С физической точки зрения понятия линейного или нелинейного резонанса могут отражать только некоторые аспекты тех илі иных постановок задач. Для любых физических целей линейный резонанс не существует. Нелинейный резонанс является гтавпым принципом настройки, т. е. выделения сигнала из общего шумового фона, а в естественных системах — причина устойчпвых колебательных конфигураций; общим для обеих ситуаций является явление «захвата в рєзонанс». В более сложных системах резонанс выявляется только с помощью численных исследований. Хорошие примеры в этом отношении дают работы Хенона и Хей:еса [43] и Густавсона [38]. В некоторых случаях метод поверхностей сечения (или результаты Пуанкаре) является очепь әффективным, как например, в задаче, рассмотренной Дэнби [26]. Что касается гамильтоновых систем, то мы немедленно сталкиваемся с вопросом о том, будут ли такие системы осцилляторами. Ясное описание, даваемое с помощью переменных действие — угол, применимо только тогда, когда можно разделить уравіение Гамильтона — Якоби, и поэтому оно имеет слишком ограпиченную область применения. Таким образом, мы вынуждены прийти к обычному описанию колебаний в окрестности положения равновесия, которое надо считать устойчивым. Нелинейность заключается в том, что если такие колебания периодичны по каждой переменной, которая описывает отклонение от положения равновесия, то их период зависит от этого отклонения.

Математическое определение нелинейного резонанса, основанное на методе, который применяется для получения асимптотических решений, разумеется, не является удовлетворительным, хотя и часто используется (см., например, [52], стр. 18). Такое определение, если оно основано на появлении нулевых делителей в приближенных методах (как описывается в этой главе), есть не что иное, как эквивалентное утверждение о неполном вырождении. Перед тем как переходить к более уточненным и подробным определениям, надо отдавать себе отчет, что рассматриваемый вопрос по существу заключается в изучении поведения нелинейной динамической системы под влиянием внешних (пли внутренних) возмущений. Асимштотически устойчивые решения можно в конечном счете получить с помощью асимптотических или чисто качественных методов, на что и указывалось в работах Боголюбова и Митропольского [12], Немыцкого и Степанова [64], Чезари [16] и Митропольского [58]. Поиск таких решений очень часто сводится к определению расположения и типов особых точек в фазовом пространстве. Тиш этих точек зависит от поведения интегральных кривых в их окрестности, и, следовательно, располагая такой информацией, мы можем установить топологическую картину поведения траекторий в этих окрестностях фазового пространства. Однако в большинстве случаев поведение интегральных кривых в фазовом пространстве остается неизвестным, и часто численные методы являются единственными методами, имеющимися в нашем распоряжении. Кроме того, иногда пытаются понять нелинейные эффекты, упростив систему.

Характерный пример типично нелинейных трудностей и резонансных эффектов дает рассмотрение уравнения
$$\ddot{x}+{\omega }^{2}x+\alpha \dot{x}=\beta f(\tau ),$$

где $\omega$ и $\alpha$ зависят от $x$ и $\dot{x}$. Амплитуда $\beta$ вынуждающей силы предполагается фиксированной, а $\tau =\epsilon t$, где $\epsilon$ — малая величина. Типичным предположением является предположение о том, что ${\omega }^2$ и $\alpha$ являются функциями «энергии» $E$ системы, т. е.
$$2E={\dot{x}}^2+{\omega }^2(E)x^2,$$

и тогда ищется колебательное решение
$$x=a\cos (ut+\phi ),\dot{x}=-\alpha u\sin (ut+\phi ).$$

Если амплитуда $a$ и фаза $\phi$ медленно меняются со временем за период $T=2\pi /v$, то можно усреднить соответствующее уравнение за период и получить решение с известной величиной ошибки (см., например, [52], стр. 17-18, уравнения (2.19) и (2.20)).

