Хори [55] и Кэмел [57] независимо друг от друга развили методы теории возмущений для общих негамильтоновых систем, обобщив соответствующий метод, пригодный только для гамльтоновых систем дифференциальных уравнений. Ясно, что такое обобщение не является таким уж необходимым, ибо, как уже говорилось, любую систему можно свести к гамильтоновой увеличением ее порядка вдвое и взедением котангедциального пространства Дирака. Увеличение вдвое числа рассматриваемых уравнений окупается тем, что необходимо найти только две функции: новый гамильтониан и генератор преобразования. При $8^{\ast }$ непосредственном подходе приходится иметь дело со столькими неизвестными функциями, сколько есть переменных; действительно, при использовании результатов § 7 главы I это становится ясно сразу же. Здесь мы опишем такой способ наиболее близким к работе Кэмела [57] образом.

Рассмотрим систему $n$ дифференциальных уравнений первого порядка
$$\dot{x}=f(x,\epsilon )$$

и предположим, что $\mathit{f}(\mathit{x}\epsilon )$ — вещественная аналитическая по каждой из $n+1$ переменных $x_1,\dots ,x_n,\epsilon$ вектор-функция в некоторой области $\mathrm{\Omega }\{x\in D\subset R^n,|\epsilon |<{\epsilon }_0\}$. Правая часть уравнения (2.9.1) может быть разложена при достаточно малых $\epsilon$ в сходящийся степенной ряд
$$\dot{\mathit{x}}=\sum _{k⩾0}\frac{{\epsilon }^k}{k!}{\mathit{f}}^{(k)}(\mathit{x}),$$

где
$$f^{(k)}(x)={\frac{{\partial }^{k}f}{\partial {\epsilon }^k}|}_{\epsilon =0}.$$

Очевидно, функции $f^{(k)}(x)$ в области $D$ будут вещественными аналитическими функциями. В конечном счете это требование аналитичности может быть ослаблено, если на каждом шаге вычисления приближений воспользоваться операцией сглаживания, однако для общего понимания метода это не имеет значения. Мы не будем рассматривать неавтономных систем, хотя и есть такие случаи, когда $t$ не может рассматриваться в качестве дополнительной $x$-переменной. Таковы, например, случаи, когда исследуется асимптотическое поведение, устойчивость или периодические решения.

Если уравнения (2.9.1) или (2.9.2) нельзя проинтегрировать в общем виде, то можно искать такое преобразование к новым $n$ переменным $\xi$, скажем,
$$x=\mathit{x}(\xi ,\epsilon ),$$

что дифференциальные уравнения относительно $\xi$
$$\dot{\xi }=g(\xi ,\epsilon ),$$

получающиеся из (2.9.3) и (2.9.1), поддаются более простому изучению. Ясно, что сформулированная так проблема слишком обща, чтобы определить, какими свойствами должны обладать эти преобразования переменных. Один из способов убедиться в
этом, разумеется, состоит в предположении о том, что при $\epsilon =0$ общее решение уравнения (2.9.1) известно, т. е. уравнение
$$\dot{\mathit{y}}=\mathit{f}(\mathit{y},0)={\mathit{f}}^{(0)}(\mathit{y})$$

интетрируемо. Затем можно заинтересоваться вопросом о существовании преобразования (2.9.3), которое переводит уравнение (2.9.1) в уравнение $(2.9.5)$, точнее, в уравнение
$$\dot{\xi }={\mathit{f}}^{(0)}(\mathit{\xi }).$$

Так как цри $\epsilon =0$ преобразование (2.9.3), очевидно, будет тождественным, то мы приходим к задаче нахождения преобразования, близкого к тождественному, т. е.
$$\mathit{x}=\mathit{\xi }+\epsilon h(\mathit{\xi },\epsilon ),$$
a функция $h(\xi ,\epsilon )$ предполагается аналитической в некоторой области по каждой из $n+1$ переменных $\xi$, $\epsilon$, причем эта область содержит точку $\epsilon =0$. Очевидно, что при достаточно малых $\epsilon$ вблизи $\epsilon =0$ преобразование будет обратимым. Можно записать
$$\mathit{x}=\mathit{\xi }+\sum _{k⩾1}\frac{{\epsilon }^k}{k!}{\mathit{E}}_k(\xi )$$

