Рассмотрим сначала систему с двумя стененями свободы ( $n=2$ ). Условно-периодические орбиты описываются формулами
\[
y_{k}=\omega_{k}\left(x_{1}^{0}, x_{2}^{0}\right) t+y_{k}^{0}, \quad x_{k}=x_{k}^{0} \quad(k=1,2) .
\]

Тор $T^{2}$ можно получить двумя путями: как прямое произведепие двух окружностей с радиусами $x_{1}$ п $x_{2}$ и с помощью квадрата в плоскости $y_{1}, y_{2}$. Второй путь гроще и лучше обозрим в многомерных случаях. Если значения $y_{1}$ и $y_{2}$ брать по модулю $2 \pi$, то можно отождествить противоположные стороны квадрата, т. е. точки $\left(0, y_{2}\right)$ и $\left(y_{1}, 0\right)$ с точками $\left(2 \pi, y_{2}\right)$ и ( $\left.y_{1}, 2 \pi\right)$ соответственно. Таким образом, тор имеет классическое ошределение через соотношение эгвивалентности. Траекторип являются отрезками прямой линии, наклоненной к оси $y_{1}$ под углом $\omega_{2} / \omega_{1}$. Ясно, что если величина $\omega_{2} / \omega_{1}$ иррациональна, то траектории погрывают весь квадрат и являются условно-периодическими (эргодический поток). В любом случае решения остаются на торе, который, следовательно, инвариантен по отношению к потоку.
Если предположить вышолненным условпе Колмогорова
\[
\operatorname{det}\left\{\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\right\}
eq 0
\]

то отсюда следует, что для авалитической функции $H=H_{0}+$ $+\mu H_{1}$, достаточно малых $\mu$ и для всех $\omega_{1}$, $\omega_{2}$, рационально независимых и удовлетворяющих условию $\left|m_{1} \omega_{1}+m_{2} \omega_{2}\right| \geqslant K$ при всех не обращающихся одновременно в нуль целых $m_{1}, m_{2}$, существуют инвариантные торы
\[
x_{k}=A_{k}\left(Y_{1}, Y_{2}\right), \quad y_{k}=Y_{k}+\Phi_{k}\left(Y_{1}, Y_{2}\right) \quad(k=1,2),
\]

а решение на каждом торе определяется формулами $Y_{k}=\omega_{k} t+$ $+Y_{k}^{0}$. Этот факт можно выразить иначе, сказав, что эргодический поток может быть непрерывным при возмущениях.

Сведе́ние этой проблемы к изучению сохраняющего площадь отображения множества на себя дает определенные преимущества, которые следуют из геометрических свойств такого отображения. Проводниками геометрической линии исследования являлись Пуанкаре [31], Биркгоф [5] и Мозер [24, 26, 27].

Рассмотрим задачу Мозера о сохраняющем площадв отображении кругового кольца на себя. Для данного кругового кольца $A\{0 \leqslant a \leqslant r \leqslant b\}$ рассмотрим отображение
\[
U_{0}\left\{\begin{array}{l}
\theta^{*}=\theta+\omega(r) \\
r^{*}=r
\end{array}\right.
\]

где $d \omega / d r>0, r \in A$.
Такое отображение не изменяет окружностей, а просто вводит поворот’ на угол $\omega(r)$, увеличивающнйся вместе с $r$. Рассмотрим’ теперь возмущенное отображение
\[
U\left\{\begin{array}{l}
\theta^{*}=\theta+\omega(r)+F(r, \theta), \\
r^{*}=r+G(r, \theta),
\end{array}\right.
\]

где $|F(r, \theta)|<\omega(r)$ для всех $\theta,|G(r, \theta)|<r$ для $r \in A$ и периодических по $\theta$ (периода $2 \pi$ ) функций $F, G$. Тогда можно показать, что при некоторых условиях на $\omega(r), F, G$ п прп $U_{0}$ и $U$; сохраняющих площадь, отображение $U$ (отображение кручения) имеет замкнутые инвариантные кривые, которые близки к инвариантным окружностям отображения $U_{0}$. Одним из существенных условий является то, что величина $\omega$ должна быть несоизмерима с $2 \pi$. Связь этого результата с консервативными системами с одной степенью свободы очевидна. Действительно, инвариантными множествами интегрируемой одеомерной гамильтоновой системы являются окружности.