Такие усредненные уравнения, получающиеся в результатө упомянутой процедуры, имеют вид
$$\begin{array}{l}\dot{\alpha }=-\frac{\alpha }{2}a-\frac{\beta }{2v}\sin \phi ,\\ \dot{\phi }=\frac{1}{2v}({\omega }^2-v^2)-\frac{\beta }{2va}\cos \phi ,\\ E=\frac{1}{4}{a}^2({\omega }^2+v^2),\end{array}$$

и они показывают, что предположение о медленном изменении амплитуды верно, если
$$|\alpha a|,\left|\frac{\beta }{v}\right|\ll va.$$

Медленно меняющаяся фаза будет встречаться в таких областях плоскости $(a,\phi )$, где
$$|v-{({\omega }^2+\frac{\beta }{a}\cos \phi )}^{1/2}|\ll v.$$

При отсутствии диссинации ( $\alpha =0$ ) спстема является канонической, и соответствующий гамильтониан имеет вид
$$H(p,\theta )=\frac{1}{2v}{\int }^p[{\omega }^2(x)-v^2]dx-2\epsilon \sqrt{p}\cos \theta ,$$

где $p=a^2,\epsilon =\beta /2v$.
Отсюда видно, что амплитуда $a$ является ограниченной, если предел
$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{a_0}^a|{\omega }^2\left(x^2\right)-v^2|xdx$$

конечен и не равен нулю. В действительности это условие подразумевает, что система не ведет себя линейно при больших амплитудах. За исключением тех интегральных кривых, для которых особая точка является предельной точкой, траектории в фазовой плоскости $(a,\theta$ ) замкнуты и не пересекаются друг с другом, если при этом отождествить точки $\theta =0$ и $\theta =2\pi$.
При отсутствии диссипации особыми точками системы
$$\dot{a}=-\epsilon \sin \phi ,\dot{\phi }=\frac{1}{2v}({\omega }^2-v^2)-\frac{\epsilon }{a}\cos \phi ,$$

которая относится к типу систем, обсуждавшихся в главе III, являются точки
$$a=0,\phi =\pi /2,\phi =3\pi /2$$

и $\dot{a}=\dot{\phi }=0$, т. е.
$$\phi =0,\pi ,\frac{a}{2v}({\omega }^2-v^2)=\pm \epsilon .$$

Уравнение (5.10.6) описывает резонансную кривую системы в плоскости $(a,v)$. Это означает, что координата особой точки $a$ при данном значении $v$ является корнем уравнения
$$v_{\pm }(a)={({\omega }^2\pm \beta /a)}^{1/2},$$

где фаза $\phi =\pi$ при $v=v_{+}$и фаза $\phi =0$ при $v=v_{-}$. Видно, что $v_{+}(a)$ является кривой центров, если $v_{+}(a)<0$, кривой седел, если $v_{+}^{\prime }(a)>0$, и кривой смешанного типа, если $v_{+}^{\prime }(a)=0$. Для $v_{-}(a)$ ситуация обратна. Приведем некоторые важные факты, справедливые для любой нелинейной системы.
a) Для любого значения частоты $v$ существует по крайней мере один центр.
б) Число центров на единицу больше числа седел.
в) При малых вариациях каждая смешанная точка исчезает или распадается на пару точек: центр и седло.
г) Сепаратриса проходит через каждое седло и исключительные особые точки $a=0,\phi =\pi /2,\phi =3\pi /2$.
л) Наконец, общей чертой движения без диссипации является то, что период, определяемый формулой
$$T(C)={\oint }_{H=C}\frac{d\phi }{\dot{\phi }}$$

может быть оценен в результате следующей приближенной процедуры, если только интегральные кривые достаточно близки к центру. Линеаризация уравнений (5.10.5) в окрестности центра $C_k$ дает

где
$$\dot{a}=-\epsilon \phi ,\dot{\phi }=-{\alpha }_k[a_k-a],$$
$$\begin{array}{c}\phi \left(C_k\right)=0,a_k=a\left(C_k\right),{\alpha }_k={\omega }_k^{\prime }\omega /u+\epsilon /a^2,\\ {\omega }_k=\omega \left(a\left(C_k\right)\right),{\omega }_k^{\prime }={\omega }^{\prime }\left(a\left(C_k\right)\right).\end{array}$$