и цреобразованная система дифференциальных уравнений в общем случае будет иметь вид
$$\dot{\xi }=\phi (\xi ,\epsilon )=\sum _{k⩾0}\frac{{\epsilon }^k}{k!}{\phi }^{(k)}(\xi ),$$

где
$${\phi }^{(k)}(\xi )={\frac{{\partial }^k\phi }{\partial {\epsilon }^k}|}_{\epsilon =0}.$$

Теперь нашей задачей является получение по данному преобразованию (2.9.8) функций ${\phi }^{(k)}(\xi )$ в $(2.9.9)$ из функций $f^{(k)}(\mathit{x})$ в $(2.9,2)$. Очевидно, это можно сделать разными способами, однако, если необходимы члены большого порядка и их систематическое исследование, то можно рекомендовать рекуррентный алгоритм, аналогичный алгоритму § 7 главы I. Дифференцирование соотношения (2.9.8) по времени $t$ дает
$$\dot{\mathit{x}}=\dot{\mathit{\xi }}+\sum _{k⩾1}\frac{{\epsilon }^k}{k!}\frac{\partial E_k}{\partial \xi }\dot{\xi },$$

и, подставляя сюда (2.9.2) и (2.9.9), находим
$$\sum _{k⩾0}\frac{{\epsilon }^k}{k!}{f}^{(k)}(x)=\sum _{k⩾0}\frac{{\epsilon }^k}{k!}{\phi }^{(k)}(\xi )+\sum _{k⩾1}\frac{{\epsilon }^k}{k!}\frac{\partial E_k}{\partial \xi }\sum _{j⩾0}\frac{{\epsilon }^j}{j!}{\phi }^{(j)}(\xi ).$$

Из соотношения (1.7.2) теперь мы видим, что
$$\mathit{f}(\mathit{x}(\xi ,\epsilon ),\epsilon )=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\epsilon }^n}{n!}{\mathit{f}}_n(\xi ),$$

и в нашем распоряжении есть рекуррентные соотношения для определения функций $f_n(\xi )$, єапример, уравнения (1.7.4) или (1.7.15), или заключительные соотношения из § 7 главы I. Из (2.9.10) теперь следует, что
$$f_n(\xi )={\mathit{\phi }}^{(n)}(\xi )+\sum _{m=1}^n{C}_n^m\frac{\partial E_m(\xi )}{\partial \xi }{\phi }^{(n-m)}(\xi ).$$

Если теперь рассмотреть (1.7.22), то получим
$$E_n(\xi )=-T_n(\xi )-\sum _{m=1}^{n-1}{C}_{n-1}^{m-1}{T}_m(\xi )\frac{\partial E_{n-m}(\xi )}{\partial \xi },$$

или в обозначениях (1.7.9)
$${\mathit{E}}_n(\xi )=-{\mathit{T}}_n(\xi )-\sum _{m=1}^{n-1}{C}_{n-1}^{m-1}{L}_m{\mathit{E}}_{n-m}(\xi ).$$

Преобразование, обратное к (2.9.8), запишем в виде
$$\xi =\mathit{x}+\sum _{k⩾1}\frac{{\epsilon }^k}{k!}{\mathit{X}}^{(k)}(\mathit{x})$$

так что
$${\mathit{X}}^{(n)}(x)=T_n(x)-\sum _{m=1}^{n-1}{C}_{n-1}^m{L}_m{\mathit{X}}_{m,n-m}(x),$$

где использованы введенные в (1.7.20) и (1.7.21) обозначения, т. e.
$$\begin{array}{l}{\mathit{X}}_{p,q}(x)=-\sum _{m=1}^p{C}_{p-1}^{m-1}{L}_m{\mathit{X}}_{p-m,q}(\mathit{x}),\\ {\mathit{X}}_{0,q}(\mathit{x})={\mathit{X}}^{(q)}(\mathit{x}).\end{array}$$

