j=1}^{n} \varphi_{j}^{(i)} \xi_{p-1}^{(j)}+F_{p}^{(i)},
\end{array}
\]

где $p=1,2,3, \ldots$ Функции $F_{p}^{(i)}$ зависят от решення для всех предыдущих приближений до порядка $p-1$, так что на каждом шаге имеется такой набор приближений:
\[
\dot{\xi}_{p}^{(i)}=\Phi_{p}^{(i)}\left(\xi_{l}^{(j)}, t, \beta_{l}\right)
\]

ири $\quad i=1, \ldots, n ; \quad j=1, \ldots, n ; k=1, \ldots, p-1 ; \quad l==1, \ldots$ $\ldots, n(p-1)$.

В результате функции $\xi_{p}^{(i)}$ находятся в квадратурах. Постоянные интегрирования $\boldsymbol{\beta}$ не явзяются произвольными. Действительно, если остановиться на $p$-м паге решения, то решения будут зависеть от исходных постоянных $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ и от $n p$ постоянных $\boldsymbol{\beta}$. Можно предшочесть выбор $\boldsymbol{\beta}$ в виде нулей или определить их каким-нибудь другим подходящим образом. Во втором случае они будут функциями величин $\alpha$. Если постоянные $\alpha_{k}$ являются начальными условиями, т. е. $x_{i}(0)=\alpha_{i}$, то постоянные $\boldsymbol{\beta}$ должны быть выбраны так, чтобы все $\xi_{p}^{(i)}$ уничтожались при $t=0$. Теперь покажем, что ряды для $\xi_{i}$, получаемые описанным выше способом, будут сходящимпся при $t \in[0, T]$ п достаточно малом $\varepsilon$.

Без потери общности можно предноложить, что правые части уравнений (2.2.7) являются сходящимися рядами при $\left|\xi_{i}\right| \leqslant 1$,

$\varepsilon \leqslant 1, t \in[0, T]$. Если это условие не выполняется сначала, то ему всегда можно удовлетворить изменением скалярных множителей при $\xi_{i}$ и $\varepsilon$. Отсюда следует, что все коэффициенты $\varphi$, стоящие в правых частях уравнений (2.2.7), ограничены и меньше некоторого положительного $M$, т. е.
\[
\left|\varphi_{j_{1} j_{2} \ldots j_{k}}^{(i)}\right| \leqslant M
\]

при $i=1, \ldots, n$ и $k=1,2,3, \ldots$ Теперь можно использовать понятие мажорирующих рядов. Действительно, рассмотрим уравнения
\[
\dot{\eta}_{i}=\frac{M \varepsilon}{(1-\varepsilon)\left(1-\sum_{j=1}^{n} \eta_{j}\right)} \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Правые части этих уравнений можно разложить в степенные ряды по $\varepsilon$ и $\eta_{j}$ при $|\varepsilon|<1$ и $\left|\Sigma \eta_{j}\right|<1$. Учитывая описанные выше предположения, получаем, что каждый коэффициент таких рядов будет положителен и больше соответствующего коэффициента в рядах (2.2.7). Уравнения (2.2.10) можно решить только что описанным методом последовательных приближений. Отсюда следует, что правые части уравнений (2.2.9) будут меньше соответствующих правых частей уравневий (2.2.10). Таким образом, если решение уравнений (2.2.10) сходится, то и решение уравнений (2.2.9) также сходится. Но уравнения (2.2.10) можно проинтегрировать в явном виде. Если начальные условня принять равными нулю (т. е. $\xi_{i}=0$, если $\alpha_{i}$ являются начальными условиями псходной задачи), то в результате получаем
\[
\eta_{1}=\ldots=\eta_{n}=\eta
\]

ити
\[
\dot{\eta}=\frac{M \varepsilon}{(1-\varepsilon)(1-n \eta)}
\]

и, следовательно,
\[
\eta=\frac{1}{n}\left[1-\left(1-\frac{2 M n s t}{1-\varepsilon}\right)^{1 / 2}\right]
\]

что удовлетворяет начальным устовиям $\eta=0$ при $t=0$ и $\varepsilon=0$. Разложение (2.2.11) в степенной ряд по $\varepsilon$ будет сходящимся при условии
\[
\left|\frac{2 M n \varepsilon t}{1-\varepsilon}\right|<1
\]