Такие линеаризованные уравнения очевидно могут быть записаны в виде
$$\ddot{x}+\epsilon {\alpha }_{k}x=0,$$

ғде $x=a-a\left(C_k\right)$. Таким обрагом, в пределе $C=C_k$ и частоты в амплитуде колебаний $x$ определяются формулой
$${\mathrm{\Omega }}_k=\sqrt{\epsilon {\alpha }_k},$$

а пернод —
$$T_k=2\pi /\sqrt{\epsilon {\alpha }_k}.$$

В этой системе степень $1/2$ возникает естественным образом, и обычная ссылка на изучение \»пограничного слоя» едва ли необходима. Действительно, как мы видези в § 5 настоящей главы, при различных предположениях возникают различные степени $\epsilon$ (уравнение (5.5.9)). В областях, далеких от центра, интеграл для $T(C)$ надо вычислять точно, и в большинстве случаев это можно сделать только численно. Однако, если $a\gg \epsilon$, то пренебрегая членами $(\epsilon /a{)}^2$ п более высокого порядка, находим
$$\dot{x}=-\epsilon \sin \phi ,\dot{\phi }={\alpha }_{k}x,$$

п при $-1⩽C_k⩽1$ интеграл для $T(C)$ дает формулу
$$T(C)=\frac{2}{\sqrt{\epsilon {\alpha }_k}}K\left(\sqrt{\frac{1+C_k}{2}}\right)$$

а при $C_k>1$
$$T(C)=2{\left[\epsilon {\alpha }_k(1+C_k)/2\right]}^{-1/2}K\left(\sqrt{\frac{1+C_k}{2}}\right),$$

где $K(k)$ — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем $k$.

Мы можем проверить результат для центра, положив $C_k=$ $=-1$. Если $C_k\to 1$, то $T\to \mathrm{\infty }$, и в действительности случай $C_k=1$ соответствует седаратрисе.

Варпация амплитуды $\mathrm{\Delta }a$ (амплитуда колебаний в окрестности центра) определяется формулой
$$\mathrm{\Delta }a(C)=maxa(C,\phi )-mina(C,\phi )$$

I, следовательно, получаем
$$\mathrm{\Delta }a=2{\left[2\mathrm{\Delta }(1+C_k){\alpha }_k\right]}^{1/2}$$

K
$$\mathrm{\Delta }a=\sqrt{\frac{2\epsilon }{{\alpha }_k}}[\sqrt{C_k+1}-\sqrt{C_k-1}](C_k>1).$$

Эти результаты по существу описаны в наших статьях [32-36], но здесь мы следовали прямому описанию работы Бакаи [6].

В результате получаем, что $\mathrm{\Delta }a$ увеличивается вместе с $C_k$, стремясь к максимальному значению при $C_k\to 1$ слева, а затем круто уменьшается; при этом характер движения изменяется с колебательного (конечные вариации фазы) на вращательный (неограниченные вариации фазы).

Если вводится диссипация, то картину фазовых траекторий также нетрудно найти, несмотря на «потерю» интеграла энергии (гамильтониан). Действительно, хотя траектории больше не являются замкнутыми, они приблнжаются или к замкнутым траекториям, или к неподвижной точке. В противоположность предыдущему случаю мы имеем следующие свойства.
a) Фаза $\phi$ особой точки не является постоянной. Для особой точки, определенной ветвью $v_{+}(a)$, имеем $\pi /2⩽\phi ⩽3\pi /2$, а для точки, определенной ветвью $v-(a)$, имеем $-\pi /2⩽\phi ⩽\pi /2$.
б) При значении $a$, удовлетворяющем соотношению $a\alpha =2\epsilon$, ветви $v_{+}(a)$ и $v_{-}(a)$ сливаются с кривой, определяемой формулой $v=v(\omega )$. При отсутствии трения ветвь $v_{+}(a)$ (или $v_{-}(a)$ ) лежит всегда над (или под) этой кривой.
в) Центры переходят в фокусы, которые устойчивы при $d(\alpha a)/da>0$ и неустойчивы при $d(\alpha a)/da<0$. Седловые и смешанные точки остаются.
г) Каждая фазовая траектория стремится к устойчивому фокусу или к устойчивому предельному циклу, окружающему его. Переход осуществляется через фазовую траекторию, имеющую седло в качестве предельной особой точки. В этом случае одна ветвь приближается к фокусу, а другая — к предельному циклу.