Наконец, находим
$${\phi }^{(n)}(\xi )=f^{(n)}(\xi )+\sum _{j=1}^n{C}_n^j[f_{j,n-j}(\xi )-\frac{\partial E_j}{\partial \xi }{\phi }^{(n-j)}(\xi )],$$

что и является искомым рекуррентным соотношением. Очевидно, уравнение (2.9.16) содержит коэффициенты $T_n$, определяющие отображение $(2.9.8)$, т. е. коэффициенты ${\mathit{X}}^{(n+1)}(x)$ разложения
$$\frac{\partial \xi }{\partial \epsilon }=\sum _{n⩾0}\frac{{\epsilon }^n}{n!}{\mathit{X}}^{(n+1)}(x),$$

получаемого из (2.9.13), и коэффициенты разложения
$$\frac{\partial \xi }{\partial \epsilon }=T(\xi ,\epsilon )=\sum _{n⩾0}\frac{{\epsilon }^n}{n!}{T}_{n+1}(\xi ),$$

так же, как и в (1.7.6), (1.7.7) и (1.7.8). На каждом шаге приближения функции $T_n(\xi )$ в зависимости от выдвинутых требований должны быть выбраны соответствующим образом. Эти неизвестные функции ${\mathit{T}}_n(\xi )$ можно выделить в уравнении (2.9.16) стедующим образом:
$$\frac{\partial T_n}{\partial \xi }{\phi }^{(0)}(\xi )-\frac{\partial {\phi }^{(0)}(\xi )}{\partial \xi }{T}_n(\xi )={\mathit{\phi }}^{(n)}-{\mathit{f}}^{(n)}-G_n(\xi ),$$

где функции ${\mathit{G}}_n(\xi )$ зависят от всех предыдущих приближений. Кэмел получил для них такие формулы:
$${\mathit{G}}_n(\xi )=$$
$$=\frac{\partial E_n^{\ast }(\xi )}{\partial \xi }{\phi }^{(0)}(\xi )-f_{n,0}^{\ast }(\xi )+\sum _{m=1}^{n-1}{C}_n^m[\frac{\partial E_m}{\partial \xi }{\phi }^{(n-m)}(\xi )-f_{m,n-m}{}^r(\xi )],$$

где
$$\begin{array}{rl}{\mathit{E}}_n^{\ast }(\xi )& ={\mathit{E}}_n(\xi )\text{ при }{\mathit{T}}_n=0,\\ {\mathit{f}}_{n,0}^{\ast }(\xi )& ={\mathit{f}}_{n,0}(\xi )\text{ при }{\mathit{T}}_n=0,\\ f_{p,q}(\xi )& =-\sum _{m=1}^p{C}_{p-1}^{m-1}{L}_m{\mathit{f}}_{p-m,q}(\xi ),\\ {\mathit{f}}_{0,q}(\mathit{\xi })& ={\mathit{\phi }}^{(q)}(\xi ).\end{array}$$

Полное описание этого метода было дано в работах Кэмела [57] и Хенрарда [51] и в работе Хори [55]. Кәмел показал, что подход, основанный на преобразованиях Ли, содержит в себе как частные случаи важные методы разложения по двум переменным и подбора асимптотических решений, развитые в работе Кеворкяна [58]. Этот вопрос здесь не рассматривается, так как он весьма подробно изложен в работе Коула (см. [18.5]). Может быть, стоило бы отметить, что алгоритм Депри для преобразований Ли, которые генерируются функцией малого параметра, примененный $к$ функциям Гамильтона, зависящим от этого же параметра, также может быть здесь получен, если с самого начала забыть про наличие этого параметра, что и было показано выше и следует из работы Мерсмана [73]. Аналогичным образом описанный выше метод может быть упрощен введением операторов и функций, не являющихся функциями параметра, с последующим разложением в степенные ряды по $\epsilon$ всех полученных результатов. Такой подход был осуществлен Хори [55], и здесь мы ограничимся кратким изложением его результатов.

