Первое, что нам потребуется для работы, – это дифференциальная система уравнений. Мы вкратце объясним, как ее получить. Имеется много хороших книг, посвященных этому предмету; самыми известными и наиболее часто цитируемыми являются книги Аппеля [7], Уиттекеpa [87], Голубева [35] и Арнольда [9]. Хороший обзор по гамильтоновым ${ }^{1}$ системам можно найти также в книге Либерманна и Марле [59].

1.1. Дифференциальная система уравнений

Рассмотрим движение твердого тела вокруг неподвижной точки $O$ в постоянном гравитационном поле $\gamma$. Конфигурационным пространством является группа $S O(3)$ вращений трехмерного пространства. Мы будем использовать подвижную систему координат (относительную систему координат, жестко связанную с твердым телом) и неподвижную систему координат, причем начала обеих систем координат совпадают с точкой $O$. Векторы, отнесенные к подвижной системе координат, будут обозначаться заглавными буквами, а соответствующие строчные буквы будут использоваться для тех же векторов, отнесенных к неподвижной системе кооринат. Пусть $R(t)$ – вращение, которое описывает положение подвижной системы координат относительно неподвижной в момент времени $t$. Тогда мы имеем, например, уравнение
\[
q(t)=R(t) Q
\]
${ }^{1}$ Странно, что в книге Арнольда [9] вращающийся волчок обсуждается не с «гамильтоновых» позиций.

для описания движения некоторой точки $Q$ в твердом теле, а также уравнение
\[
\Gamma(t)=R(t)^{-1} \gamma={ }^{t} R(t) \gamma
\]

для описания изменения постоянного вектора $\gamma$ в подвижной системе координат.
Продифференцируем соотношение (1) по времени $\mathrm{t}$ :
\[
\dot{q}=\dot{R} Q=\left(\dot{R} R^{-1}\right) q .
\]

Поскольку $R \in S O(3)$, то $\dot{R} R^{-1}$ является кососимметричной матрицей. Воспользуемся изоморфизмом
\[
\left.\begin{array}{ccc}
\mathfrak{s o}(3) & \stackrel{\varphi}{\longrightarrow} & \mathbf{R}^{3} \\
0 & -z & y \\
z & 0 & -x \\
-y & x & 0
\end{array}\right) \stackrel{\longmapsto}{ }\left(\begin{array}{c}
x \\
y \\
z
\end{array}\right),
\]

который переводит действие матрицы в векторное произведение:
\[
A \cdot x=\varphi(A) \times x .
\]

Кососимметричной матрице $\dot{R} R^{-1}$ соответствует вектор угловой скорости $\omega(t)$, так что
\[
\dot{q}=\omega \times q .
\]

Продифференцируем уравнение (2) и воспользуемся косой симметрией:
\[
\dot{\Gamma}={ }^{t} \dot{R} \gamma={ }^{t} \dot{R} R \Gamma=-{ }^{t} R \dot{R} \Gamma .
\]

Вновь используя косую симметрию, получаем
\[
\dot{\Gamma}=-{ }^{t} R\left(\dot{R}^{t} R \gamma\right)=-{ }^{t} R(\omega \times \gamma)=\left({ }^{t} R \gamma\right) \times\left({ }^{t} R \omega\right),
\]
т. e.
\[
\dot{\Gamma}=\Gamma \times \Omega \text {. }
\]

Таким образом, получаем три уравнения Эйлера. Напомним, что это не более чем формулировка – в подвижной системе координат – того факта, что гравитационное поле $\gamma$ постоянно.

