В классической ситуации описанные выше методы приводят к появлению секулярных членов, т. е. в рядах, описывающих решение (или в $\xi_{p}^{(i)}$ ), содержатся члены, линейные (по крайней мере) по $t$. Если такого явления можно избежать и, более того, если можно сделать функции $\xi_{p}^{(i)}(t)$ ограниченными при всех $t$ (скажем, условно-периодическими или просто периодическими), то скорость сходимости может быть улучшена, и в некоторых специальных случаях (как будет видно в следующей главе) для всех $t$ будет иметь место действительная сходимость при достаточно малых $\varepsilon$.

Сейчас мы применим описанный в предыдущем параграфе метод к уравнению простого маятника и убедимся в появлении секулярных членов, а также ошишем способ Линдстедта в приложении к этому частному случаю.

Для простоты предположим, что начальные условия соответствуют колебательному случаю в движении маятника, т. е. колебаниям конечной амплитуды около устойчивого положения равновесия. Уравнение движения можно записать следующим образом:
\[
\ddot{\theta}=-\omega_{0}^{2} \sin \theta
\]

где $\omega_{0}^{2}=g / l^{1}$ ). Рассмотрим сходящееся разложение $\sin \theta$ в ряд по $\theta$ п введем новую переменную по формуле $\theta=\sqrt{\varepsilon} x$, так что уравнение (2.3.1) принимает вид
\[
\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=-\omega_{0}^{2} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\varepsilon^{n} x^{2 n+1}}{(2 n+1) !} .
\]

При $\varepsilon=0$ (бесконечно малые колебания) репение этого уравнения можно записать так:
\[
x_{0}(t)=A \sin \left(\omega_{0} t+\alpha\right) .
\]

Рассмотрим ряды
\[
\xi=x-x_{0}=1 \sum_{m=1}^{\infty} \varepsilon^{m \xi_{m}}(t)
\]

это означает, что решение в окрестности опорного решення $x_{0}(t)$ ищется в виде
\[
x=x_{0}(t)+\sum_{m=1}^{\infty} \varepsilon^{m} \xi_{m}(t) .
\]

Согласно только что описанному методу надо подставить ряд (2.3.4) вместо $x$ в (2.3.2) п приравнять коэффицшенты при одпнаковых степенях $\varepsilon$. Первые несколько приблщений определяются уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\xi}_{1}+\omega_{0}^{2} \xi_{1}=\frac{1}{3 !} \omega_{0}^{2} x_{0}^{3}, \\
\ddot{\xi}_{2}+\omega_{0}^{2} \xi_{2}=\frac{1}{2 !} \omega_{0}^{2} x_{0}^{2} \xi_{1}-\frac{1}{5 !} \omega_{0}^{2} x_{0}^{5}, \\
\ddot{\xi}_{3}+\omega_{0}^{2} \xi_{3}=\frac{1}{2 !} \omega_{0}^{2}\left(x_{0}^{2} \xi_{2}+x_{0} \xi_{1}^{2}\right)-\frac{1}{4 !} \omega_{0}^{2} x_{0}^{4} \xi_{1}+\frac{1}{7 !} \omega_{0}^{2} x_{0}^{7}, \\
\ddot{\xi}_{4}+\omega_{0}^{2} \xi_{4}=\frac{1}{3 !} \omega_{0}^{2}\left(3 x_{0}^{2} \xi_{3}+6 x_{0} \xi_{1} \xi_{2}+\xi_{1}^{3}\right)- \\
\quad-\frac{1}{4 !} \omega_{0}^{2}\left(x_{0}^{4} \xi_{2}+2 x_{0}^{3} \xi_{1}^{2}\right)+\frac{1}{6 !} \omega_{0}^{2} x_{0}^{6} \xi_{i}-\frac{1}{9 !} \omega_{0}^{2} x_{0}^{9} .
\end{array}
\]

Исследуем решение для $\xi_{1}$, соответствующее начальным условиям $\dot{j}_{1}=\dot{\xi}_{1}=0$ при $t=0$. Без потери общности будем считать $\omega_{0}=1$. Этого всегда можно добиться соответствующим выбором
1) Здесь $g$-ускорение свободното падения, $l$-длина нити маятнпка (при.м. перев.).