Рассмотрим набор из $n$ переменных ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$ и операторы $T_k(\xi )$, и пусть
$$D_{\xi }=\sum _{k=1}^n{T}_k(\xi )\frac{\partial }{\partial {\xi }_k}$$

Рассмотрим отображение
$$x_j={\xi }_j+\sum _{p⩾1}\frac{1}{p!}{D}^{p-1}{T}_j(\xi ),$$

где
$$D_{\xi }^0=1,D_{\xi }^1=D_{\xi },D_{\xi }^p=D_{\xi }{D}_{\xi }^{p-1}.$$

Это отображение аналогично отображению (2.8.1) и соответствующим определениям. В частности, функция $T_k(\xi )$ играет роль функции $\partial S/\partial {\xi }_k$. Рассмотрим также отображение вещественной аналитической функции $f(\mathit{x})$, зависящей от $n$ переменных $x_1,\dots$ $\dots ,x_n$, в $\xi$-пространство по формулам
$$f(x)=f(\xi )+\sum _{p⩾1}\frac{1}{p!}{D}_{\xi }^{v}f(\xi ).$$

В действительности формулы (2.9.20) являются следствием формул (2.9.21). Определим обратное отображение
$$\begin{array}{rl}{T}_k^{-1}(x)& ={T_k(\xi )|}_{\xi =x},\\ D_x& =\sum _{k=1}^n{T}_k^{-1}(x)\frac{\partial }{\partial x_k},\end{array}$$

так что, обращая отображение (2.9.21), имеем
$$f(\xi )=f(x)+\sum _{p⩾1}\frac{(-1{)}^p}{p!}{D}_x^{p}f(x),$$

что является непосредственным обобщением преобразования Ли. Bce выписанные соотнопения в действительности в том или ином виде содержатся в предыдущем изложении (где есть зависимость от $\epsilon$ ), а их доказательство получается сразу же.
Уравнение
$${\dot{x}}_k={\dot{f}}_k(x)$$

после применения преобразования (2.9.20), генерируемого функцией $T_k$, переходит в уравнение
$${\dot{\xi }}_k={\phi }_k(\xi )\text{. }$$

Используя (2.9.24), получаем преобразование, обратное к (2.9.20), в виде
$${\xi }_j=x_j+\sum _{p⩾1}\frac{(-1{)}^p}{p!}{D}_x^{p-1}{T}_j^{-1}(x).$$

Так как из (2.9.25) следует, что
$$\frac{d}{dt}=\sum _{k=1}^n{f}_k\frac{\partial }{\partial x_k},$$

то для произвольной функции имеем
$$\frac{d}{dt}F(x)=\dot{F}(x)=\sum _{k=1}^n\frac{\partial F}{\partial x_k}{\dot{x}}_k=\left(\sum _{k=1}^n{f}_h\frac{\partial }{\partial x_k}\right)F.$$

Вычисление функции ${\phi }_k(\xi )$ в (2.9.26) проведем следующим образом. Дифференцирование соотношения (2.9.27) дает
$${\dot{\xi }}_j={\dot{x}}_j+\sum _{p⩾1}\frac{(-1{)}^p}{p!}\frac{d}{dt}\{D_x^{p-1}{T}_j^{-1}(x)\}$$

и, подставляя сюда (2.9.25) и (2.9.23), ваходим
$${\dot{\xi }}_j=f_j(x)+\sum _{p⩾1}\frac{(-1{)}^p}{p!}\sum _{k=1}^n{f}_k(x)\frac{\partial }{\partial x_k}(D_{\mathit{x}}^{p-1}{T}_j^{-1}(x))$$

или, используя (2.9.21) и (2.9.20),
$$\begin{array}{l}{\dot{\xi }}_j=f_j(\xi )+\sum _{p⩾1}\frac{1}{p!}{D}_{\xi }^p{f}_j(\xi )+\sum _{p⩾1}\frac{(-1{)}^p}{p!}\sum _{k=1}^n{f}_k(\xi )\frac{\partial }{\partial {\xi }_k}(D_{\xi }^{p-1}{T}_j(\xi ))+\\ +\sum _{p⩾1}\frac{(-1{)}^p}{p!}\sum _{q⩾1}\frac{1}{q!}D\{\sum _{k=1}^n{f}_k(\xi )\frac{\hat{o}}{\partial {\xi }_k}(D^{p-1}{T}_j(\xi ))\}={\phi }_j(\xi ).(2.9.29)\end{array}$$