Теперь рассмотрим систему с двумя степенями свободы, соответствующую гамильтониану
\[
H=H_{0}\left(x_{1}, x_{2}\right)+\mu\left\{H_{1 s}\left(x_{1}, x_{2}\right)+H_{1 p}\left(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\right)\right\},
\]

который аналитичен в некоторой области $D$ фазового пространства и вериодичен (с периодом $2 \pi$ ) относительно $y_{1}$ и $y_{2}$, а $|\mu|<\mu_{0}$, где $0 \leqslant \mu_{0} \leqslant 1$. Пусть условия теоремы Колмогорова выполнены, и в области $D$ справедливо: $\partial H_{0} / \partial x_{2}
eq 0$. Следовательно, можно решить уравнение
\[
H_{0}\left(x_{1}, x_{2}\right)+\mu H_{1}\left(x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2}\right)=h=\mathrm{const}
\]

относительно $x_{2}$ и найти
\[
x_{2}=\widetilde{K}\left(x_{1}, y_{1}, y_{2}, h, \mu\right),
\]

где $K$ – аналитическая фунгция в некоторой области $D^{\prime}\left\{\left(x_{1}, h\right\}\right.$; $\left.|\mu|<\mu_{0}\right\}$ и она периодична по $y_{1}, y_{2}$ с периодом $2 \pi$. Тогда можно разложить $\widetilde{K}$ в степенной ряц относительно $\mu$. В действительности нам достаточно зңать, что при сделанных предположениях можно написать
\[
\widetilde{K}=K_{0}\left(x_{1}, h\right)+\mu K_{1}\left(x_{1}, y_{1}, y_{2}, h, \mu\right) .
\]

Теперь, исключив переменную $x_{2}$, можно также исклочить из сястемы время. Действительно,
\[
\frac{d x_{1}}{d y_{2}}=-\frac{\partial H}{\partial y_{1}}\left|\frac{\partial H}{\partial x_{2}}=\frac{\partial \widetilde{K}}{\partial y_{1}}, \quad \frac{d y_{1}}{d y_{2}}=\frac{\partial H}{\partial x_{1}}\right| \frac{\partial H}{\partial x_{2}}=-\frac{\partial \widetilde{K}}{\partial x_{1}},
\]

где $\widetilde{K}$ определяется формулой (4.3.5). Определим величины
\[
y_{2}=\tau, \quad x_{1}=x, \quad y_{1}=y,
\]

так что, обозначив штрихом дифференцирование по $\tau$, пмеем счстему
\[
x^{\prime}=\frac{\partial K}{\partial y}, \quad y^{\prime}=-\frac{\partial K}{\partial x}
\]

с гамильтонианом
\[
K=K_{0}(x)+\mu K_{1}(x, y, \tau, \mu) .
\]

В иространстве перемениы $x, y, \tau$ изучение решений системы (4.3.7) может быть сведено к изучению отображения $T_{\mu}$ плоскости $\tau=0$ в плоскость $\tau=2 \pi$. Такое отображение полностью определяется системой уравнений (4.3.7). Пусть при $\tau=0$ имеются начальные условия $x=x_{0}, y=y_{0}$, лежащие в области $D$, а соответствующее решение уравнений (4.3.7) имеет вид
\[
x=\varphi\left(\tau, x_{0}, y_{0}, \mu\right), \quad y=\psi\left(\tau, x_{0}, y_{0}, \mu\right) .
\]

Тогда отображение $T_{\mu}$ определяегся формулами
\[
\begin{array}{l}
x^{*}=\varphi(2 \pi, x, y, \mu), \\
y^{*}=\psi(2 \pi, x, y, \mu) .
\end{array}
\]

При $\mu=0$ отображение $T_{0}$ имеет вид
\[
\begin{array}{l}
x^{*}=\varphi_{0}(2 \pi, x, y)=\varphi(2 \pi, x, y, 0), \\
y^{*}=\Psi_{0}(2 \pi, x, y)=\Psi(2 \pi, x, y, 0),
\end{array}
\]

где $\varphi_{0}$ и $\psi_{0}$ можно сразу же выписать в явпом виде. Действительно, при $\mu=0$ гамильтониан $K=K_{0}(x)$ и, следовательно,
\[
y\left(\tau, x_{0}, y_{0}\right)=y_{0}+\frac{\omega_{1}}{\omega_{2}} \tau, \quad x\left(\tau, x_{0}, y_{0}\right)=x_{0},
\]