единицы времени. Как известно, частное репение уравнения
\[
\ddot{z}+z=a \sin p(t+\alpha)
\]

имеет вид
\[
\begin{array}{ll}
z=\frac{a}{1-p^{2}} \sin p(t+\alpha) \text { при } & p
eq 1, \\
z=-\frac{1}{2} \text { at } \cos (t+\alpha) \text { при } & p=1 .
\end{array}
\]

Решение уравнения
\[
\ddot{z}+z=a \cos p(t+\alpha)
\]

имеет вид
\[
\begin{array}{lll}
z=\frac{a}{1-p^{2}} \cos p(t+\alpha) & \text { при } & p
eq 1, \\
z=\frac{1}{2} a t \sin (t+\alpha) & \text { при } & p=1 .
\end{array}
\]

Отсюда легко получить, что
\[
\xi_{\mathrm{i}}=B \sin (t+\beta)-\frac{1}{16} A^{3} t \sin (t-\alpha)+\frac{1}{192} A^{3} \sin 3(t+\alpha),
\]

где $B, \beta$ определяются формулами
\[
B \sin \beta=-\frac{A^{3}}{192} \sin 3 \alpha, \quad B \cos \beta=-\frac{A^{3}}{64} \cos 3 \alpha+\frac{A^{3}}{16} \sin \alpha .
\]

Видно, что в рассматриваемом частном случае секулярнье члены появились в (2.3.6), т. е. уже в первом приближении (в действительности эти члены чаще называют смешанными секулярными членами). Ясно, что появление $t$ вне тригонометрических функций крайне затрудняет получение случая сходимості описаннопо выпе процесса при $t \rightarrow \infty$. Постоянными интегрирования $B$ и $\beta$ никак нельзя распорядиться для уничтожения секулярных членов.

Способ, предложенный Линдстедтом [70], заключается в том, что в опорном решении, т. е. в $x_{0}(t)$, изменяется частота. Действительно, рассмотрим выражение
\[
x_{0}(t)=A \sin (\omega t+\alpha),
\]

где иы положим
\[
\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots,
\]

или, как и раньше, считая $\omega_{0}=1$, нмеем
\[
\omega^{2}=1+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots,
\]

где $\omega_{1}, \omega_{2}, \ldots$, – постоянные (зависящие от $A, \alpha$ ), которые надо выбрать соответствующим образом. Переписывая уравнение (2.3.2) в виде
\[
\ddot{x}+{ }^{*} \omega^{2} x-\varepsilon \omega_{1} x-\varepsilon^{2} \omega_{2} x-\ldots=-\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \varepsilon^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1) !}
\]

и используя решение нулевого псрядка
\[
x_{0}(t)=A \sin (\omega t+\alpha) .
\]

где частота $\omega$ определяется формулой (2.3.8) и заранее неизвестна, аналогично предыдущему случаю мы получим такце уравнения:
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\xi}_{1}+\omega^{2} \xi_{1}=\omega_{1} x_{0}+\frac{1}{3 !} x_{0}^{3} . \\
\ddot{\xi}_{2}+\omega^{2} \xi_{2}=\omega_{1} \xi_{1}+\omega_{2} x_{0}+\frac{1}{2 !} x_{0}^{2} \xi_{1}-\frac{1}{5 !} x_{0}^{j} .
\end{array}
\]

Правые части последних уравнений, очевидно, являются нечетными функциями $\omega t+\alpha$, т. е. наєором синуоов величины $\omega t+\alpha$. В уравнениях для $\xi_{p}$ соответствующие неизвестные приближения $\omega_{p}$ надо определить так, чтобы отсутствовали секулярные (или в этом случае смешанные секулярные) члены. Уравнение для членов первого порядка имеет вид
\[
\begin{array}{l}
\ddot{\xi}_{1}+\omega^{2} \xi_{1}=\omega_{1} A \sin (\omega t+\alpha)+\frac{1}{8} A^{3} \sin (\omega t+\alpha)- \\
-\frac{1}{24} A^{3} \sin (3 \omega t+3 \alpha),
\end{array}
\]