В заключение мы хотим упоиянуть важные результаты, полученные Мозером [62] прџ псстроении условно-периодических движений, в частностіг, при построении движений в окрестности резонансных систем.

Этот вопрос связан с возможностью применения к резонансным случаям теоремы Мозера об условно-периодических движениях, описанной в § 6 главы III. Обобщение этой теоремы для гамильтоновых систем получено Мозером [62]. Если рассматривается система с $N$ степенями свободы, а $n$ — число рационально независимых частот невозмущенной системы, то в случае $n=N$ применима теорема Колмогорова или теорема Мозера. Если $n=0$, то мы имеем положение равновесия, а случай $n=1$ соответствует периодическому двпжению; первым этот случай рассматривал Арнольд [4]. Все остальные случаи $1<n<N$ являются резонансными, и кратность резонанса равна $N-n$. С точки зрения вопросов, описанных в § 3 главы III, резонансы рассматривались в статье Арнольда [5] при обобщении теоремы Колмогорова. Действительно, основные результаты работы Мозера содержатся в теореме Арнольда,- факт, становящийся очевидным при сравнении, налример, функции ${\overline{H}}_1$. (§3, глава III) с функцией $\hat{H}$ из работы Мозера. В стучае простого резонанса (т. е. $n=N-1$ ) результаты Мозера можно сформулировать очень просто.

Действительно, рассмотрим гамильтониан
$$H=H(y_1,\dots ,y_N,x_1,\dots ,x_N,\epsilon ),$$

где $H(\mathit{y},\mathit{x},0)=H_0(y_N,\mathit{x})$, а функция $H2\pi$-периодична по каждой уг:овой переменной $y_1,\dots ,y_n(n=N-1)$. Более того, для фиксированных значений $x_1,\dots ,x_{N-1}$, ограниченных в некоторой ограниченной области, мы будем считать точку $y_N=x_N=0$ равновесным решением системы с гамильтонианом $H_0$, т. е.
$$\frac{\partial H_0}{\partial y_N}=\frac{\partial H_0}{\partial x_N}=0.$$

При $\epsilon =0$ на многообразии
$$x_k=C_k=\mathrm{const},y_N=x_N=0(k=1,\dots ,n)$$

мы имеем $n$-параметрическое семейство условно-перподических движений. При условии, что положение равновесия является положением равновесия эллиптического типа, эти движения могут быть продолжены при достаточно малых возмущениях, т. е. при малых ${\epsilon }^1$ ). Точнее, Мозер (см. [62], теорема 6) доказал такое утверждение.

Теорема. Пусть система с гамильтонианом $H(\mathit{y},\mathit{x},\epsilon )$ при $\epsilon =0$ имеет равповесную точку и выполнены условия:
1) при $\epsilon =0,x_N=y_N=0,x_k=C_k(i,j,k=1,\dots ,n)$
$$\det \left\{\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}H}{\partial x_i\partial x_j}& \frac{{\partial }^{2}H}{\partial x_i\partial x_N}\\ \frac{{\partial }^{2}H}{\partial y_N\partial x_j}& \frac{{\partial }^{2}H}{\partial y_N^2}\end{array}\right\}eq0,$$
2) есии $n$ ри $\epsilon =0,x_N=y_N=0,x_k=C_k$,
$$\mathrm{\Delta }=\det \left\{\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^{2}H}{\partial x_N^2}& \frac{{\partial }^{2}H}{\partial x_N\partial y_N}\\ \frac{{\partial }^{2}H}{\partial x_N\partial y_N}& \frac{{\partial }^{2}H}{\partial y_N^2}\end{array}\right\}={\alpha }^2>0,$$

то при $\epsilon =0,x_N=y_N=0,x_k=C_k(i,j,k=1,\dots ,n)$
$$\det \left\{\begin{array}{ll}\frac{{\partial }^{2}H}{\partial x_i\partial x_j}& \frac{\partial H}{\partial x_i}\\ \frac{\partial H}{\partial x_j}& \mathrm{\Delta }\end{array}\right\}eq0.$$
1) Вопросы построения и исследования устойчпвости таких двпжений рассматрввались в работе [20*] (прим. ред.).