Другие три уравнения получаются, если рассмотреть полный кинетический момент. Пусть $q$ – точка массы $\mu$. Его кинетический момент равен $m=\mu q \times \dot{q}=\mu q \times(\omega \times q)$. Отображение $X \mapsto Q \times(X \times Q)$ симметрично. Действительно,
\[
\begin{aligned}
(Q \times(X \times Q)) \cdot Y & =\operatorname{det}(Q, X \times Q, Y) \\
& =\operatorname{det}(Y, Q, X \times Q) \\
& =(Y \times Q) \cdot(X \times Q) .
\end{aligned}
\]

Усредняя по всем точкам твердого тела, находим, что полный кинетический момент $M$ выражается формулой
\[
M=\mathbf{J}(\Omega),
\]

где $\mathbf{J}$ – матрица оператора инерции. Как показывают предыдущие вычисления, этот оператор положительно определен и симметричен и является постоянным по определению. Грубо говоря, он описывает распределение масс в твердом теле. Мы будем исследовать, например, случай, когда твердое тело имеет ось вращения (проходящую через неподвижную точку), «симметричный» волчок Лагранжа: это геометрическое свойство проявляется в том, что $\mathbf{J}$ имеет двукратное собственное значение, соответствующее плоскости, ортогональной оси вращения (см. 2.1).

Замечание. Обозначим (неотрицательные) собственные значения оператора $\mathbf{J}$ через $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ и $\lambda_{3}$. В качестве простого упражнения (см., например, книгу Арнольда [9]), пользуясь неотрицательностью распределения масс, покажите, что собственные значения удовлетворяют неравенству треугольника в евклидовой плоскости ( $\lambda_{1} \leqslant \lambda_{2}+\lambda_{3}$ и т. д.), причем равенство достигается тогда и только тогда, когда тело плоское.

Вернемся к кинетическому моменту $M$ : производная $\dot{m}=\overbrace{R M}$ равна сумме $n$ моментов сил, действующих на тело, относительно точки $O$ :
\[
n=R N=\overbrace{R M}^{\dot{R}}=\dot{R} M+R \dot{M}=R(\Omega \times M)+R \dot{M} \text {. }
\]

Следовательно, $N=\Omega \times M+\dot{M}$. Пусть $G$ – центр масс тела, а $L-$ постоянный вектор $\overrightarrow{O G}$. Поскольку на тело действует только сила тяжести, то $N=\Gamma \times L$, так что мы окончательно получаем следующую систему дифференциальных уравнений, которую иногда называют уравнениями Эйлера-Пуассона ${ }^{2}$ :
\[
\left\{\begin{aligned}
\dot{\Gamma} & =[\Gamma, \Omega], \\
\dot{M} & =[M, \Omega]+[\Gamma, L] .
\end{aligned}\right.
\]

Здесь мы заменили векторные произведения коммутаторами кососимметричных матриц (поскольку отображение $\varphi$ из (3) является изоморфизмом алгебр Ли).
1.2. (Ко)присоединеные орбиты и первые интегралы
Полная энергия системы равна
\[
H=\underbrace{\frac{1}{2} M \cdot \Omega}_{\text {кинетическая }}+\underbrace{\Gamma \cdot L .}_{\text {потенциальная }}
\]

Проверим, что (E) является гамильтоновой системой, ассоциированной с $H$. Чтобы придать этому утверждению точный смысл, нам необходимы некоторые дополнительные построения. Система (E) является дифференциальным уравнением пары ( $\Gamma, M$ ) в пространстве $\mathbf{R}^{3} \times \mathbf{R}^{3}$ (напомним, что $L$ постоянно, а $M=\mathrm{J}(\Omega)$ ). Даже не зная механики, можно догадаться, что это векторное пространство следует представить в виде
\[
\mathbf{R}^{3} \times \mathbf{R}^{3} \cong \mathfrak{s} o(3)[\varepsilon] / \varepsilon^{2}=\mathfrak{g} .
\]

Тогда уравнение (E) примет вид
\[
\overbrace{\Gamma+\varepsilon M}^{i}=[\Gamma+\varepsilon M, \Omega+\varepsilon L] .
\]

Таким образом, $\mathfrak{g}$ является алгеброй Ли группы Ли, которая представляет собой касательное расслоение к $S O(3)$. По-другому эту группу
${ }^{2}$ Как уже отмечалось, первые три уравнения называются уравнениями Эйлера. Тем не менее, система (E) в полном виде содержится в книге Лагранжа [56].