где
\[
\omega_{i}{ }^{=}=\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{i}}\left(x_{1}, x_{2}\left(y_{1}, y_{2}, x_{1}\right)\right)=\omega_{i}(x),
\]

а отсюга $\omega_{1} / \omega_{2}=\omega(x)$. Считая $\alpha(x)=2 \pi \omega(x)$, отображение $T_{0}$ можно записать в виде
\[
x^{*}=x, \quad y^{*}=y+\alpha(x),
\]

что в точности совпадает с видом отображений, изученных Мозером. Отображение $T_{\mu}$ в конечном счете может быть записано в виде
\[
\begin{array}{l}
x^{*}=x+\mu G(x, y, \mu), \\
y^{*}=y+\alpha(x)+\mu F(x, y, \mu),
\end{array}
\]

а величину $x$ можно считать определенной в кольде $0<a \leqslant$ $\leqslant x \leqslant b$. Ясно, что отображение (4.3.10) сохраняет площадь, т. е. площадь $d x d y$ инвариантна относительно $T_{\mu}$. С другой стороны, легко видеть, что, в силу сделанных предположений, функции $G$ и $F$ периодичны по $y$ с периодом $2 \pi$. Если в данном кольце имеем $\alpha^{\prime}(x)>0$, а $\alpha(x)$ удовлетворяет условию
\[
\left|\alpha-\frac{m}{n} 2 \pi\right|>\mu n^{3 / 2-\sigma},
\]

где $\sigma$ – целое число, большее четырех, $m$ и $n
eq 0$ – целые числа, то теорема Мозера [26] гарантирует, что шри достаточно малых $\mu$ отображение $T_{\mu}$ имеет инвариантные кривые, близкие к окружностям $x^{*}=$ const, которые являются инвариантными кривыми отображения $T_{0}$. Другими словами, инвариантные кривые отображения $T_{0}$ мало изменяются при малых возмущениях.

C другой стороны, если существует интеграл $J(x, y)=$ const, то, очевидно, $J\left(x^{*}, y^{*}\right)=\boldsymbol{J}(x, y)$ и, следовательно, кривые $J(x, y)=$ const являются инвариантными кривыми. Это дает необходимое условие существования интегралов системы (4.3.7), близких к интегралам $x=$ const при $\mu=0$.

Наконец, посмотрим, как условие $\alpha^{\prime}(x)
eq 0$ выражается в терминах исходного гамильтониана. По определению
\[
\alpha=2 \pi \frac{\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{1}}\left(x_{1}, x_{2}\left(x_{1}\right)\right)}{\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{2}}\left(x_{1}, x_{2}\left(x_{1}\right)\right)}=\alpha\left(x_{1}\right) .
\]

Таким обрразом,
\[
\frac{d \alpha}{d x_{1}}=\frac{2 \pi}{\left(\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{2}}\right)^{2}}\left[\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{2}}\left(\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{1}^{2}}+\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{1} \partial x_{2}} \frac{d x_{2}}{d x_{1}}\right)-\frac{\partial H_{0}^{\prime}}{\partial x_{1}}\left(\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{1} \partial x_{2}}+\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{2}^{2}} \frac{d x_{2}}{d x_{1}}\right)\right] \text {. }
\]

Но из определения $H_{0}\left(x_{1}, x_{2}\right)=h$ следует, что

или
\[
\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{1}}+\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{2}} \frac{d x_{2}}{d x_{1}}=0
\]
\[
\frac{d x_{2}}{d x_{1}}=-\frac{\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{1}}}{\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{2}}}
\]

и, следовательно,
\[
\frac{d \alpha}{d x_{1}}=-\frac{2 \pi}{\left(\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{2}}\right)^{3}} \Delta\left(x_{1}, x_{2}\right),
\]

где $\Delta$ – определитель:
\[
\Delta=\left|\begin{array}{lll}
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{1}^{2}} & \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{1}} \\
\frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{1} \partial x_{2}} & \frac{\partial^{2} H_{0}}{\partial x_{2}^{2}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{2}} \\
\frac{\partial H_{0}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial H_{0}}{\partial x_{2}} & 0
\end{array}\right|,
\]

которыӥ доджен быть отличен от нуля. Это условие является менее жестким, чем условие, рассмотренное Колмогоровым [17], а в действительності оно было получено Арнольдом [3] в его теореме. Здесь оно является следствием гипотезы Мозера [26]’).