Тогда при достаточно мальх в существуют условно-периодические решения с п частотами, которые близки решениям, определяемьм формулами (5.10.7).

Разложение функции в ряд Тейлора осуществляется в окрестности решения (5.10.7), и положение равновесия $x_N=y_N=0$ предполагается положением равновесия эллиптического типа, т. е. матрица
$$\left\{\begin{array}{cc}\frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_N^2}& \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_N\partial y_N}\\ \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial x_N\partial y_N}& \frac{{\partial }^2{H}_0}{\partial y_N^2}\end{array}\right\}$$

приводима к диагональной форме
$$\mathrm{\Delta }=\left(\begin{array}{ll}\alpha & 0\\ 0& \alpha \end{array}\right)$$

где $\alpha eq0$. Таким образом, окончательная форма гамильтониана такова:
$$\tilde{H}=\sum _{j=1}^n{a}_j{X}_j+\frac{1}{2}(X_N^2+Y_N^2)+O(\epsilon ),$$

где
$$\begin{array}{c}|X_j-x_j|\sim O\left({\epsilon }^2\right)(j=1,\dots ,n),\\ |X_N-x_N|\sim |Y_N-y_N|\sim O\left({\epsilon }^4\right).\end{array}$$

Дифференциальные уравнения возьмем в виде
$$\dot{y}=\mathit{a}+O(\epsilon ),\dot{\xi }=\mathrm{\Omega }\xi +O(\epsilon )$$

где $y=(y_1,\dots ,y_n),\xi =(x_1,\dots ,x_n,x_N,y_N)$.
Собственные числа матрицы $\mathrm{\Omega }$ таковы:
$${\mathrm{\Omega }}_1=\dots ={\mathrm{\Omega }}_n=0,{\mathrm{\Omega }}_N=-{\mathrm{\Omega }}_{N+1}=\sqrt{-1}.$$

Для применения теоремы Мозера (§ 6 главы III) необходимо построить модифицированную систему
$$\begin{array}{c}\dot{y}=a+\lambda +O(\epsilon ),\\ \dot{\xi }=\mathrm{\Omega }\xi +M\xi +O(\epsilon ).\end{array}$$

Однако, как показал Мозер, можно выбрать $M=\sigma \mathrm{\Omega }$, где вещественная величина $\sigma eq0$, так что «растяжением» времени
$$d\tau =(1+\sigma )dt$$

находін
$$\begin{array}{l}{y}^{\prime }=(1+\sigma {)}^{-1}(\mathit{a}+\lambda )+O(\epsilon ),\\ {\xi }^{\prime }=\mathrm{\Omega }\xi +O(\epsilon ),\end{array}$$

II константы
$$a_j=(1+\sigma {)}^{-1}(a_j+{\lambda }_j)$$

можно получить соответствуцщми величинам $C_k(k=1,\dots ,n)$, которые удовлетворяют предшоложениям теоремы.

Тогда в системе (5.10.8) будут существовать условно-периодические движения.