для всех $t$ из $[0, T]$, т. е. при ус:ювии
\[
|\varepsilon|<\varepsilon_{0}=\frac{1}{1-2 n M T} .
\]

Так как метод последовательных приближений дает единственный результат, то он должен совпасть с разложением величины (2.2.11). Таким образом, ряды для $\xi_{i}$ являются сходящимися при $t \in[0, T]$ и $|\varepsilon|<\varepsilon_{0}$, где $M$ – верхняя оценка всех коэффициентов в (2.2.7). Видно, что при достаточно большом $T$ ряды будут сходиться, вообще говоря, при $\varepsilon \rightarrow 0$. Описанная выше оценка не является наилучшей, поэтому слова «вообще говоря» допускают ситуацию, когда описанный метод сходится при достаточно малых $\varepsilon$ (но ненулевых) при $T \rightarrow \infty$.
Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений
\[
\dot{x}_{i}=g_{i}(x, t)+\varepsilon f_{i}(x, \varepsilon, t) \quad(i=1, \ldots, n) .
\]

Заменяя величины $\alpha_{i}$ в описанном выше методе на решенпя $x_{i 0}(t)$ системы (2.2.13) при $\varepsilon=0$ и определяя
\[
\xi_{i}=x_{i}-x_{i 0},
\]

аналогичным образом можно найти, что коэффицшенты $\xi_{p}^{(i)}$ удовлетворяют дифференциальным уравнениям вида
\[
\dot{\xi}_{p}^{(i)}=\sum_{j=1}^{n} \varphi_{j}^{(i)} \xi_{p}^{(j)}+F_{p}^{(i)}\left(\xi_{k}^{(l)}, t\right),
\]

где $i=1, \ldots, n ; l=1, \ldots, n ; k=1, \ldots, p-1 ; p=1,2, \ldots, \ldots$ Весьма замечательным свойством этих уравнений является то, что, как п раньше, функции $\varphi_{i}^{(i)}$ не зависят от номера $p$, т. е. решения однородных уравнений, соответствующих (2.2.14), одинаковы при всех $p$. Они являются явными функциями времеди и величин $x_{i 0}(t)$, которые зависят от набора $n$ постоянных интетрирования. Что касается постоянных интегрирования для (2.2.14), то их можно выбрать так, чтобы $\xi_{(p)}^{i}=0$ при $t=0$, или, используя терминологию небесной механики, в этом случае решения $\xi_{i}$ и $x_{i 0}$ будут оскулирующими. Существуют другие способы выбора постоянных интегрирования, но они потребуют некоторых дополнительных модификаций, обусловленных тем, что в них разложения ведутся не в окрестности точки $\xi_{i}=0$ (при $t=0$ ).

Классический метод приближений Пикара позволяет показать, что решение системы уравнений
\[
\dot{\xi}_{i}=\sum_{j=1}^{n} \varphi_{i j}(t) \xi_{j}+k_{i}(t) \quad(i=1, \ldots, n)
\]

мажорируется в интервале $[0, T]$ решением системы
\[
\dot{\eta}_{i}=M \sum_{j=1}^{n} \eta_{j}+M \quad(i=1, \ldots, n),
\]

где $M$ – верхняя оценка функций $\varphi_{i j}(t)$ и $k_{i}(t)$ в интервале $[0, T]$. Затем так же, как это было сделано выше, можно показать, исшользовав мажорирующие функции, определяемые решением уравнений
\[
\dot{\eta}_{i}=M \frac{\varepsilon+\eta_{1}+\ldots+\eta_{n}}{1-\left(\varepsilon+\eta_{1}+\ldots+\eta_{n}\right)},
\]

что ряды для $\xi_{i}$ являются сходящимися в интервале $[0, T]$ при
\[
|\varepsilon|<\exp (-M n T),
\]

где $M$ – верхняя оценка жозффициентов уравнений (2.2.13), если представить $\xi_{j}$ в виде рядов по $\varepsilon$. Полученная оценка в этом случае является более строгой, поэтому $T$ может быть больше, чем в предыдущем случае. Эти случаи подробно разобраны в работе Мультона [86]. Однако, как мы увидим ниже, оценка (2.2.15) может и не быть в этом случае наилучшей.