Теперь рассмотрим ряды
$$\begin{array}{l}{f}_j=f_j^{(0)}+f_j^{(1)}+\dots ,\\ {\phi }_j={\phi }_j^{(0)}+{\phi }_j^{(1)}+\dots \\ T_j=T_j^{(0)}+T_j^{(1)}+\dots \end{array}$$

и будем искать такие операторы $T_j$, чтобы функции ${\phi }_j$ имели желаемый вид. Очевидно, предполагаем, что уравнения
$${\dot{y}}_k=f_k^{(0)}(y)$$

имеют известное общее репение. Разложение (2.9.30) функций $f_j$ не обязательно подразумевает разложение в степенные ряды по некоторому малому параметру и не обязательно имеет бесконечное число членов. Действительно, в обычном случае для возмущений интегрируемой системы (2.9.31) имеем $f_j^{(k)}=0$ при $k⩾2$, т. е.
$$f_j=f_j^{(0)}+f_j^{(1)}.$$

Подставляя ряды (2.9.30) в (2.9.29) и приравнивая члены одинакового порядка, можно получить рекуррентный алгоритм вычисления неизвестных функций ${\phi }_j^{(k)}$ и $T_j^{(h)}$. В этом отношении явное использование параметра є для представления членов разного порядка является весьма удобным, хотя и не обязательным. Это означает, что приравнивание членов одинакового порядка лучше заменить приравниванпем коэффициентов при одинаковых степенях $\epsilon$, если положить $f_j^{(k)}=O\left({\epsilon }^k\right),{\phi }_j^{(k)}=O\left({\epsilon }^k\right),T_j^{(k)}=$ $=O\left({\epsilon }^k\right)$,
Первые несколько приближений имеют вид
$$\begin{array}{c}{f}_j^{(0)}={\phi }_j^{(0)},\\ \sum _{k=1}^n\{-f_k^{(0)}\frac{\partial T_j^{(1)}}{\partial {\xi }_k}+T_k^{(1)}\frac{\partial f_j^{(0)}}{\partial {\xi }_k}\}+f_j^{(1)}={\phi }_j^{(1)},\\ \sum _{k=1}^n\{-f_k^{(0)}\frac{\partial T_j^{(2)}}{\partial {\xi }_k}+T_k^{(2)}\frac{\partial f_j^{(0)}}{\partial {\xi }_k}\}+\frac{1}{2!}\sum _{k=1}^n{T}_k^{(1)}\frac{\partial }{\partial {\xi }_k}({\phi }_j^{(1)}+f_j^{(1)})-\\ -\frac{1}{2!}\sum _{k=1}^n\frac{\partial T_j^{(1)}}{\partial {\xi }_k}({\phi }_k^{(1)}+f_k^{(1)})+f_j^{(2)}={\phi }_j^{(2)},\end{array}$$

а в общем случае
$$\sum _{k=1}^n\{-f_k^{(0)}\frac{\partial T_i^{(p)}}{\partial {\xi }_k}+T_k^{(p)}\frac{\partial f_j^{(0)}}{\partial {\xi }_k}\}+\cdots +f_j^{(p)}={\phi }_j^{(p)},$$

что, по существу, эквивалентно выписанным выше соотношениям (2.9.17). Здесь все функции зависят от переменных $\xi$. Теперь мы введем важное понятие дополнительной системы, определив
$$\frac{d{\xi }_j}{d\tau }=f_j^{(0)}(\xi )$$

с общим решением
$${\xi }_j={\xi }_j(\tau )$$

так что
$$\sum _{k=1}^n\{-f_k^{(0)}\frac{\partial T_j^{(p)}}{\partial {\xi }_k}+T_k^{(p)}\frac{\partial f_j^{(0)}}{\partial {\xi }_k}\}=-\frac{d{T}_j^{(p)}}{d\tau }+\sum _{k=1}^n{T}_k^{(p)}\frac{\partial f_j^{(0)}}{\partial {\xi }_k}.$$