можно описать как группу движений пространства $\mathbf{R}^{3}$. В любом случае, эта группа является полупрямым произведением $S O(3) \widetilde{\times} \mathbf{R}^{3}$, которое порождается стандартным действием группы $S O(3)$ на $\mathbf{R}^{3}$. Присоединенное действие ${ }^{3} S O(3)$ на $\mathfrak{s o}(3)$ определяется через сопряжение
\[
A d_{g} \cdot X=g X g^{-1},
\]

если рассматривать $X \in \mathfrak{s o}(3)$ как кососимметричную матрицу, или через вращение
\[
A d_{g} \cdot X=g(X),
\]

если мы считаем $X \in \mathbf{R}^{3}$ вектором (здесь мы использовали изоморфизм $\varphi$ ). Тогда для присоединенного действия на $\mathfrak{g}$ справедливо
\[
\begin{array}{l}
A d_{(g, v)} \cdot(X+\varepsilon Y)=g(X)+\varepsilon\left(g(Y)-\left(g X g^{-1}\right)(v)\right) \\
\text { или } \\
=g X g^{-1}+\varepsilon\left(g Y g^{-1}-\left[g X g^{-1}, v\right]\right) .
\end{array}
\]

Чтобы представить ( $\mathrm{E}^{\prime}$ ) как гамильтонову систему, нам потребуется инвариантная невырожденная симметричная билинейная форма, относительно которой градиент функции $H$ равен
\[

abla_{\Gamma+\varepsilon M} H=\Omega+\varepsilon L
\]
(см. Приложение 1). Симметричная форма $\left\langle X+\varepsilon Y, X^{\prime}+\varepsilon Y^{\prime}\right\rangle=$ $=X \cdot Y^{\prime}+X^{\prime} \cdot Y$ удовлетворяет всем требуемым свойствам. Действительно,
\[
d H_{\Gamma+\varepsilon M}(X+\varepsilon Y)=\Omega \cdot Y+X \cdot L,
\]

так как $M \mapsto M \cdot \Omega$ является квадратичной формой.
Кроме того, нам потребуется связать орбиты (ко)присоединенного действия с функциями Казимира. Используя формулу (4), легко проверить, что орбита векторного поля $X+\varepsilon Y$ описывается функциями $\|X\|^{2}$ и $X \cdot Y$. Очевидно, функции $\|\Gamma\|^{2}$ и $\Gamma \cdot M$ являются «тривиальными» первыми интегралами для (E). Это видно и из механических соображений.
${ }^{3} \mathrm{CM}$. Приложение 1.

Гравитационный вектор Г может меняться в подвижной системе координат, однако его длина не меняется! Таким образом, $\|\Gamma\|^{2}$ остается постоянным в процессе движения (д.тя удобства, эту постоянную примем равной единице). Аналогично, $\Gamma \cdot M$ совпадает с проекцией кинетического момента на вертикаль (т. е. на направление гравитационного поля) и поэтому сохраняет свое значение.
Орбиты
\[
\mathbf{O}_{c}=\left\{\Gamma+\varepsilon M \mid\|\Gamma\|^{2}=1 \text { и } \Gamma \cdot M=c\right\}
\]

являются четырехмерными симплектическими многообразиями, диффеоморфными касательному расслоению $T S^{2}$ к единичной сфере в $\mathbf{R}^{3}$. При этом диффеморфизм задается по правилу
\[
\begin{aligned}
\mathbf{O}_{c} & \longrightarrow T S^{2}=\left\{(\Gamma, M) \mid\|\Gamma\|^{2}=1 \text { и } \Gamma \cdot M=0\right\} \\
\Gamma & \longmapsto \\
& (\Gamma, M-c \Gamma) .
\end{aligned}
\]

Итак, система (E) есть гамильтонова система. Получаем, что на любой четырехмерной орбите $\mathbf{O}_{c}$ мы уже имеем один первый интеграл, а именно, гамильтониан $H$.

Заметим также, что отображение $H: \mathbf{O}_{c} \rightarrow \mathbf{R}$ является собственным, так что все потоки полны.