Что касается периодических решений в окрестности положения равновесия, когда частоты нормальных колебаний являются рационально зависимыми, то этот вопрос первым изучал Зигель [73]. Он привел пример, показывающий, что распространение теоремы Ляпунова на әтот случай не всегда возможно. Однако совсем недавно в работе Бергера [8] для гамиттоновых систем при отсутствии гироскопических членов была доказана одна важная теорема из этой области. С другой стороны, Хенрард [44] в конкретной системе ${}^1$ ), в которой такие члены присутствуют, провел формальную нормализацию, и с помощью численных методов показал, что, по-видимому, при некотором резонансном соотношении между частотами нормальных колебаний в окрестности положения равновесия существуют периодические орбиты. Наконец, Рул [69], применив метод нормализации, показал существование периодических орбит, соответствующих рациональным частотам, в ограниченной задаче трех тел, а позже [70] дал доказательство теоремы, обобщающей результаты Ляпунова. Точнее, периодические решения в окрестности положения равновесия будут существовать, когда ${\lambda }_i=k{\lambda }_1$ ( $k⩾4,{\lambda }_1$ — чисто мнимая величина) и выполнены некоторые условия, зависящие от $k$ и от членов более высокого порядка в разложении гамильтониана около положения равновесия. Здесь мы ограничимся упоминанием только наиболее важных результатов Бергера и Рула ${}^2$ ).
Бергер обобщил теорему Ляпунова следующим образом [8]. Т е р р м. Пусть дан гамильтониан
$$H(y,x)=\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}{\mathit{y}}^{\mathrm{T}}A\mathit{y}+F(\mathit{y}),$$

где $\mathit{y}$ п $\mathit{x}-n$-мерные векторы, $F(\mathit{y}$ ) принадлежит по крайней мере классу $C^{1}n$ pu $0⩽y⩽2\pi ,\underset{\Vert \mathit{y}\Vert \to 0}{lim}\Vert \frac{\partial F}{\partial \mathit{y}}\Vert /\Vert \mathit{y}\Vert =0$, д $A-$
1) В работе [44] рассматривается движение в окрестности лагранжевых решений плоской круговой ограниченной задачи трех тел (прим. nepee.).
2) См. также [37*] (прим, перев.).

постолнная самосопряженная матрица размерности $n\times n$ с собственными числами ${\lambda }_1^2,\dots ,{\lambda }_n^2$. Если существует $р$ собственных чисел, не обязательно различных, но равных величине $k^2{\lambda }_j^2$ ( $k$ — целое число для некоторого $1⩽j⩽n$, то существует по крайней мере $p$ различных однопараметрических семейств $u_j(\epsilon )(j=1,\dots ,p)$ периодических орбит с периодами $T_j(\epsilon )$. При $\epsilon \to 0$ все семейства переходят в положение равновесия и периоды равны $2\pi /\left|{\lambda }_j\right|$. Более того, если функция $F(\mathit{y})$ вещественно аналитична, то $u_j(\epsilon )$ и $T_j(\epsilon )$ непрерывны в окрестности положения равновесия.

Ясно, что теорему нельзя применить, если гамильтониан содержит линейные по $\mathit{x}$ члены, т. е. по вектору «скоростей». В этом стучае применима теорема Рула при следующих предположениях $[69,70]$.

Теорем а. Пусть дан вещественный аналитический гамильтониан. $H(\mathit{y},\mathit{x})$ в окрестности положения равновесия $(0,0)$. Если все собственные числа линейной системь в вариациях различны между собой, одно из них, например, ${\lambda }_1$, является чисто мнимым, и существует другое собственное число, например, ${\lambda }_2$, такое, что ${\lambda }_2=k{\lambda }_1(k⩾4$ — целое число), то существует семейство вещественных периодичестих решений, зависящих аналитически от вещественного параметра в окрестности положения равновесия, если, кроме того, число $R(k)eq0$.

Это число зависит от $k$ и от коэффициентов разложения функции $H$ в окрестности точки $(0,0)$ до членов четвертого порядка. Если $\epsilon \to 0$, то эти решения переходят в положение равновесия, а их периоды, являющиеся аналитическими функциями параметра $\epsilon$, стремятся к величине $2\pi /\left|{\lambda }_1\right|$. Первое приближение для этого решения совпадает с первым приближением, получающимся в методе Ляпунова для нерезонансного случая ‘).