Общее уравнение (2.9.32) на каждом шаге вычисления приближения приводится $\kappa$ линейной системе дифференциальных уравнений относительно $T_j^{(p)}(\xi )$
$$-\frac{d{T}_j^{(p)}}{d\tau }+\sum _{k=1}^n\frac{\partial f_j^{(0)}(\xi (\tau ))}{\partial {\xi }_k}{T}_k^{(p)}(\tau )+F_j^{(p)}(\tau )={\phi }_j^{(p)},$$

где все $\xi$ заменены решениями (2.9.34) дополнительной системы. Ясно, что уравнение (2.9.35) является непосредственным обобщением уравнения (2.8.9). Заметим, что как и в обычных методах усреднения, функции ${\phi }_i^{(p)}$ надо выбирать так, чтобы в $T_j^{(p)}(\tau )$ отсутствовали секулярные члены, т. е. надо, чтобы предел
$$\underset{\tau \to \mathrm{\infty }}{lim}{T}_j^{(p)}(\tau )$$

был конечным. В простейшем случае функция $f_j^{(0)}$ линейно зависит от переменных $\xi$, так что система уравнений (2.9.35) является линейной неоднородной системой с постоянными коәффициентами для приближения любого порядка. Если имеет место не такой случай, а, например, функции $\partial f_j^{(0)}/{\partial {\xi }_k|}_{\xi =\xi (\tau )}$ являются периодическими или условно-периодическими функциями $\tau$, то интегрирование уравнений (2.9.36) представляет собой нетривиальную задачу. Следовательно, желательно произвести такое разложение функций $f_j(\xi )$, чтобы все $f_j^{(0}(\xi )$ были линейными.

Уравнение Ван дер Поля. В качестве примера рассмотрим уравневие
$$\ddot{x}+\epsilon (1-x^2)\dot{x}+x=0,$$

которое можно записать так
$${\dot{x}}_1=x_2,{\dot{x}}_2=-x_1-\epsilon (1-x_1^2)x_2.$$

Здесь мы имеем
$$\begin{array}{ll}{f}_1^{(0)}=x_2,f_2^{(0)}=-x_1,& f_1^{(1)}=f_1^{(2)}=\dots =f_1^{(p)}=\dots =0\\ f_2^{(1)}=-\epsilon (1-x_1^2)x_2,& f_2^{(2)}=f_2^{(3)}=\dots =f_2^{(p)}=\dots =0.\end{array}$$

Дополнительная система
$$\frac{d{\xi }_j}{d\tau }=\cdot f_j^{(0)}={\phi }_j^{(0)}$$

имеет решение вида
$${\xi }_1=\alpha \cos (\tau +\beta ),{\xi }_2=-\alpha \sin (\tau +\beta ),$$

где $\alpha ,\beta$-скалярные постоянные. Уравнения первого приближения принимают вид
$$-\frac{d{T}_1^{(1)}}{d\tau }+T_2^{(1)}={\phi }_1^{(1)},$$
$$-\frac{d{T}_2^{(1)}}{d\tau }-T_1^{(1)}+\epsilon [1-{\alpha }^2{\cos }^2(\tau +\beta )]\alpha \sin (\tau +\beta )={\phi }_2^{(1)},$$

или
$$\begin{array}{l}\frac{d_2{T}_1^{(1)}}{d{\tau }^2}+T_1^{(1)}=\epsilon [(1-\frac{{\alpha }^2}{4})\alpha \sin (\tau +\beta )-\frac{{\alpha }^3}{4}\sin (3\tau +3\beta )]-\\ -\frac{d{\phi }_1^{(1)}}{d\tau }-{\phi }_2^{(1)}.\end{array}$$