так что, если положнть
\[
\omega_{1}=-\frac{1}{8} A^{2}
\]

то вынуждающий резонансный член уничтожается, и решение принимает вид
\[
\xi_{1}=B \sin (\omega t+\beta)+\frac{1}{192} A^{3} \sin (3 \omega t+3 \alpha) .
\]

где $B, \beta$ можно определить стедующим образом:
\[
B \sin \beta=-\frac{1}{192} A^{3} \sin 3 \alpha, \quad B \cos \dot{\beta}=-\frac{1}{64} A^{3} \cos 3 \alpha_{x}
\]

т. е. $\xi_{1}=\dot{\xi}_{1}=0$ при $t=0$. Легко видеть, что уравнение, которое надо проинтегрировать для нахождения приближения любого порядка, пмеет вид
\[
\begin{aligned}
\ddot{\xi}_{p}+\omega^{2} \xi_{p}=\omega_{p} & x_{0}+A_{1}^{p}\left(A, \omega_{1}, \ldots, \omega_{p-1}\right) \sin (\omega t+\alpha)+ \\
& +\sum_{j=1}^{n_{p}} A_{2 j+1}^{p}\left(A, \omega_{1}, \ldots, \omega_{p-1}\right) \sin [(2 j+1)(\omega t+\alpha)],
\end{aligned}
\]

и его решение таково:
\[
\begin{array}{l}
\omega_{p}=-\frac{1}{A} A_{1}^{p}\left(A, \omega_{1}, \ldots, \omega_{p-1}\right), \\
\xi_{p}=\sum_{j=1}^{n_{p}} \frac{A_{2 j+1}^{p}}{\omega^{2}\left[1-(2 j+1)^{2}\right]} \sin [(2 j+1)(\omega t+\alpha)] .
\end{array}
\]

Отсюда следует, что частота $\omega$ определяется последовательно шаг за шагом, а все решение выражается в виде периодической функции $t$, т. е.
\[
x=x_{0}(t)+\sum_{p=1}^{\infty} \varepsilon^{p} \sum_{j=1}^{n_{p}} \frac{A_{2 j+1}^{p}}{\omega^{2}\left[1-(2 j+1)^{2}\right]} \sin [(2 j+1)(\omega t+\alpha)] .
\]

В этом частном случае из-за того, что исходное уравнение можно точно проинтегрировать, сходимость вышеописанной процедуры можно доказать непосредственно, если только начальные условия соответствуют колебатәльному движению. Вышеприведенные ряды расходятся в случае вращательного движения. Насколько нам известно, случай асимштотического движения маятника не может быть вообще рассмотрен с помощью рядов. В случае вращательного движения также можно получить сходимость, если по-другому ввести переменную. Действительно, в этом случае угол $\theta$ непрерывно увеличивается со временем, если исключить незначительные флуктуации. Такое увеличение со временем можно учесть, если считать
\[
\theta=\alpha t+\sqrt{\varepsilon} x,
\]

где
\[
\begin{aligned}
\alpha & =\alpha_{0}+\varepsilon \alpha .+\varepsilon^{2} \alpha_{2}+\ldots \\
x & =x_{0}(t)+\varepsilon \xi_{1}+\varepsilon^{2} \xi_{2}+\ldots, \\
x_{0} & =A \sin (\omega t+\beta) \\
\omega^{2} & =\omega_{0}^{2}+\varepsilon \omega_{1}+\varepsilon^{2} \omega_{2}+\ldots
\end{aligned}
\]

При изучении аналога метода Линдстедта для каноническіх систем мы укажем способ, которым можно рассмотреть единым образом сразу оба случая (колебания и вращения). Это возможно сделать введением эллиптических функций с модулем, принимающим любые значения. Тогда асимптотический случай движения маятника будет фигурировать в качестве предельного случая общего решения. Возможность такого глобального рассмотрения детально изучалась в работе Гарфинкеля и др. [29.5].