Разумеется, список результатов для многих частных случаев может быть продолжен до бесконечности. Мы хотим только упомянуть важные работы, которые написали Хейл [41] (особенно §§ III.5-III. 11 і главы IV,V), Сансоне и Конти [72] (особенно §§ VII.1, VIII.7), Чезари .[16] (§8,9), Андронов и др [2] $\mathrm{\S }\mathrm{\S }(1.2-1.5$, главы II, VI), Андронов и др. [3] (главы II, III, IV, особенно с важной точки зрения структурной устойчивости), Немыцкий и Степанов [64] (главы IV, V), Ла-Салль и Лефшец [53] (глава 4, особенно с точки зрения обобщения ляпуновского метода исследования устойчивості), некоторые авторы. Трудов
1) Весьма примечательно, что, в отличие от классического нерезонансного случая Ляпунова, в резонансном случае в работах $[44,69,70,37\ast ]$, кроме того, обнаружены такие перидические движения, которые при $\epsilon \to 0$ не переходят в положение равновесия (прим. перев.).

Междупародного симпозиума по дифференциальным уравнениям и дипамическим системам [42] (под редакцней Хейла и Ла-Салля). Урабе [74] (главы 4, 5), Розе [71] (главы 9. 10, 12, 13, 18 и некоторые примеры на протяжении всей книги), некоторые авторы в переводах Американского математического общества [1], Чен [17] (особенно некоторые примеры по вибрациям в нелцнейных механизмах).

Одной из лучших работ по теории колебаний в электрпческих системах, где анализируется проблема резонанса в некоторых ситуациях и для некоторых примеров, является работа Блањера [10]. Наконец, много общих задач и специальных случаев, встречающихся в небесной механике, собрано в Трудах Международного симпозиума по периодическим орбитам, устойчивости и резонансам [35] (под редакцией Джакальи).

Очень часто утверждается, и в действительности с общематематической точки зрения это верно, что асимптотические методы не могут точно предсказать орбиты на интервалах времени, превышающие $1/\epsilon$, где $\epsilon$ — малый параметр задачи. Тем не менее, доказано, что такие методы (основанные главным образом на методах Линдстедта, Пуанкаре и Цейпеля) как в нерезонансной, так и в резонансной ситуациях, могут точно предсказать наблюдения на гораздо большие времена. Например, учет долгопериодических возмущений, произведенный для искусственных спутников Земли, должен был бы оставаться верным в течение примерно $2\times {10}^3$ часов (около 84 дней), а в конце этого периода точность должна была бы резко ухудшиться. Однако при надлежащем использовании методов усреднения точность, лучшая, чем одна миллионная, может поддерживаться в течение 100 дней. Аналогичное утверждение верно и относительно справедливости нормальных форм, полученных с помощью «вообще говоря, расходящихся» рядов. В этом отношении очень интересны замечания Мозера [59], сказавшего, что «..в случае системы с двумя степенями свободы такое преобразование (нормализация Биркгофа) может быть получено также только с помощью расходящихся рядов. Но при использовании понятия устойчивости в практических целях эти ряды дают вполне достаточное описание…». Замечание аналогичного рода было сделано Кинером [52], утверждавшим, что «…модель (маятниковая) справедлива для интервалов времени порядка $1/\sqrt{J_{22}}$ ( $J_{22}$ — малый параметр задачи), например, в течение периода колебаний». Утверждения такого типа должны сопровождаться словами: «если $J_{22}$ — достаточно малая величина». Однако численная проверка показывает, что «әта теория может быть применена и для синхронных спутников Землиг..». Мы хотим добавить, что времена, превышающие математический интервал справедливости теории возмущений, должны получаться в результате каких-то специальных оценок, существенно использующих те или иные особенности конкретной задачи.

Что касается представления двпжения в окрестности особых точек с помощью аспмптотических щетодов усреднения, то, начиная с создания теории Хори [45], известно много работ, например, работы Гарфинкеля [30] (в этой работе есть хороший список литературы по рассматриваемому вопросу), Джакальи $[32-34,36]$ и Жуппа $[47,49]$.

Наконец, с важной точки зрєпия построения и справедливости третьего интеграла движенин, мы настоятельно рекомендуем несколько работ Контопулоса [21-25], так как, кроме тщательных аналитических выкладок, они содержат много обширных и производящих глубокое впечатление чпсленных приложений I проверок, очень эффективные вычислительные процедуры для исключительно простых и академических параметров, и, кроме того, удобны для читателя, использующого методы усреднения в теории возмущений.