Для того чтобы не появилось секулярных членов, в уравнении для $T_1^{(1)}$ должен отсутствовать член $\sin (\tau +\beta )$. Один из возможных способов. выбора произвольных функций описывается формулами
$$\begin{array}{l}\frac{d^2{T}_1^{(1)}}{d{\tau }^2}+T_1^{(1)}=-\epsilon \frac{{\alpha }^3}{4}\sin (3\tau +3\beta ),\\ \frac{d{\phi }_1^{(1)}}{d\tau }+{\phi }_2^{(1)}=\epsilon (1-\frac{{\alpha }^2}{4})\alpha \sin (\tau +\beta ),\\ {\phi }_2^{(1)}=\frac{d{\phi }_1^{(1)}}{d\tau }=\frac{1}{2}\epsilon (1-\frac{{\alpha }^2}{4})\alpha \sin (\tau +\beta ),\end{array}$$

так что
$$\begin{array}{l}{\phi }_2^{(1)}=-\epsilon [1-\frac{1}{4}({\xi }_1^2+{\xi }_2^2)]{\xi }_2,\\ {\phi }_1^{(1)}=-\epsilon [1-\frac{1}{4}({\xi }_1^2+{\xi }_2^2)]{\xi }_1\end{array}$$

и, следовательно,
$$\begin{array}{l}{T}_1^{(1)}=\frac{\epsilon {\alpha }^3}{32}\sin (3\tau +3\beta )=\frac{\epsilon }{32}{\xi }_2({\xi }_2^2-3{\xi }_1^2),\\ T_2^{(1)}=\frac{\epsilon }{2}{\xi }_1(-1+\frac{7}{16}{\xi }_1^2-\frac{5}{16}{\xi }_2^2).\end{array}$$

Таким образом, уравнения в новых переменных в первом приближении имеют вид
$$\begin{array}{l}\frac{d{\xi }_1}{dt}={\xi }_2-\epsilon [1-\frac{1}{4}({\xi }_1^2+{\xi }_2^2)]{\xi }_1\\ \frac{d{\xi }_2}{dt}=-{\xi }_1-\epsilon [1-\frac{1}{4}({\xi }_1^2+{\xi }_2^2)]{\xi }_2.\end{array}$$

Легко проверить, что уравнение для ${\xi }_2$ получается из уравнения для ${\xi }_1$ при замене ${\xi }_2\to -{\xi }_1,{\xi }_1\to {\xi }_2$, что объясняется сделанным выбором ${\phi }_2^{(1)}=d{\phi }_1^{(1)}/d\tau$. Если положить
$$u^2={\xi }_1^2+{\xi }_2^2,$$

то найдем, что
$$\frac{d{u}^2}{dt}=-2\epsilon (1-\frac{u^2}{4})u^2$$

и, следовательно,
$$u^2={\xi }_1^2+{\xi }_2^2=\frac{4k{e}^{-\epsilon t}}{k{e}^{-\epsilon t}\pm 1},$$

а знак + или — надо выбирать в зависимости от знака постоянной $k$, т. е. в зависимости от начальных условий так, чтобы величина $u^2$ была положительной.
При $\epsilon >0$ мы получаем асимптотическое поведение:
$$u^2\to 0\text{ при }t\to \mathrm{\infty },$$

что описывает хорошо известное демпфированное движение по направлению к фокусу. Если $\epsilon <0$, то $u^2\to 4$ при $t\to \mathrm{\infty }$ и мы имеем предельный ұикл в уравнении Ван дер Поля. То, что первое приближение (по $\epsilon$ ) дает возможность получить полную информацию об асимптотическом поведении системы, объясняется тем, что в любом приближении уравнения для ${\xi }_1,{\xi }_2$ имеют тот же вид, что и уравнения первого приближения, т. е.
$$\begin{array}{c}{\dot{\xi }}_1=[1+{\epsilon }^2{f}_2\left(u^2\right)+{\epsilon }^4{f}_4\left(u^2\right)+\dots ]{\xi }_2-\\ -\epsilon [1-\frac{u^2}{4}+{\epsilon }^2{g}_3\left(u^2\right)+{\epsilon }^4{g}_5\left(u^2\right)+\dots ]{\xi }_1,\\ {\dot{\xi }}_2={\dot{\xi }}_1({\xi }_2\to -{\xi }_1,{\xi }_1\to {\xi }_2),\end{array}$$

так что описанные выше асимптотические свойства сохраняются.